不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析.docx
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不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析
线性规划讲义
【考纲说明】
(1)了解线性规划的意义、了解可行域的意义;
(2)掌握简单的二元线性规划问题的解法.
(3)巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法;
(4)会用画网格的方法求解整数线性规划问题.
(5)培养学生的数学应用意识和解决问题的能力.
【知识梳理】
简单的线性规划问题
一、知识点
1.目标函数:
P二2x+y是一个含有两个变量x和y的函数,称为目标函数•
2.可行域:
约束条件所表示的平面区域称为可行域.
3.整点:
坐标为整数的点叫做整点.
4.线性规划问题:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题.只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决•
5.
整数线性规划:
要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.
线性规划是一门硏究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学硏究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用:
—是在人力、物力、财务等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给一项任务,如何合理安扫桥口规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
1•对于不含边界的区域,要将边界画成虚线•2•确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法,常用的一种方法是“选点法":
任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若适合,则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域;否则,直线的另一侧为所求的平面区域•若直线不过原点,通常选择原点代入检验.
M平移直线y二-kx+P时,直线必须经过可行域•
4•对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点•
5•简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出”其求解的格式与步骤是不变的:
(1)寻找线性约束条件,线性目标函数;
(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;(3)在可行域内求目标函数的最优解.
积储知识:
—.1.点P(x°,yo)在直线Ax+By+C二0上,则点P坐标适合方程,即Axo+By°+C二0
2.点P(xo“o)在直线Ax+By+C二0上方(左上或右上)则当B>0时Axo+Byo+C>O;^B<0时Axo+Byo+C 3.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C二0下方(左下或右下),当B>0时,Axo+Byo+C (1)在直线Ax+By+C二0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同, (2)在直线Ax+By+C二0的两侧的两点,把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即: 1.点P(xlryi)和点Q(X2$2)在直线Ax+By+C二0的同侧,则有(Ax1+By1+C^2+By2+C)>0 2.点P(xi,yi)和点Q(X2$2)在直线Ax+By+C二0的两侧,则有(Axi+Byi+CIAx2+By2+C)<0 二二次不等式表示平面IKfS: 1二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C二0某一侧所有点组成的平面区域.不包括边界; ■ 2二元一次不等式Ax+By+C>0(或SO)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C二0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 注意: 作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪TM平面区域的方法: 方法一: 取特殊点检验;"直线定界、特殊点定域 原因: 由于对在直线Ax+By+C二0的同一«的所有点(x,y),把它的坐标(x“)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(xo,yo),从Axo+Byo+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪 一侧的平面区域特殊地,当CHO时,常把原点作为特殊点,当C二0时,可用(0,1)或(1,0)当特殊点,若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域,否则是另一侧区域为需画区域。 