高考数学二轮三角函数与平面向量课时作业2附解析新人教A版.docx
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高考数学二轮三角函数与平面向量课时作业2附解析新人教A版
2015高考数学二轮三角函数与平面向量课时作业2(附解析新人教A版)
2015高考数学二轮三角函数与平面向量课时作业2(附解析新人教A版)
一、选择题
1.若三角形ABC中,sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,则此三角形的形状是()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形
[答案]B
[解析]∵sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,sin(A+B)=sinC≠0,∴sin(A-B)=sin(A+B),∴cosAsinB=0,
∵sinB≠0,∴cosA=0,∴A为直角.
2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为()
A.π6B.π3
C.π6或5π6D.π3或2π3
[答案]D
[解析]由(a2+c2-b2)tanB=3ac得,a2+c2-b2actanB=3,再由余弦定理cosB=a2+c2-b22ac得,2cosBtanB=3,即sinB=32,∴角B的值为π3或2π3,故应选D.
3.(文)在△ABC中,已知bcosC+ccosB=3acosB,其中a、b、c分别为角A、B、C的对边,则cosB的值为()
A.13B.-13
C.223D.-223
[答案]A
[解析]由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,
∴sin(B+C)=3sinAcosB,
∴sinA=3sinAcosB,
∵sinA≠0,∴cosB=13.
(理)(2013东北三省四市联考)在△ABC中,若tanAtanB=tanA+tanB+1,则cosC的值是()
A.-23B.22
C.12D.-12
[答案]B
[解析]由tanAtanB=tanA+tanB+1,可得tanA+tanB1-tanAtanB=-1,即tan(A+B)=-1,所以A+B=3π4,则C=π4,cosC=22,故选B.
4.设tanα、tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为()
A.-3B.-1
C.1D.3
[答案]A
[解析]本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式.
由已知tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2,
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=31-2=-3.故选A.
[点评]运用根与系数的关系,利用整体代换的思想使问题求解变得简单.
5.(2014哈三中二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且a2-c2=2b,tanAtanC=3,则b等于()
A.3B.4
C.6D.7
[答案]B
[解析]∵tanAtanB=3,∴sinAcosC=3sinCcosA,
∴sinB=sin(A+C)=4sinCcosA,∴b=4cb2+c2-a22bc,
∴b2=2(a2-c2)=4b,∵b0,∴b=4.
6.(文)函数y=cos(x+π2)+sin(π3-x)具有性质()
A.最大值为1,图象关于点(π6,0)对称
B.最大值为3,图象关于点(π6,0)对称
C.最大值为1,图象关于直线x=π6对称
D.最大值为3,图象关于直线x=π6对称
[答案]B
[解析]y=-sinx+32cosx-12sinx
=-3(32sinx-12cosx)=-3sin(x-π6),
∴最大值为3,图象关于点(π6,0)对称.
(理)给出下列四个命题:
①f(x)=sin(2x-π4)的对称轴为x=kπ2+3π8,k∈Z;
②函数f(x)=sinx+3cosx最大值为2;
③函数f(x)=sinxcosx-1的周期为2π;
④函数f(x)=sin(x+π4)在[-π2,π2]上是增函数.
其中正确命题的个数是()
A.1B.2
C.3D.4
[答案]B
[解析]①由2x-π4=kπ+π2,k∈Z,
得x=kπ2+3π8(k∈Z),
即f(x)=sin(2x-π4)的对称轴为x=kπ2+3π8,k∈Z,正确;
②由f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)知,
函数的最大值为2,正确;
③f(x)=sinxcosx-1=12sin2x-1,函数的周期为π,故③错误;
④函数f(x)=sin(x+π4)的图象是由f(x)=sinx的图象向左平移π4个单位得到的,故④错误.
二、填空题
7.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为________.
[答案]153
[解析]设三角形的三边长分别为a-4,a,a+4,最大角为θ,由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)cos120°,则a=10,所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S=12×6×10×sin120°=153.
8.(文)(2014新课标Ⅱ理,14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为________.
[答案]1
[解析]∵f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)
=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)
=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ
=sinx≤1.
∴最大值为1.
(理)(2014天津理,12)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b-c=14a,2sinB=3sinC,则cosA的值为________.
[答案]-14
[解析]∵2sinB=3sinC,∴2b=3c,
又∵b-c=14a,
∴b=34a,c=12a,
∴cosA=b2+c2-a22bc=916a2+14a2-a22×34a×12a=-14.
