高中数学人教A版选修41 16.docx
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高中数学人教A版选修4116
三
黄金分割法——0.618法
1.黄金分割常数
2.黄金分割法——0.618法
课标解读
1.了解0.618法进行试验设计的原理.
2.掌握用0.618法解决不限定次数的优选问题,从而找到试验区间中的最佳点.
1.黄金分割常数
(1)在试验中为最快地达到或接近最佳点,在安排试点时,最好把握两个原则:
①使两个试点关于[a,b]的中心
对称;
②保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同.
(2)黄金分割常数常用ω表示,且ω=
≈0.618.
2.黄金分割法——0.618法
(1)定义:
利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法,又叫做0.618法;它是最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一.
(2)确定试点的方法
类别
第一试点
第二试点
…
第n试点
计算
方式
x1=小+0.618
×(大-小)
x2=小+大
-x1
…
xn=小+大
-xm
原理
用黄金分割
法确定x1
加两头减中间
…
加两头减中间
(3)精度
①定义:
用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率,这个比值叫做精度,即n次试验后的精度为δn=
.
②0.618法中,n次试验后的精度δn=0.618n-1_.
1.如何通过缩小存优范围来寻找最佳点?
【提示】 先在因素范围[a,b]内任选两点各做一次试验,根据试验结果确定好点与差点,在差点处把区间[a,b]分成两段,截掉不含好点的一段,留下存优范围[a1,b1],再在[a1,b1]内重复上述过程,从而达到可使存优范围逐步缩小的目的.
2.在黄金分割法——0.618法中,如果两个试点的结果一样,应如何舍去区间?
【提示】 当两个试点的结果一样时,可同时舍去两个试点外侧的区间.
3.在存优范围[a,x1]内取第三个试点x3,则x3与x2的相对位置如何?
【提示】 如图所示:
结合黄金分割常数原理可知x2,x3关于区间[a,x1]的中心
对称且x3在x2的左侧.
用0.618法确定试点
为了提高某产品的质量,对影响质量的一个因素进行优选.已知此因素范围为[1000,2000],用0.618法安排试验,第一个和第二个试点安排在何处?
如果第一点效果比第二点好,第三个试点应选在何处?
【思路探究】 第一个试点确定在因素范围的0.618处,后续试点可以用“加两头,减中间”来确定.
【自主解答】 在因素范围[1000,2000]内,用0.618法安排试验,第一个试点x1,
满足x1=1000+0.618(2000-1000)=1618.
第二个试点x2满足,
x2=1000+2000-1618=1382.
试验结果,如果x1的效果比x2好,消去x2=1382以下部分,则第三个试点x3满足,x3=2000+1382-1618=1764.
示意图如下:
0.618法满足的原则是:
(1)每次要进行比较的两个试验点,应关于相应试验区间的中点对称;
(2)每次舍去的区间长占舍去前的区间长的比例数应相同.
例题条件不变,如果第二点效果比第一点好,那么第三个试点应选在何处?
【解】 由于x2的效果比x1的效果好,
消去x1=1618以上部分,
此时的存优范围为[1000,1618],
∴x3=1000+1618-1382=1236.
∴第三个试点应选在1236处.
0.618法的应用
调酒师为了调制一种鸡尾酒,每100kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量为1000g到2000g之间,现准备用黄金分割法找到它的最优加入量.
(1)写出这个试验的操作流程.
(2)达到精度0.001需要多少次试验?
【思路探究】
(1)利用0.618法确定第一个试点x1―→
利用对称性确定第二个试点x2―→
利用xn=小+大-xm来确定第n个试点
(2)确定精度―→求试验次数
【自主解答】 用一张纸条表示1000~2000g,以1000为起点标出刻度.
(1)试验可按以下步骤进行:
①做第一次试验:
第一次试验的加入量为:
(2000-1000)×0.618+1000=1618(g),即取1618g柠檬汁进行第一次试验.
②做第二次试验:
取第一点的对称点做为第二次试验点,这一点的加入量可用下面公式计算(此后各次试验点的加入量也按下面公式计算):
加两头,减中间.即第二点的加入量为:
1000+2000-1618=1382(g).
③比较两次试验结果,如果第二点比第一点好,则去掉1618g以上的部分:
如果第一点较好,则去掉1382g以下部分.假定试验结果第一点较好,那么去掉1382g以下的部分,即存优范围为[1382,2000],在此范围找出第一点(即1618)的对称点做第三次试验.即第三次试验的加入量为:
2000-1618+1382=1764(g).
