高三数学第二轮三角函数专题复习资料.docx
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高三数学第二轮三角函数专题复习资料
高三数学第二轮三角函数专题复习资料
一、考试内容
1.角的概念的推广;弧度制。
2.任意角的三角函数;单位圆中的三角函数线;同角三角函数的基本关系式;正弦、余弦的诱导公式。
3.两角和与差的正弦、余弦、正切;二倍角的正弦、余弦、正切。
4.正弦函数、余弦函数的图像和性质;周期函数;函数的奇偶性;函数y=Asin(ωx+)的图像;正切函数的图像和性质;已知三角函数值求角。
5.正弦定理;余弦定理;利用正弦定理、余弦定理解斜三角形。
二、考试要求
1.了解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度和角度的换算。
2.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义,并会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切;了解任意角的余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式。
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式;通过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力。
4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
5.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象;了解周期函数与最小正周期的意义;了解奇偶函数的意义;并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质以及简化这些函数图象的绘制过程;会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+)的简图,理解A、ω、的物理意义。
6.会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx,arccosx,arctanx表示。
7.掌握正弦定理、余弦定理,并能运用它们解斜三角形。
8.通过解三角形的应用的教学,提高运用所学知识解决实际问题的能力。
三、常见的考题类型、高考命题趋势
常见考题类型
(1)考查三角函数的图像和性质,尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图像变换、特征分析(对称轴、对称中心)等。
(2)考查三角函数式的恒等变换,如利用有关公式求值和简单的综合问题等。
考点一:
三角函数的概念
【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制,任意三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能进行弧度与角度的互化,会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。
在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法,终边相同角的表示方法,由三角函数的定义,确定终边在各个象限的三角函数的符号。
在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。
【命题规律】在高考中,主要考查象限角,终边相同的角,三角函数的定义,一般以选择题和填空题为主。
例1、(2008北京文)若角α的终边经过点P(1,-2),则tan2的值为.解:
tan2
12,tan22tan
1tan243.
点评:
一个角的终边经过某一点,在平面直角坐标系中画出图形,用三角函数的定义来求解,或者不画图形直接套用公式求解都可以。
考点二:
同角三角函数的关系【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系,用同角三角函数定义反复证明强化记忆,在解题时要注意sincos1,这是一个隐含条件,在解题时要经常能想到它。
利用同角的三角函数关系求解时,注意角所在象限,看是否需要分类讨论。
【命题规律】在高考中,同角的三角函数的关系,一般以选择题和填空题为主,结合坐标系分类讨论是关键。
例2、(2008浙江理)
若cos2sin则tan=()
(A)1
222(B)2(C)1
2(D)2
解
:
由cos2sin
可得:
由cos2sin,
222又由sincos1,可得:
sin
+(2sin)2=1
可得sin=-
2
55sin
,cos2sin=-
55
,
所以,tan=
cos
=2。
点评:
对于给出正弦与余弦的关系式的试题,要能想到隐含条件:
sin2cos21,与它联系成方程组,解方程组来求解。
例3、(2007全国卷1理1)是第四象限角,tanA.
15
512
,则sin()
B.
15
C.
513
D.
513
5sin
解:
由tan,所以,有cos,是第四象限角,12
12sin2cos21
5
解得:
sin
513
sincos
点评:
由正切值求正弦值或余弦值,用到同角三角函数公式:
tan能想到隐含条件:
sin2cos21。
,同样要
考点三:
诱导公式【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立,记忆方法可以概括为“奇变偶不变,符号看象限”,“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的,sinα与cosα对偶,“奇”、
“偶”是对诱导公式中k+α的整数k来讲的,象限指k+α中,将α看作锐角时,
2
2
k
2
+α所在象限,如将cos(
32
32
+α)写成cos(3
2
+α),因为3是奇数,则“cos”
32
变为对偶函数符号“sin”,又α)=sinα。
+α看作第四象限角,cos(+α)为“+”,所以有cos(
32
+
【命题规律】诱导公式的考查,一般是填空题或选择题,有时会计算特殊角的三角函数
值,也有些大题用到诱导公式。
3
例4、(2008浙江文)若sin(),则cos2.
2
5
解:
由sin(
2
)
35
可知,cos
35
;而cos22cos12()1
5
2
3
2
725
。
点评:
本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用,难度不算大,属基础题,熟练掌握公式就能求解。
考点四:
三角函数的图象和性质
【内容解读】理解正、余弦函数在]0,2π],正切函数在(-
2
,
2
)的性质,如单调
性、最大值与最小值、周期性,图象与x轴的交点,会用五点法画函数yAsin(x),xR
的图象,并理解它的性质:
(1)函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期;
(2)函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期;
(3)函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期。
41
注意函数图象平移的规律,是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移。
【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等,以选择题、解答题为主,难度以容易题、中档题为主。
例5、(2008天津文)设asinA.abc
解:
asin
2
7
57
27
27
,bcos,ctan,则()
B.acbC.bcaD.bac
2222
,因为,所以0cos,选D.sin1tan
4
7
2
7
7
7
点评:
掌握正弦函数与余弦函数在[0,
4
],[
4
,
2
]的大小的比较,画出它们的
图象,从图象上能比较它们的大小,另外正余弦函数的值域:
[0,1],也要掌握。
例6、(2008山东文、理)函数ylncosx
π2x
π
的图象是()2
x
A.
x
B.
2x
C.D.
解:
ylncosx(因此本题应选A.
2
)是偶函数,可排除B、D,由cosx的值域可以确定.
点评:
本小题主要考查复合函数的图像识别,充分掌握偶函数的性质,余弦函数的图象及性质,另外,排除法,在复习时应引起重视,解选择题时,经常采用排除法。
例7、(2008天津文)把函数ysinx(xR)的图象上所有的点向左平行移动长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的示的函数是()A.ysin2x
,xR3
,xR3
12
3
个单位
倍(纵坐标不变),得到的图象所表
B.ysin
x2
,xR6
,xR3
C.ysin2x
解:
D.ysin2x
y=sinx
3
向左平移
3
个单位
ysin(x
3
)
横坐标缩短到原来的
12
倍
ysin(2x。
),故选(C)
点评:
三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一,牢固变换的方法,按照
变换的步骤来求解即可。
例8、(2008浙江理)在同一平面直角坐标系中,函数ycos(的图象和直线y
12
x232
)(x[0,2])
的交点个数是()
(A)0(B)1(C)2(D)4解:
原函数可化为:
x3
ycos(
x21
2
2
)(x[0,2])=sin,x[0,2].作出原函数图像,
截取x[0,2]部分,其与直线y
的交点个数是2个.
2
点评:
本小题主要考查三角函数图像的性质问题,学会五点法画图,取特殊角的三角函数值画图。
考点五:
三角恒等变换
【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方
法的作用;;能从两角差的余弦公式,导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,公式之间的规律,能用上述的公式进行简单的恒等变换;注意三角恒等变换与其它知识的联系,如函数的周期性,三角函数与向量等内容。
【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。
题型主、客观题均有,近几年常有一道解答题,难度不大,属中档题。
例9、(2008惠州三模)已知函数f(x)3sin
2
xsinxcosx
(I)求函数f(x)的最小正周期;(II)求函数f(x)在x0,
2
的值域.
解:
f(x)3sin
12
2
xsinxcosx3
1cos2x
2
12
sin2x
si2nx
32
co2sx
32
sin(2x
3
)
32
(I)T
22
(II)
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