方法二: 利用规律: 1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C二0上方(左上或右上), 当B<0时表示直线Ax+By+C二0下方(左下或右下); 2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C二0下方(左下或右下) 当B<0时表示直线Ax+By+C二0上方(左上或右上)。 四、线性规划的有关概念: ①线性约束条件: ②线性目标函数: ③线性规划问题: ④可行解、可行域和最优解: 【经典例题】 4x+y<10 1.问题: 在约束条件外'2°下,如何求目标函数p=2x+y的最大值? x>0 y>0 首先,作出约束条件所表示的平面区域,这一区域称为可行域,如图 (1)所示・ 其次,将目标函数P=2x+y变形为y=-2x+P的形式,它表示一条直线,斜率为,且在y轴上的截距为P• 平移直线y=-2x+P.当它经过两直线4x+y=10与4x+3y=20的交点4(扌,5)时,直线在y轴上的截距最 大.如图 (2)所示・ _55 因此,当x=-,y=5时,目标函数取得最大值2x2+5=7.5,即当甲、乙两种产品分别生产和5/时,可 444 获得最大利润7.5万元・ 这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,通常称为线性规划问题.其中(匚,5)使目标函数 4 取得最大值,它叫做这个问题的最优解.对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.说明: 平移直线y=—2x+P时,要始终保持直线经过可行域(即直线与可行域有公共点). 2.齡运用 x-4v<-3 例]..设z=2x+y,式中变量满足条件px+5y<25,求z的最大值和最小值.x>l 解: 由题意,变量X,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域•由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当x=0,y=0时,z=2x+y=o,即点(0,0)在直线: 2x+y=0_t, 作一组平彳对的直线/: 2x+y=t,teR,可知: 当/在/。 的右上方时,直线/上的点(x,y) 满足2x+y>0,即f>0, 而且,直线/往右平移时,/随之增大•由图象可知, 当直线/经过点A(5,2)时,对应的/最大,当直线/经过点时,对应的/最小,所以,=2x5+2=12,込込=2x1+1=3• x_4v<-3 例2•设z=6x+10y,式中满足条件<3x+5y<25,求z的最大值和最小值. X>1 解: 由引例可知: 直线与4C所在直线平行, 则由引例的解题过程知, 当/与4C所在直线3x+5y-25=0重合时z最大,此时满足条件的最优解有无数多个,当」经过点3(1,1)时,对应了最小, "心=6.丫+10歹=50,^=6x1+10x1=16. 2x-y-3>0 例3.已知兀屮两足不等式组{ 2x+3y-6<0,求使x+)、取最大值的整数•3x-5y-15<0 (不含边界),设A与A,厶与£,人与厶交点分别为人5C,则£厂■''p 解: 不等式组的解集为三直线厶: 2x-y-3=0,12: 2x+3y—6=0,/3: 3x—5),—15=0所围成的三角形内部153 '//;“―3厂 c(兰丄) (19'19八 作一组平行线/: 卄円平行于/。 : x+y=O.当/往厶右上方移动时,/随之增大, •••当/过C点时卄),最大为善,但不是整数解, 又由0vx 当x=l时,代入原不等式组得y=_2,: .x+y=-l; 当x=2时,得y=0或一1,・・・x+y=2或1; 当x=3时,y=-ir・・・x+y=2f x=2(x=3 故X+)•的最大整数解为c或‘ ly=0[)—1 例4•投资生产A产品时r每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米,可获利润300万元;投资生产B 产品时,每生产100米需要资金300万元,需场地100平方米…可获利润200万元・现某单位可使用资金1400 万元,场地900平方米,问: 应作怎样的组合投资,可使获利最大? 分析: 这是一个二元线性规划问题,可先将题中数据整理成下表,以方便理解题意: 资金 场地(平方米) 利润 (白方兀) (百万兀)| A产品 2 2 3 B产品 3 1 2 限制 14 9 然后根据此表数据,设出未知数,列出约束条件和目标函数,最后用图解法求解 解: 设生产A产品x百吨,生产B产品),米,利润为S百万元, 2x+3y<14 2x+v59则约束条件为{c一,目标函数为S=3x+2y• x>0 y>0 作出可行域(如图), 3$3S3$ 将目标函数变形为),=一,它表示斜率为―],在y轴上截距为[的直线,平移直线y=—[x+[,当它经 222222 135S135 过直线与2x+y=9和2x+3y=14的交点(才迈)时,亍最大,也即S最大.此时,S=3x-+2x-=14.75. 因此,生产A产品3.25百吨,生产B产品2.5米,利润最大为1475万元. W: (D解线性规划应用题的一般步骤: ①设出未知数;②列出约束条件(要注意考虑数据、变量、不等式的实 际含义及计量单位的统一);③建立目标函数;④求最优解. 一、对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时变动直线的最 佳位置一般通过这个凸多边形的顶点• x>0,y>0, y>2x-3, y<3. 依照二元一次不等式表示的平面区域r知2x—3vy53表示的区域如下图: 5(寸于2x—3<)<3的正整数解,容易求得,在其区域内的整数解为 (1、1)、(1,2)、(1,3)、(2,2).