高三数学一轮复习精品教案311集合教学设计.docx
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高三数学一轮复习精品教案311集合教学设计
第1课时 集合的概念与运算
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
(2)在具体环境中,了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算.
『梳理自测』
一、集合与元素
1.已知a∈R,b∈R,若
={a2,a+b,0},则a=________,b=________.
『解析』由已知得
=0及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1.
『答案』-1 0
◆此题主要考查集合元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
2.(2014·潍坊仿真)已知集合M={x|x2-3≤0},则下列关系式正确的是( )
A.0∈M B.0∉M
C.0⊆MD.3∈M
『解析』选A.M={x|x2-3≤0}={x|-
≤x≤
},
∴0∈M.
◆此题主要考查元素与集合的关系:
属于或不属于,用符号表示为∈或∉.
3.已知集合A={-1,0,4},集合B={x|x2-2x-3≤0,x∈N},全集为U,则图中阴影部分表示的集合是( )
A.{4}B.{4,-1}
C.{4,5}D.{-1,0}
『解析』选B.B={0,1,2,3},阴影为(∁UB)∩A={-1,4}.
◆此题主要考查集合的表示方法及意义:
集合的表示方法主要有列举法,描述法,Venn图法.
4.常用数集:
自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集Z;有理数集Q;实数集R.
5.集合的分类:
按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集.
二、集合间的关系
(2012·高考湖北卷)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
『解析』选D.A={1,2},B={1,2,3,4},故满足C的集合为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
◆此题考查了集合间的基本关系,如下表:
三、集合的基本运算
已知集合A={x|x>1},B={x|-1<x<2},U=R,则A∩B=________,A∪B=________,∁UA=________,∁U(A∩B)=________.
『解析』A∩B={x|1<x<2},A∪B={x|x>-1},∁UA={x|x≤1},∁U(A∩B)={x|x≤1或x≥2}.
『答案』{x|1<x<2} {x|x>-1} {x|x≤1} {x|x≤1或x≥2}
◆此题考查了集合的运算,如下表:
『指点迷津』
1.一个性质
要注意A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性.
2.两种方法
Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.
如:
全集U=R,A={x|a≤x≤a+1},B={x|x<-1},若A∩(∁UB)=∅,则a的范围为a<-2.
3.三个防范
①认清元素的意义,数集与点集混淆、函数的定义域与值域混淆、图形集与点集混淆等,如{x|y=
}与{y|y=
}以及{(x,y)|y=
}分别表示函数y=
的定义域、值域以及函数图象上的点集;
②注意防范:
集合的基本运算中端点值的取舍导致增解或漏解,求解集合的补集时由于错误否定条件导致错解,如已知A=
,误把集合A的补集写为
导致漏解;
③空集是任何集合的子集,注意对空集的讨论,防止漏解;注意集合中元素的互异性,防止增解,如关系“B⊆A”中,B可以为∅.
考向一 集合的基本概念
(1)(2013·高考山东卷)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3
C.5D.9
(2)已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且1∈A,则2015a的值为________.
『审题视点』
(1)弄清B的元素是怎么构成的.
(2)讨论A中哪个元素可以为1.
『典例精讲』
(1)①当x=0时,y=0,1,2,此时x-y的值分别为0,-1,-2;
②当x=1时,y=0,1,2,此时x-y的值分别为1,0,-1;
③当x=2时,y=0,1,2,此时x-y的值分别为2,1,0.
综上可知,x-y的值可能为-2,-1,0,1,2,共5个,故选C.
(2)当a+2=1,即a=-1时,
(a+1)2=0,a2+3a+3=1与a+2相同,
∴不符合题意.
当(a+1)2=1,即a=0或a=-2时,
①a=0符合要求.
②a=-2时,a2+3a+3=1与(a+1)2相同,不符合题意.
当a2+3a+3=1,即a=-2或a=-1.
①当a=-2时,a2+3a+3=(a+1)2=1,不符合题意.
②当a=-1时,a2+3a+3=a+2=1,不符合题意.
综上所述,a=0.
