高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案.docx

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高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案

高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）

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　　导学目标：

1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．

　　自主梳理

　　．二倍角的正弦、余弦、正切公式

　　sin2α＝________________；

　　cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；

　　tan2α＝________________________．

　　2．公式的逆向变换及有关变形

　　sinαcosα＝____________________⇒cosα＝sin2α2sinα；

　　降幂公式：

sin2α＝________________，cos2α＝________________；

　　升幂公式：

1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；

　　变形：

1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.

　　自我检测

　　．函数f＝2sinxcosx是

　　A．最小正周期为2π的奇函数

　　B．最小正周期为2π的偶函数

　　c．最小正周期为π的奇函数

　　D．最小正周期为π的偶函数

　　2．函数f＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为

　　A．－3,1

　　B．－2,2

　　c．－3，32

　　D．－2，32

　　3．函数f＝sinxcosx的最小值是

　　A．－1

　　B．－12

　　c.12

　　D．1

　　4．已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinA•sinB

　　A．有最大值12，最小值0

　　B．有最小值12，无最大值

　　c．既无最大值也无最小值

　　D．有最大值12，无最小值

　　探究点一　三角函数式的化简

　　例1　求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．

　　变式迁移1　已知函数f＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.

　　求f－11π12的值；

　　当x∈0，π4时，求g＝12f＋sin2x的最大值和最小值．

　　探究点二　三角函数式的求值

　　例2　已知sin•sin＝14，α∈，求2sin2α＋tanα－1tanα－1的值．

　　变式迁移2　已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．

　　已知cos＝35，π2≤α<3π2，求cos的值．

　　探究点三　三角恒等式的证明

　　例3　已知sin＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f．

　　求证：

tan＝2tanα；

　　求f的解析表达式；

　　若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f的值域．

　　变式迁移3　求证：

sin2xsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1

　　＝1＋cosxsinx.

　　转化与化归思想的应用

　　例　已知函数f＝

　　＋1tanxsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.

　　当m＝0时，求f在区间π8，3π4上的取值范围；

　　当tanα＝2时，f＝35，求m的值．

　　【答题模板】

　　解　当m＝0时，f＝1＋cosxsinxsin2x

　　＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x2

　　＝122sin2x－π4＋1，[3分]

　　由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分]

　　所以sin2x－π4∈－22，1，[5分]

　　从而得f的值域为0，1＋22.[6分]

　　f＝sin2x＋sinxcosx－m2cos2x

　　＝1－cos2x2＋12sin2x－m2cos2x

　　＝12[sin2x－cos2x]＋12，[8分]

　　由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45，

　　cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[10分]

　　所以35＝1245＋351＋m＋12，[11分]

　　解得m＝－2.[12分]

　　【突破思维障碍】

　　三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：

能求出数值的要求出数值；使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；分式中的分母尽量不含根式等．

　　．求值中主要有三类求值问题：

　　“给角求值”：

一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

　　“给值求值”：

给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

　　“给值求角”：

实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．

　　2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：

　　在化简求值和证明时常用如下方法：

切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．

　　常用的拆角、拼角技巧如：

2α＝＋，α＝－β，α＝＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等．

　　化繁为简：

变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．

　　消除差异：

消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．

　　一、选择题

　　．已知0<α<π，3sin2α＝sinα，则cos等于

　　A.13

　　B．－13

　　c.16

　　D．－16

　　2．已知tan＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于

　　A.1318

　　B.1322

　　c.322

　　D.16

　　3．已知cos2α＝12，则sinα的值为

　　A.12

　　B．－12

　　c.32

　　D．－32

　　4．若f＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为

　　A．－433

　　B．8

　　c．43

　　D．－43

　　5．在△ABc中，若cos2B＋3cos＋2＝0，则sinB的值是

　　A.12

　　B.22

　　c.32

　　D．1

　　题号

　　2

　　3

　　4

　　5

　　答案

　　二、填空题

　　6．已知α为第二象限的角，且sinα＝35，则tan2α＝________.

　　7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．

　　8．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为________．

　　三、解答题

　　9．化简：

cos20°cos40°cos60°cos80°；

　　3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α.

　　0．设函数f＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12.

　　求f的最小正周期；

　　当∈0，π2时，求函数f的最大值和最小值．

　　1．已知函数f＝2cos2x＋sin2x－4cosx.