9.在△ABC中,(AB→-3AC→)⊥CB→,则角A的最大值为________.
[答案]π6
[解析]由已知可得(AB→-3AC→)CB→=0,AB→CB→=3AC→CB→,由数量积公式可得accosB=3abcos(π-C)=-3abcosC,可化为ccosB=-3bcosC,
由正弦定理可得sinCcosB=-3sinBcosC,
化简得sinA=-2sinBcosC,可得cosC0,角C为钝角,角A为锐角,又sinA=sin(C-B)-sin(C+B),
即有sinA=12sin(C-B)≤12,
综上,0A≤π6,A的最大值为π6.
三、解答题
10.(文)(2014山东文,17)△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a=3,cosA=63,B=A+π2.
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面积.
[解析]
(1)∵cosA=63.0Aπ.∴sinA=33.
又B=A+π2.∴sinB=sin(A+π2)=cosA=63.
又a=3.∴由正弦定理得.
asinA=bsinB
即333=b63
∴b=32.
(2)∵cosB=cos(A+π2)=-sinA=-33,
∴在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=33×(-33)+63×63=13
∴S△ABC=12absinC=12×3×32×13=322.
(理)(2013陕西理,16)已知向量a=cosx,-12,b=(3sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=ab.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在0,π2上的最大值和最小值.
[解析]f(x)=ab=3sinxcosx-12cos2x
=32sin2x-12cos2x
=sin(2x-π6)
(1)f(x)的最小正周期为T=2π2=π
(2)∵x∈[0,π2],∴2x-π6∈[-π6,5π6],
∴sin(2x-π6)∈[-12,1]
故当2x-π6=π2即x=π3时,f(x)max=1
当2x-π6=-π6即x=0时,f(x)min=-12.
一、选择题
11.(2013天津理,6)在△ABC中,∠ABC=π4,AB=2,BC=3,则sin∠BAC=()
A.1010B.105
C.31010D.55
[答案]C
[解析]本题考查了余弦定理、正弦定理.
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcosπ4
=2+9-2×2×3×22=5,∴AC=5,
由正弦定理,ACsinB=BCsinA,
∴sinA=BCsinBAC=3×225=31010.
12.(文)(2014东北三省三校二模)已知方程|cosx|x=k在(0,+∞)上有两个不同的解α、β(αβ),则下列的四个命题正确的是()
A.sin2α=2αcos2αB.cos2α=2αsin2α
C.sin2β=-2βsin2βD.cos2β=-2βsin2β
[答案]C
[解析]令y=|cosx|,y=kx,在同一坐标系中画出它们的图象,如图所示.
∵αβ,∴0απ2,π2βπ,检验可知,选C.
(理)(2014新课标Ⅰ理,8)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tanα=1+sinβcosβ,则()
A.3α-β=π2B.3α+β=π2
C.2α-β=π2D.2α+β=π2
[答案]C
[解析]本题考查了诱导公式以及三角恒等变换.运用验证法.
解法1:
当2α-β=π2时,β=2α-π2,
所以1+sin2α-π2cos2α-π2=1-cos2αsin2α=2sin2αsin2α=tanα.
解法2:
∵tanα=sinαcosα=1+sinβcosβ,
∴sin(α-β)=cosα=sin(π2-α),
∵α、β∈(0,π2),∴α-β∈(-π2,π2),π2-α∈(0,π2),∴α-β=π2-α,∴2α-β=π2.
13.已知函数f(x)=1+cos2x-2sin2(x-π6),其中x∈R,则下列结论中正确的是()
A.f(x)是最小正周期为π的偶函数
B.f(x)的一条对称轴是x=π3
C.f(x)的最大值为2
D.将函数y=3sin2x的图象左移π6得到函数f(x)的图象
[答案]D
[解析]f(x)=cos2x+cos(2x-π3)
=cos2x+12cos2x+32sin2x
=3sin(2x+π3),故选D.
14.(文)函数f(x)=sin(x+π3)+asin(x-π6)的一条对称轴方程为x=π2,则a=()
A.1B.3
C.2D.3
[答案]B
[解析]由题意得f(x)=sin(x+π3)+asin[(x+π3)-π2]=sin(x+π3)-acos(x+π3),若x=π2是函数f(x)的图象的一条对称轴,则由对称轴的意义可得f(π2)=cosπ3+asinπ3=1+a2,解得a=3.