(2,3)・ 3igx>0,y>0t^>0;p=-3x+y+2zzq=x_2y+4—x+y+z=it用图表示出点(p,q)的范围・ 分析: 题目中的”,q与Xry,Z是线性关系・可借助于x,y,Z的范围确定(p,q)的范围・ ^ 『_2乙=_/人y+4z=q,x+y+z=l. x=^(8+q-6p),y=£(14_5g+3p),? =^(5+4/? +3g), 6p_q_850, 由x>0,y>0,zN0得<3〃_5q+14n0,画出不等式组所示平面区域如图所示. 3/? +4g+5n0, 说明: 题目的条件隐蔽,应考虑到已有的x,y,z的取值范围•借助于三元一次方程组分别求出「y,—从而求出q所满足的不等式组找出(p,q)的范围・ 4、已知匕另/力满足条彳牛: x>0,y>0,a>0,b>0t2x+y+a=6fx+2y+b=6 (1)试画出()的存在的范围; (2)求2x+3y的最大值。 四.画区域/求面积 ey>\x+]\-l 例3求不等式组•1,,1所表示的平面区域的面积・ bsi+i 分析.关键是能够将不等式组所表示的平面区域作岀来,判断其形状进而求岀其面 积.而要才各平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形,如何变形? 需对绝对值加以讨论. 解: 不等式y屮+1|-1可化为y»心〉-1)或y»-兀-2(x<-1);不等式-冈+1可化为y<-x+l(x>0)a£y 在平面直角坐标系内作出四条射线: ABzy=x(x>-l),AC: y=-x-2(x<-l)DE: y=-x+l(x>0),DF: y=x+l(x<0) 则不等式组所表示的平面区域如图,由于4〃与AC、DE与DF互相垂直,所以平面区域是一个矩形. J2 T 五.求最值 —、与直线的截距有关的最值问题z=Ar+3y+C 1•如图1所示,已知aABC中的三顶点4(2,4),3(—1,2),C(1,0),点P(x,y)在4BC内部及边界运动,请你探究并讨论以下问题: 1z=兀+y在点A处有最大值6,在边界BC处有最小值1; 2込=兀一y在点C处有最大值1,在点B处有最小值_3 A o (图 1) (一1,2) x+y=6 0 々(I,。 ) / y=l (图2) 4) 2x+y-12<0, 2若x、y满足条件,3V_2y+io>O,求Z=x+2y的最大值和最/」\值. x-4y+10<0. 7^02 分析: 画出可行域,平移直线找最优解. 解: 作出约束条件所表示的平面区域,即可行域,如图所示. 作直线,叭一卜+卜,它表示斜率为J,纵轆坞的平行讎系,当它在可行域内 滑动时,由图可知,直线/过点A时「取得最大值,当/过点B时,Z取得最小值・ ・・Zmnx=2+2x8=18・•・—in=—2+2x2=2 注: z=A.X+BV可化为y=--x+^表示与直线y=--x平行的一组平行线,其中J为截距,特别注意: 斜率BBBB 范围及截距符号。 即注意平年巒爭邂送为度和平移方向。 变式: 设x,y满足约束条件{+5)<25 X>1 分别求: ⑴z二6x+10yr (2)z二2x・y,⑶z二2x・y,的最大值,最小值。 二、与直线的斜率有关的最值问题込=迸表示定点P(x°M)与可行域内的动点叫)连线的斜率 兀—丫-2W0, 例2设实数X,y满足兀+2),-4$0,,贝! k的最大值是. 2y—3W0, 絹疗: 画出不等式组所确定的三角形区域ABC,乙=丄=口表示两点0(0,0),P(x,y)确定的直线的斜率,要求xx-0 Z的最大值,即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值. r“ (-1.2隧 r 0 C(i,o) (图1) 可以看岀直线OP的斜率最大,故P为x+2y-4=0与2y-3=0的交点(3 即力点..异L-.故答案为已. 22 3•如图1所示,已知aABC中的三顶点A(2,4),B(—1,2),C(1,0), 2y+3 点P(x,y)在^ABC内部及边界运动,请你探究并讨论以下问题: 若目标函数是z=—或乙=彳羊,你知道其几何意义吗? 你能否借助其几何'意义求得和込心? XX+1 三、与距离有关的最值问题 Z=\l^-xQ)2+(y-y0)2^=(X-兀)'+(y-y°)'或乙=F+y2+Ax+By+C(配方)的结构表示定点Q(x0,yo)到可行域内的动点N(x,y)的距离的平方或距离。 1•已知x+y-5n0rx+y-l0<0•求x2+y2的最大、最小值・ 分析: 令乙=—「目标函数是非线性的.而Z=亍+才=(J亍+尸j可看做区 : : 打鳥得可行域(如图所示)为“m(7^习 域内的点到原点距离的平方•问题转化为点到直线的距离问题• (0,0)到x+y-5=0,x+y-io=0的距离分别为咅和詈.所以z的最大、 25 最小值分别是5。 和亍• x-y+2$0, 2.已知”+y—4M0,求z=F+才—lOy+25的最小值2x-y_5W0, 般疗: 作出可行域如图3,并求出顶点的坐标^(3,110(7,9).而z=F+(y—5),表示可行域内任一点(x.y)到定点M(0,5)的&謂的平方,过M作直线SC的垂线,易知垂足倔线段4C上,故z的最小值是|MW|兮. 【课堂练习】 x>0 1.(安徽11)若匕),满足约束条件: \x+2y>3;则x-y的取值范围为 2x+y<3 2.北京2.设不等式组~X~2',表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 [0 2的概率是 (A)彳(B)口(C)壬(D)— 4264 x+y-3<0 3福建9•若直线y=2,上存在点(兀,刃满足约束条件k-2y-3<0,则实数加的最大值为() x>m 13 A.-B.1C.-D.2 22 )^2 4.广东5.已知变量x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为() x-y (A)123)11(C)3(D)—l 5.江苏14(2012年江苏省5分)已知正数a,b,c满足: 5c-+则纟的取值范围是. 6.江西8.