『答案』
(1)C
(2)1
『类题通法』 1.研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.
2.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合是否满足互异性.
1.(2014·山东高考信息卷)已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1』B.『1,+∞)
C.『0,+∞)D.(-∞,1)
『解析』选A.因为1∉A,故当x=1时,有x2-2x+a≤0,即12-2×1+a≤0,解得a≤1.考向二 集合间的基本关系及应用
(2014·江西省高三联考)若集合P={x|3<x≤22},非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5},则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为( )
A.(1,9) B.『1,9』
C.『6,9)D.(6,9』
『审题视点』 首先分析P与Q的关系,构造集合端点符合的不等式.
『典例精讲』 依题意,P∩Q=Q,Q⊆P,于是
,解得6<a≤9,即实数a的取值范围是(6,9』,选D.
『答案』 D
『类题通法』
(1)通过集合之间的关系,求参数的取值范围,最终是要通过比较区间端点的大小来实现,因此确定两个集合内的元素,成为解决该类问题的关键.由于元素的属性中含有参数,所以分类讨论成为必然,分类讨论时要注意不重不漏.
(2)对于集合的包含关系,B⊆A时,别忘记B=∅的情况.对于端点的虚实可单独验证.
2.(2014·惠州市高三调研)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为( )
A.{-1}B.{1}
C.{-1,1}D.{-1,0,1}
『解析』选D.由题意知集合B的元素为1或-1或者B为空集,故a=0或1或-1.故选D.
考向三 集合的基本运算
(1)(2014·德州二模)已知全集U=R,集合A=
,B={x|y=loga(x+2)},则集合(∁UA)∩B=( )
A.(-2,-1) B.(-2,-1』
C.(-∞,-2)D.(-1,+∞)
(2)(2012·高考重庆卷)设平面点集A=
,B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则A∩B所表示的平面图形的面积为( )
A.
πB.
π
C.
πD.
『审题视点』
(1)分别求两个函数的定义域,A与B,再求∁UA.
(2)A、B分别是区域的点集,利用数形结合求面积.
『典例精讲』
(1)A={x|x+1>0}={x|x>-1},B={x|x+2>0}={x|x>-2}.
∴∁UA={x|x≤-1},(∁UA)∩B={x|-2<x≤-1}.
(2)借助图形,数形结合求解.
由题意知A∩B所表示的平面图形为图中阴影部分,曲线y=
与直线y=x将圆(x-1)2+(y-1)2=1分成C,D,E,F四部分.∵圆(x-1)2+(y-1)2=1与y=
的图象都关于直线y=x对称,从而SC=SF,SD=SE,而SC+SD+SE+SF=π,∴S阴影=SC+SE=
.
『答案』
(1)B
(2)D
『类题通法』 集合的运算
(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.
(2)对集合化简.有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决.
(3)解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算;当集合是用不等式形式表示时,可运用数轴求解;当集合是点集时,可利用数形结合求解.
3.
(1)(2014·“江南十校”高三联考)已知集合A={x|x2-x≤0},函数f(x)=2-x(x∈A)的值域为B,则(∁RA)∩B=( )
A.(1,2』B.『1,2』
C.『0,1』D.(1,+∞)
『解析』选A.由题意知,集合A={x|0≤x≤1},
∴B={y|1≤y≤2},∁RA={x|x<0或x>1},
∴(∁RA)∩B=(1,2』.
(2)(2014·广东西北九校高三联考)设函数f(x)=lg(1-x2),集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.『-1,0』B.(-1,0)
C.(-∞,-1)∪『0,1)D.(-∞,-1』∪(0,1)
『解析』选D.因为A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1},则Z=1-x2∈(0,1』,
所以B={y|y=f(x)}={y|y≤0},A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0』,故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1』∪(0,1),选D.考向四 与集合有关的新定义
(2013·高考广东卷)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是( )
A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S
B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S
C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈S
D.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S
『审题视点』 明确集合S表示的含义,对S中的各种情况进行组合,综合分析.也可以对x,y,z,w赋值,利用特殊值排除不符合的选项.