④再将第三次试验结果与第一点比较,如果仍然是第一点好些,则去掉1764g以上部分,如果第三点好些,则去掉1618g以下部分.假设第三点好些,则在留下部分(即[1618,2000])找出第三点(即1764)的对称点做第四次试验.第四点加入量为:
2000-1764+1618=1854(g).
⑤第四次试验后,再与第二点比较,并取舍.在留下部分用同样方法继续试验,直至找到最佳点为止.
(2)精度σ≤0.001.
所以0.618n-1≤0.001,得n≥lg0.001/lg0.618+1,即n≥16.
故需要16次试验.
黄金分割法适用目标函数为单峰的情形,第1试验点确定在因素范围的0.618处,后续试点可以用“加两头、减中间”的方法来确定.
(2012·浏阳模拟)用0.618法寻找试验的最优加入量时,若当前存优范围是[2,3],好点是2.382,则此时要做试验的加入量值是________.
【解析】 由题意可知,此时要做试验的加入量值为2+3-2.382=2.618.
【答案】 2.618
(教材第10页习题1.3第3题)
举出现实生活或学习过程中可应用0.618法寻找最佳点的例子.
已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间.若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是________g.
【命题意图】 本题主要考查了优选法中的黄金分割法(0.618法)及第一试点的取法,属基础题.
【解析】 用0.618法确定第一次试点的加入量由下面公式算出:
第一种方法为:
(大-小)×0.618+小=(200-100)×0.618+100=161.8.
第二种方法为:
大-(大-小)×0.618=200-(200-100)×0.618=138.2.
【答案】 161.8或138.2
1.假设因素区间为[1,2],用0.618法选取的第一个试点是( )
A.1.618 B.1.5
C.1.382D.1.618或1.382
【解析】 用0.618法选取的第一个试点为x1=1+0.618(2-1)=1.618,或2-(2-1)×0.618=1.382.
【答案】 D
2.假设因素区间为[0,1],取两个试点0.1和0.2,则对峰值在(0,0.1)内的单峰函数,两次试验存优范围缩小到区间________上.( )
A.[0,0.1]B.[0.1,1]
C.[0,0.2]D.[0.2,1]
【解析】 如图所示:
∵峰值在(0,0.1)内,故应舍去区间[0.2,1],两次试验后存优范围缩小到区间[0,0.2]上.
【答案】 C
3.对于上题中,舍去区间占舍去前的区间的比例数是________.
【解析】 上题中舍去区间为[0.2,1]其区间长度为0.8,占舍去前的区间的比例数为0.8.
【答案】 0.8
4.用0.618法确定试点时,经过4次试验后,存优范围缩小为原来的________.
【解析】 由n次试验后的精度δn=0.618n-1可知,4次后的精度为0.6183,即存优范围缩小为原来的0.6183.
【答案】 0.6183
(时间40分钟,满分60分)
一、选择题(每题5分,共20分)
1.有一优选问题,存优范围为[10,20],在安排试点时,第一个试点为16,则第二个试点最好为( )
A.12 B.13
C.14D.15
【解析】 在优选过程中,安排试点时,最好使两个试点关于[10,20]的中点15对称.所以第二个试点为14.故选C.
【答案】 C
2.在配置一定量的某种清洗液时,需要加入某种溶剂,经验表明,加入量大于5000mL或小于3000mL时,效果肯定不好,用0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量,则前两次试验加入的量分别为( )
A.4500,3500B.4382,3618
C.4236,3764D.4618,3618
【解析】 x1=3000+0.618×(5000-3000)=4236,x2=3000+5000-4236=3764.
【答案】 C
3.(2012·湖南师大附中模拟)配制某种注射用药剂,每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml到110ml之间,用黄金分割法寻找最佳加入量时,若第1试点是差点,第2试点是好点,则第三次试验时葡萄糖的加入量是( )
A.35mlB.40.9ml
C.33.6mlD.86.4ml
【解析】 由黄金分割法可知,第一个试点为
x1=10+(110-10)×0.618=71.8,
第二个试点为:
x2=10+110-71.8=48.2,
由于x2是好点,故第三次试验时
葡萄糖的加入量为:
10+71.8-48.2=33.6ml.
【答案】 C
4.用0.618法寻找最佳点时,要达到精度0.01的要求需要做的试验次数是(lg0.618=-0.21)( )
A.8 B.9C.10 D.11
【解析】 由题意得0.618n-1≤0.01,∴n-1≥
≈9.52,∴n≥10.52.∴n=11时就可以达到精度0.01的要求.