(理)在锐角△ABC中,设x=sinAsinB,y=cosAcosB,则x、y的大小关系为()
A.x≤yB.xy
C.xyD.x≥y
[答案]C
[解析]y-x=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)
=cos(π-C)=-cosC,
∵△ABC为锐角三角形,∴cosC0,
∴y-x0,∴yx.
15.已知函数f(x)=sinx+cosx,g(x)=sinx-cosx,下列四个命题:
①将f(x)的图象向右平移π2个单位可得到g(x)的图象;
②y=f(x)g(x)是偶函数;
③y=fxgx是以π为周期的周期函数;
④对于∀x1∈R,∃x2∈R,使f(x1)g(x2).
其中真命题的个数是()
A.1B.2
C.3D.4
[答案]C
[解析]∵f(x)=sinx+cosx=2sin(x+π4),g(x)=sinx-cosx=2sin(x-π4),∴将f(x)的图象向右平移π2个单位,可以得到g(x)的图象,故①为真命题;又y=f(x)g(x)=sin2x-cos2x=-cos2x为偶函数,故②为真命题;y=fxgx=sinx+π4sinx-π4=sinx+π4-cosx+π4=-tan(x+π4),故其最小正周期为π,∴③为真命题;取x1=5π4,则f(x1)=2sin(5π4+π4)=-2,∵∀x2∈R都有g(x2)≥-2,∴不存在x2∈R,使f(5π4)g(x2),故选C.
二、填空题
16.(文)在△ABC中,sin2C=3sinAsinB+sin2B,a=23b,则角C=________.
[答案]π6
[解析]由正弦定理知c2=3ab+b2,
所以cosC=a2+b2-c22ab=a2-3ab2ab
=a-3b2b=23b-3b2b=32,
又C∈(0,π),所以C=π6.
(理)(2014福建理,12)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=23,则△ABC的面积等于________.
[答案]23
[解析]本题考查正弦定理及三角形的面积公式,由正弦定理得,2332=4sinB,
∴sinB=1,∴B=90°,∴AB=2,
S=12×23×2=23.
三、解答题
17.(文)(2013浙江文,18)在锐角△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2asinB=3b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
[解析]
(1)由2asinB=3b及正弦定理asinA=bsinB,得sinA=32.
因为A是锐角,所以A=π3.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得
b2+c2-bc=36,即(b+c)2-3bc=36.
又b+c=8,所以
bc=283.
由三角形面积公式S=12bcsinA,得
△ABC的面积为733.
(理)(2013北京理,15)在△ABC中,a=3,b=26,∠B=2∠A.
(1)求cosA的值;
(2)求c的值.
[解析]
(1)因为a=3,b=26,∠B=2∠A,
所以在△ABC中,由正弦定理得3sinA=26sin2A,
所以2sinAcosAsinA=263,故cosA=63.
(2)由
(1)知cosA=63,
所以sinA=1-cos2A=33.
又因为∠B=2∠A,所以cosB=2cos2A-1=13.
所以sinB=1-cos2B=223,
在△ABC中,sinC=sin(A+B)
=sinAcosB+cosAsinB=539.
所以c=asinCsinA=5.
18.(文)(2014唐山市一模)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且4bsinA=7a.
(1)求sinB的值;
(2)若a,b,c成等差数列,且公差大于0,求cosA-cosC的值.
[解析]
(1)由4bsinA=7a,根据正弦定理得4sinBsinA=7sinA,
所以sinB=74.
(2)由已知得2b=a+c,
由正弦定理以及
(1)得,
sinA+sinC=72.①
设cosA-cosC=x,②
①2+②2,得2-2cos(A+C)=74+x2.③
又由条件知a<b<c,∴A<B<C,所以0°<B<90°,cosA>cosC,
故cos(A+C)=-cosB=-34,且x0.
代入③式得x2=74.
因此cosA-cosC=72.
(理)已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a2+b2c2,且sin(2C-π2)=12.
(1)求角C的大小;
(2)求a+bc的取值范围.
[解析]
(1)∵a2+b2c2,∴cosC=a2+b2-c22ab0,
∴π2Cπ,故π2C2π,
由sin(2C-π2)=12,得cos2C=-12,
∴2C=4π3,即C=2π3;
(2)a+bc=sinA+sinBsinC=sinA+sinπ3-Asin2π3
=12sinA+32cosA32=23sin(A+π3),
由C=2π3,知0Aπ3,故π3A+π32π3,
∴32sin(A+π3)≤1,
∴2332a+bc≤23,即1a+bc≤233.
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