行列式解法技巧论文完整版讲解.docx

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行列式解法技巧论文完整版讲解

1行列式的基本理论

1.1行列式定义

定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负。

这一定义可以写成

这里

表示对所有

级排列求和.

1.2行列式的性质

1、行列式的行列互换，行列式不变；

2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；

3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；

4、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；

5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。

6、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

7、行列式有两行（列）相同，则行列式为零。

1.3基本理论

1．

其中

为元素

代数余子式。

2．降阶定理

3．

4．

5．非零矩阵k左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块行列式与原来相等。

1.4几种特殊行列式的结果

1．三角行列式

（上三角行列式）

（下三角行列式）

2．对角行列式

3．对称与反对称行列式

满足

，D称为对称行列式

满足

，D称为反对称行列式。

若阶数n为奇数时，则D=0

4．

2行列式的计算技巧

2.1定义法

例1：

计算行列式

解：

由行列式定义知

，且

，所以D的非零项j，只能取2或3，同理由

，因而

只能取2或3，又因

要求各不相同，故

项中至少有一个必须取零，所以D=0。

2.2化成三角形行列式法

将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素为零，首先将第一行（或第一列）与其它任一行（或列）交换，使第一行第一个元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。

例2计算行列式

解：

各行加到第一行中去

例3计算行列式

解：

从倒数第二行（-1）倍加到第n行

2.3两条线型行列式的计算

除了较简单的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定义直接计算，少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外，一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值来计算（如上（下）三角行列式等）或利用按行（列）展开定理降低行列式的阶数。

例4

.

解：

按第1列展开得

.

2.4箭型行列式的计算

对于形如

的所谓箭型（或爪形）行列式，可以直接利用行列式性质化为三角或次三角形行列式来计算，即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零。

例5计算行列式

.

解：

2.5三对角行列式的计算

对于形如

的所谓三对角行列式，可直接展开得到两项递推关系

，然后采用如下的一些方法求解。

方法1如果n比较小，则直接递推计算

方法2用第二数学归纳法证明：

即验证n=1时结论成立，设

时结论也成立，若证明n=k+1时结论也成立，则对任意自然数相应的结论成立

方法3将

变形为

，其中

由韦达定理知p和q是一元二次方程

的两个根。

确定p和q后，令

，则利用

递推求出

，再由

递推求出

。

方法4设

，代入

得

（称之为特征方程），求出其根

和

（假设

），则

，这里

，

可通过n=1和n=2来确定。

例6计算行列式

.

解：

得

同理，得

所以

2.6利用范德蒙行列式

范德蒙行列式具有逐行元素递增的特点。

因此遇到具有逐行（或列）元素方幂递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值

例7计算行列式

.

解：

把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此推直到把新的第

行的-1倍加到第

行，便得范德蒙行列式

.

2.7Hessenberg型行列式的计算

对于形如

，

的所谓Hessenberg型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用行列式的性质化简并降阶。

例8计算行列式

解：

将第1，2··n-1列加到第n列，得

2.8降阶法

将行列式的展开定理与行列式性质结合使用，即先利用性质将行列式的某一行（或某一列）化成仅含一个非零元素，然后按此行（列）展开，化成低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果。

左边

例9计算行列式

，其中

，

解：

2.9加边法（升阶法）

行列式计算的一般方法是降阶，但对于某些特殊的n阶行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶的行列式，特别是第1列为

并适当选择第1行的元素，就可以使消零化简单方便，且化简后常变成箭型行列式，这一方法称为升阶法或加边法

例10计算

阶行列式

.

解：

.

2.10计算行（列）和相等的行列式

对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各列（或各行）加到第1列（或行）或第n列（或行），然后再化简。

例11计算n阶行列式

解：

以下不作要求

2.11相邻行（列）元素差1的行列式计算

以数字1，2，··n为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1的n阶行列式可以如下计算：

自第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第n行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或—1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素。

对于相邻行（列）元素相差倍数k的行列式，采用前行（列）减去后行（列）的—k倍，或后行（列）减去前行（列）的—k倍的步骤，即可使行列式中出现大量的零元素。

例12计算n阶行列式

解

2.12线性因子法

例13计算行列式

（1）

（2）

解：

（1）由各列加上第一列可见，行列式D可被

整除。

由第二列加到第一列，并减去第三、四列可见，

可被

整除，由第三列加于第一列，并减去第二、四列可见，

被

整除。

最后由第四列加于第一列，并减去第二、三列可见，

可被

整除。

我们把

视为独立未知量，于是上述四个线性因子式是两两互素的，因此，

可被它们的乘积

整除。

此乘积中含有一项：

，而

中含有一项：

所以

（2）将行列式

的前两行和两列分别对换，得

如果以

代替

，又得原来形式的行列式。

因此，如果

含有因式

，必含有因式

，由于当

时，

有两列相同，故

确有因式

，从而

含有因式

。

同理

又含有因式

，而

的展开式中有一项：

，从而

例14计算行列式：

解：

由

阶行列式定义知，

的展开式是关于

的首项系数为

的

次多项式

当

时，

因此

有

个互异根0，1、2…

由因式定理得

故

2.13辅助行列式法

例15计算行列式

其中

为次数≤

的数域F上多项式

为F中任意

个数。

解：

若

中有两个数相等，则

若

互异，则每个

阶行列式

是

的线性组合，据题

的次数≤

因而

的次数≤

但

这说明

至少有

个不同的根，故

所以

即

2.14

阶循环行列式算法

例16计算行列式

其中

解：

设

且令

的

个根为

则

由

有

利用关系式

得

例17设

都是

的可微函数

证明：

证明：

2.15有关矩阵的行列式计算

例18设A与B为同阶方阵：

证明：

证明：

例19设A为

阶可逆方阵，

、

为两个

维列向量，则

证明：

例20若

阶方阵A与B且第

列不同。

证明：

证明：

∴

2.16用构造法解行列式

例21设

证明：

证明：

构造出多项式：

2.17利用拉普拉斯展开

例22证明：

级行列式

证明：

利用拉普拉斯展开定理，按第

行展开有：

以上等式右端的

级行列式均为“三角形行列式”。

计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的几种方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。

3用多种方法解题

下面我们运用上面的介绍的各种方法，选用多种方法解题。

例23计算：

法1：

将第2,3,…，n行都加到第1行上去，得

再将第一行通乘

，然后分别加到第2,3,…,n行上，得

法2：

将2,3,…,n行分别减去第1行得

再将第2,3,…,n列都加到第1列上去，

便有

法3：

将

添加一行及一列，构成

阶行列式

再将第2,3,…,n+1行分别减去第1行，于是有

令

在

时，显然

，在

时，

则

法4：

令

将右式中第二个行列式的第2,3,…,n列全加到第1列上去，再利用Laplace展开，所以得

例24求证

证：

若记

，

时，上述等式可简记为

证法一：

把第2行乘以

，第3行乘以

，…，第

行乘以

，全部加到第一行，再对第1行利用拉普拉斯定理展开，注意各项的符号应为

，得证。

证法二：

对

用归纳法

当

时，

，命题成立。

假设对于

时命题成立，那么，当左下角单位矩阵为

阶（即

）时，对最后一行展开，

其中

，

而按归纳法假设

证毕。

证法三：

利用分块矩阵的乘法

两边取行列式，得

在演算一个问题时，需要仔细分析已给的条件，灵活运用已经知道的性质和已经掌握的技巧，不要死套公式，这样就能很快求出答案。