『典例精讲』 方法一:
因为(x,y,z)∈S,则x,y,z的大小关系有3种情况,同理,(z,w,x)∈S,则z,w,x的大小关系也有3种情况,如图所示,由图可知,x,y,w,z的大小关系有4种可能,均符合(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.故选B.
方法二:
(特殊值法)因为(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,不妨令x=2,y=3,z=4,w=1,则(y,z,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)=(2,3,1)∈S,故(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S的说法均错误,可以排除选项A、C、D,故选B.
『答案』 B
『类题通法』 解决创新集合新运算问题常分为三步:
(1)对新定义进行信息提取,确定化归的方向;
(2)对新定义所提取的信息进行加工,探求解决方法;
(3)对定义中提出的知识进行转换,有效地输出.其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键,也是解题的难点.
4.(2013·高考福建卷)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:
(1)T={f(x)|x∈S};
(2)对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合:
①A=N,B=N*;
②A={x|-1≤x≤3},B={x|-8≤x≤10};
③A={x|0<x<1},B=R.
其中,“保序同构”的集合对的序号是________.(写出所有“保序同构”的集合对的序号)
『解析』举例说明有符合条件的函数即可.
①取f(x)=x+1,符合题意.②取f(x)=
x-
,符合题意.③取f(x)=tanπ
,符合题意.
『答案』①②③
集合中元素特征认识不明致误
(2012·高考课标全国卷)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6
C.8D.10
『正解』 ∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4.∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},∴B中所含元素的个数为10.
『答案』 D
『易错点』 本题属于创新型的概念理解题,准确地理解集合B是解决本题的关键,该题解题过程易出错的原因有两个,一是误以为集合B中的元素(x,y)不是有序数对,而是无序的两个数值;二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A,y∈A,x-y∈A”,只关注“x∈A,y∈A”,而忽视“x-y∈A”的限制条件导致错解.
『警示』 判断集合中元素的性质时要注意两个方面:
一是要注意集合中代表元素的字母符号,区分x、y、(x,y);二是准确把握元素所具有的性质特征,如集合{x|y=f(x)}表示函数y=f(x)的定义域,{y|y=f(x)}表示函数y=f(x)的值域,{(x,y)|y=f(x)}表示函数y=f(x)图象上的点.
遗忘空集致误
若集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S⊆P,则由a的可取值组成的集合为________.
『正解』
(1)P={-3,2}.当a=0时,S=∅,满足S⊆P;
当a≠0时,方程ax+1=0的解集为x=-
,
为满足S⊆P可使-
=-3或-
=2,
即a=
或a=-
.
故所求集合为
.
『答案』
『易错点』 在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论,如S=∅时,a=0;二是易忽略对字母的讨论.如-
可以为-3或2.
『警示』
(1)从集合的关系看,S⊆P,则S=∅或S≠∅,勿遗忘S=∅的情况.
(2)对含字母的问题,注意分类讨论.
1.(2013·高考全国新课标卷)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-
},则( ) A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆AD.A⊆B 『解析』选B.先求解集合A,再进行集合之间的运算. ∵A={x|x>2或x<0},B={x|- }, ∴A∩B={x|- },A∪B=R. 故选B. 2.(2013·高考全国大纲卷)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( ) A.3B.4 C.5D.6 『解析』选B.依据题目条件直接计算. 由题意可知,集合M={5,6,7,8},共4个元素. 3.(2013·高考陕西卷)设全集为R,函数f(x)= 的定义域为M,则∁RM为( ) A.『-1,1』B.(-1,1) C.(-∞,-1』∪『1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 『解析』选D.由1-x2≥0,知-1≤x≤1, ∴M=『-1,1』,∴∁RM=(-∞,-1)∪(1,+∞). 4.(2013·高考福建卷)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 『解析』选A.利用命题的真假判断充要条件. ∵A={1,a},B={1,2,3},A⊆B,∴a∈B且a≠1, ∴a=2或3,∴“a=3”是“A⊆B”的充分而不必要条件.
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