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50计,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产 量、成本和售价如下表 年产>/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2力兀 0.55力丿u 韭菜 6吨 0.9方兀 0.3方兀 为使一年的种植总利润(总利润二总销售收入总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位: 亩)分别为 () A.50r0B.30f20C.20,30D・0,50 x-y510 7辽宁&设变量xj满足{0<"y<20,则2x+3y的最大值为 05)115 A.20B.35C.45D.55 x-y+l>0 8.全国卷大纲版13.若x,y满足约束条件L-+y-3<0,则^=3x-y的最小值为。 x+3y-3>0 fx+2y>2 5、设證xj•満是约束条件・2x+〉・04.则总标更欽2=3x-〉•旳取宜范图是 9山东AA®BY,T]C[-L6]D[-6,^] Int%>0 10陕西14.设函数f(x)=lJ‘,D是由x轴和曲线y=/(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封 -2x-l.x<0 闭区域,则Z=x-2y在D上的最大值为. 11四川9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。 已知生产甲产品1桶需耗4原料1千克、〃原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,〃原料1千克。 每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中”要求每天消耗4、母原料都不超过12千克。 通过合理安排生产计划”从每天生产的甲、乙两种 A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元 “no 12新课标(14)设满足约束条件: ^x-y>-l;则z=—的取值范围为 x+y<3 13浙江21.体小题满分14分)已知刁>0,加R,函数f(.x)=4a.e-2bx-a+b. (I)证明: 当0W时, (i)函数/G)的最大值为|2“血7; (ii)/(.V)+|2“勺f0; (H)若-1(a)<1对《[0,1]恒成立,求a+b的取值范围• 则AC13所表示的平面图 14重庆10.设点集为A=I(x,y) ={(x,y)|(x-l)24-(y-l)2 形的面积为 33 (A)(B)二龙 45 【课后作业】 (1)选择题: 1.以下四个命题中,正确的是() A.原点与点(2,3)在直线2x+y-3=0的同侧 B.点(3,2)与点(2,3)在直线x-y=0同侧 C.原点与点(2,1)在直线2y-6x+l=0异侧 D.原点与点(2,1)在直线2y-6x+l=0同侧 A・右上方B・右下方 C.左下方 3.在坐标平面上,不等式组 y>x-l 所表示的平面区域的面积为( 3V2 (2)填空题: ■x+y<5 4.若X、y满足条件,则目标函数z二6x+8y的最大值为,最小值为, x>0,y>0 5.若实数x、+,贝Ux+y的范围是。 [2<2x-y +v—4W0 6 x+y-3<0 •非负实数x、y满足彳•-,则x+3y的最大值是。 x-y-2<0 7.设实数x、y满足条件]x+2y-4no,则上的最大值是。 X 2y-3<0 x-y+ino 8.设实数x、y满足条件,y+1'O,那么2x-y的最大值为()[x+y+1<0 A.2B.1C.-2D.-3 9.已知变量x、y满足约束条件l 得最大值,则a的取值范围是<> fx+2y<10 2Y+Y〉3 10 0 .设D是不等式组q表示的平面区域,则D中的点P(x,y)到直线x+y二10距离的最大值 (3)解答题: 11.某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机,每台A型、B型电视机所得的利润分别为6和4个单位,而生产一台A型、B型电视机所耗原料分别为2和3个单位;所需工时分别为4和2个单位。 如果允许使用的原料为100个单位,工时为120个单位,且A、B型电视机的产量分别不低于5台和10台,那么生产两种类型电视机各多少台,才能使利润最大? 12.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的嬴利,而且要考虑可能出现的亏损。 某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大嬴利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的赢利最大? 【参考答案】 【课上练习】 1.【翊]x—y的取值范围为[一3,0] 3 约束条件对应AABC边际及内的区域: 4(0,3)/(0迈),C(l,l) 则r=g[-3,0] 2.【翊]题目中V2表示的区域如图正方形所示,而动点D可以存在的位置为正lo 2x2—丄;r・2,4_ 方形面积减去四分之一圆的面积部分”因此P===,故选D。 2x24 【答案】D 1考点: 线性规划。 难度: 中。 分析: 本题考查的知识点为含参的线性规划,需要画出可行域的图形,含参的直线要能画出大致图像。 4.【解析】选B 约束条件对应AABC边际及内的区域: 4(2,2)"(3,2),C(¥|) 贝収=3兀+护[&11] 5.【答案】[&7]。 【考点】可行域。 【解析】条件5c-3aWb-a,cln/? Md+(? lnc可化为: 3上厶5 cc 设-=x,y=-.则题目转化为: cc
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