【答案】 D
二、填空题(每题5分,共10分)
5.(2012·长沙模拟)用0.618法选取试点过程中,如果试验区间为[2,4],则第二试点x2应选在________处.
【解析】 第一试点x1=2+(4-2)×0.618=3.236,
由对称性可知x2=(2+4)-3.236=2.764.
【答案】 2.764
6.已知一种材料的最佳加入量在110到210之间,若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是________g.
【解析】 第一种方法为:
(大-小)×0.618+小=(210-110)×0.618+110=171.8(g).
第二种方法为:
大-(大-小)×0.618=210-(210-110)×0.618=148.2(g).
【答案】 171.8或148.2
三、解答题(每题10分,共30分)
7.在炼钢过程中为了得到特定用途的钢,需要加入含有特定元素的材料.若每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间,假设最佳点在1400g,如果用0.618法试验,求第三个试验点.
【解】 由0.618法知x1=1000+0.618(2000-1000)=1618g,x2=1000+2000-x1=1382g.
由于1382g接近1400g,所以此时的存优范围为(1000,1618),∴x3=1000+1618-1382=1236g.
8.农场主有2400m长的篱笆,想把一块沿着河的矩形土地围起来,沿河的一面不用围,已知矩形宽的边长为xm,其范围为500m≤x≤700m,要求所得值与最好值相差不超过10m.怎样才能使所围的面积最大?
【解】 由题意设面积为S,则
S=x(2400-2x)=2x(1200-x).
当x=500时,S=700000,
x=700时,S=700000.
x1=623.6,x2=576.4,
∴Sx1=Sx2=718886.08.
∴x3在存优范围(576.4,623.6)中,
∴x3=605.5696,x4=594.4304,
∴Sx3=Sx4=719937.9591.
∴x5在存优范围(594.4304,605.5696)中,
∴x5=601.3144256,
x6=598.6855744,
∴Sx5=Sx6=719996.5446.
此时601.3144256-598.6855744
=2.6288512<10.
∴矩形的宽为(598.6855744,601.3144256)之间任一值时都符合题意,精确值为x=600m.
创新应用
9.膨胀珍珠岩是一种新型的建筑保温材料.由于产品质量低,成本高,目前尚不能在建筑部门广泛应用.为了解决这一薄弱环节,某厂决定首先在膨胀珍珠岩的焙烧上用优选法进行试验.在焙烧试验中,经过分析认为影响珍珠岩膨胀的主要因素是焙烧温度,而其他因素就根据平时的生产经验暂时控制,于是他们就在珍珠岩焙烧温度1300℃~1400℃范围内进行优选.(精确到10℃)
请完成以下填空:
(1)首先找出第一点:
________℃,经试验,此时产品混合容重为50公斤/m3(每立方米50公斤).
(2)又找出第二点:
________℃,经试验,此时产品混合容重为65公斤/m3.两点比较,1360℃时质量较好,故将________.
(3)再找出第三点:
________℃,经试验,此时产品混合容重为55公斤/m3,并有少量粘炉.两点比较,1360℃时质量较好.
根据优选结果,把________℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度.用这个温度生产顺利,而且产品质量稳定.
【解析】
(1)1300+(1400-1300)×0.618≈1360.
(2)1300+1400-1360=1340;结合0.618法的原理,可知最佳点落在区间[1340,1400]之间,故把1340以下部分丢掉.
(3)1340+1400-1360=1380,又结合题意可知最佳点落在区间[1340,1380]之间,故把1380以上部分丢掉.
从而由1340+1380-1360=1360可知,把1360℃定为焙烧膨胀珍珠岩的较佳温度.
【答案】
(1)1360
(2)1340 1340以下部分丢掉
(3)1380 1360
教师备选
10.若某实验的因素范围是[100,1100],现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量,分别以an表示第n次试验的加入量(结果都取整数).
(1)a1=________;
(2)若干次试验后的存优范围包含在区间[700,750]内,则a5=________.
【解析】
(1)由黄金分割法知:
第一次的加入量为a1=100+0.618×(1100-100)=718.
(2)易知a2=100+1100-718=482.
因为[700,750]包含存优范围,所以最优点在区间[700,750]上.由此可知前两次试验结果中,好点是718,所以此时存优区间为[482,1100],所以a3=482+1100-718=864,同理可知第三次试验后,好点仍是718,此时存优区间为[482,864],所以a4=482+864-718=628.
同理可求得a5=628+864-718=774.
【答案】
(1)718
(2)774
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