　　求f的值；

　　求f的最大值和最小值．

　　答案

　　自主梳理

　　．2sinαcosα　cos2α－sin2α　2cos2α　2sin2α

　　2tanα1－tan2α　2.12sin2α　1－cos2α2　1＋cos2α2　2cos2α2　2sin2α2　2

　　自我检测

　　．c　2.c　3.B　4.D

　　课堂活动区

　　例1　解题导引　化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．

　　解　y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x

　　＝7－2sin2x＋4cos2x

　　＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x

　　＝7－2sin2x＋sin22x＝2＋6，

　　由于函数z＝2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝2＋6＝10，最小值为zmin＝2＋6＝6，

　　故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，

　　当sin2x＝1时，y取得最小值6.

　　变式迁移1　解　f

　　＝1＋cos2x2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x

　　＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x

　　＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，

　　∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cosπ6＝3.

　　g＝cos2x＋sin2x

　　＝2sin2x＋π4.

　　∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，

　　∴当x＝π8时，gmax＝2，

　　当x＝0时，gmin＝1.

　　例2　解题导引　这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；

　　如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．

　　解　由sin•sin

　　＝sin•cos

　　＝12sin＝12cos4α＝14，

　　∴cos4α＝12，又α∈，故α＝5π12，

　　∴2sin2α＋tanα－1tanα－1

　　＝－cos2α＋sin2α－cos2αsinαcosα

　　＝－cos2α＋－2cos2αsin2α

　　＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.

　　变式迁移2　解　∵α是第一象限角，cosα＝513，

　　∴sinα＝1213.

　　∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sinα＋cosαcos2α

　　＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α

　　＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214.

　　cos＝cos2αcosπ4－sin2αsinπ4

　　＝22，

　　∵π2≤α<32π，

　　∴3π4≤α＋π4<74π.

　　又cos＝35>0，

　　故可知32π<α＋π4<74π，

　　∴sin＝－45，

　　从而cos2α＝sin

　　＝2sincos

　　＝2××35＝－2425.

　　sin2α＝－cos

　　＝1－2cos2

　　＝1－2×2＝725.

　　∴cos＝22＝22×

　　＝－31250.

　　例3　解题导引　本题的关键是第小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第小题则利用基本不等式求解即可．

　　证明　由sin＝3sinβ，得sin[＋α]

　　＝3sin[－α]，

　　即sincosα＋cossinα＝3sincosα－3cossinα，

　　∴sincosα＝2cossinα，

　　∴tan＝2tanα.

　　解　由得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x，

　　∴y＝x1＋2x2，即f＝x1＋2x2.

　　解　∵角α是一个三角形的最小内角，

　　∴0<α≤π3，0<x≤3，

　　设g＝2x＋1x，则g＝2x＋1x≥22．

　　故函数f的值域为＝cos＝－cosα＝－16.]

　　2．c　[因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，

　　所以α＋π4＝－β－π4.

　　所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4

　　＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.]

　　3．B　[∵12＝cos2α＝1－2sin2α，

　　∴sin2α＝14.又∵α∈－π4，0，

　　∴sinα＝－12.]

　　4．B　[f＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx

　　＝2sinxcosx＝4sin2x

　　∴fπ12＝4sinπ6＝8.]

　　5．c　[由cos2B＋3cos＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，

　　∴cosB＝12或cosB＝1．

　　∴sinB＝32.]

　　6．－247

　　解析　因为α为第二象限的角，又sinα＝35，

　　所以cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝－34，

　　所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.

　　7．1－2

　　解析　∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x

　　＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，

　　∴当sin＝－1时，函数取得最小值1－2.

　　8.12

　　解析　∵cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα

　　＝－2＝－22，

　　∴cosα＋sinα＝12.

　　9．解　∵sin2α＝2sinαcosα，

　　∴cosα＝sin2α2sinα，…………………………………………………………………………

　　∴原式＝sin40°2sin20°•sin80°2sin40°•12•sin160°2sin80°

　　＝sin180°－20°16sin20°＝116.……………………………………………………………………

　　原式＝3－4cos2α＋2cos22α－13＋4cos2α＋2cos22α－1………………………………………………………

　　＝1－cos2α21＋cos2α2＝2sin2α22cos2α2＝tan4α.………………………………………………………

　　0．解　f＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12

　　＝32sin2x－12cos2x－1

　　＝sin2x－π6－1.…………………………………………………………………………

　　T＝2π2＝π，故f的最小正周期为π.…………………………………………………

　　因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.

　　所以当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f有最大值0，

　　……………………………………………………………………………………………

　　当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f有最小值－32.

　　……………………………………………………………………………………………

　　1．解　f＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3

　　＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………

　　f＝2＋－4cosx

　　＝3cos2x－4cosx－1

　　＝32－73，x∈R.………………………………………………………………

　　因为cosx∈[－1,1]，

　　所以，当cosx＝－1时，f取得最大值6；

　　当cosx＝23时，f取得最小值－73.…………………………………………………