集合的表示法高中数学知识点讲解含答案.docx
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集合的表示法高中数学知识点讲解含答案
集合的表示法(北京习题集)(教师版)
一.选择题(共5小题)
1.(2009•崇文区二模)由实数a,a,|a|,所组成的集合里,所含元素个数最多有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.(2009秋•南平期中)下列给出的对象中,能表示集合的是( )
A.一切很大的数B.无限接近零的数
C.聪明的人D.方程x22的实数根
3.(2008•江西)定义集合运算:
,,.设,,,,则集合的
A*B{z|zxyxAyB}A{12}B{02}A*B
所有元素之和为( )
A.0B.2C.3D.6
4.(2017秋•海淀区期中)已知非空集合A,B满足以下两个条件.
AUB6}AIB(ⅰ){1,2,3,4,5,,;
(ⅱ)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,则有序集合对(A,B)的个数为( )
A.10B.12C.14D.16
5.(2017秋•西城区校级期中)设集合{|0},,则
AxxxB{x|x20}{x|(x2x)(x2)0}()
2
RAIBRAUBAUðBR(AUB)A.ð()B.(ð)C.()D.ð
R
二.填空题(共5小题)
6.(2013秋•赣榆区校级期末)已知,2,,则实数 .
x{1x2}x
3xy2
7.(2019秋•海淀区校级期中)方程组的解集用列举法表示为 .
2x3y27
8.(2018秋•海淀区校级期中)已知集合A{1,2,3},B{y|y2x,xA},则B .
9.(2017•朝阳区二模)已知两个集合A,B,满足BA.若对任意的xA,存在a,aB(ij),使得
ij
x1ai2aj(1
,,0,,则称为的一个基集.若,2,3,4,5,6,7,8,9,,则其基
1})BAA{110}
2{1
集B元素个数的最小值是 .
10.(2017秋•海淀区期中)已知非空集合A,B满足以下两个条件:
AUB4}AIB(ⅰ){1,2,3,,;
(ⅱ)集合A的元素个数不是A中的元素,集合B的元素个数不是B中的元素.
第1页(共14页)
那么用列举法表示集合为 .
A
三.解答题(共5小题)
11.(2016•海淀区一模)给定正整数n(n…3),集合U{1,2,,n}.若存在集合A,B,C,同时满足下列条
n
件:
UAUBUCAIBBICAIC①,且;
n
②集合A中的元素都为奇数,集合B中的元素都为偶数,所有能被3整除的数都在集合C中(集合C中还可以
包含其它数);
③集合,,中各元素之和分别记为S,S,S,有;则称集合U为可分集合.
ABCSSS
ABCABCn
(Ⅰ)已知U为可分集合,写出相应的一组满足条件的集合A,B,C;
8
(Ⅱ)证明:
若n是3的倍数,则U不是可分集合;
n
(Ⅲ)若U为可分集合且n为奇数,求n的最小值.
n
12.(2016•房山区一模)已知数集M{a,a,,a}(0„aaa,n…2)具有性质P:
对任意的i,
12n12n
j(1„i„j„n)
,与两数中至少有一个属于.
aaaaM
ijji
(Ⅰ)分别判断数集{0,1,3}与{0,2,3,5}是否具有性质P,并说明理由;
2
(Ⅱ)证明:
10,且;
aa(aaaa)
n12n1n
n
(Ⅲ)当n5时,证明:
a,a,a,a,a成等差数列.
12345
13.(2014秋•石景山区期末)对于数集X{1,x,,,其中,,定义向量集
xx}0xxxn…21212n
Y{a|a(s,t)sXtX}aYaYagaXP
,,,若对任意,存在,使得120,则称具有性质.
12
(Ⅰ)判断{1,1,2}是否具有性质P;
(Ⅱ)若x,且{1,1,2,x}具有性质P,求x的值;
2
(Ⅲ)若具有性质,求证:
,且当时,11.
XP1Xx1x
n
14.(2018•海淀区校级模拟)我们称一个非负整数集合S(非空)为好集合,若对任意x,yS,或者xyS,
或者.以下记为的元素个数.
|xy|S|S|S
(Ⅰ)给出所有的元素均小于3的好集合;(给出结论即可)
(Ⅱ)求出所有满足|S|4的好集合;(同时说明理由)
第2页(共14页)
(Ⅲ)若好集合满足,求证:
中存在元素,使得中所有元素均为的整数倍.
S|S|2017SmSm
15.(2018•海淀区校级模拟)设Aa,a,,a},其中aN*,定义B{b|b|xaxaxa|,
{
12ni1122nn
x{1,0,1},i1,2,,n}.
i
(Ⅰ)若B{0,1,2,3,4,5,6},写出所有可能的A;
(Ⅱ)若B{0,1,2,3,4,5,6,,2017},求n的最大值;
(Ⅲ)若B{0,1,2,3,4,5,6,,2017},求n的最小值.
第3页(共14页)
则集合A*B中的元素可能为:
0、2、0、4,
又有集合元素的互异性,则A*B{0,2,4},
其所有元素之和为6;
故选:
D.
【点评】解题时,注意结合集合元素的互异性,对所得集合的元素的分析,对其进行取舍.
4.(2017秋•海淀区期中)已知非空集合A,B满足以下两个条件.
AUB6}AIB(ⅰ){1,2,3,4,5,,;
(ⅱ)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,则有序集合对(A,B)的个数为( )
A.10B.12C.14D.16
【分析】分别讨论集合,元素个数,即可得到结论.
AB
【解答】解:
若集合A中只有1个元素,则集合B中只有5个元素,则1A,5B,
即,,此时有,
5A1BC0
41
若集合A中只有2个元素,则集合B中只有4个元素,则2A,4B,
即,,此时有44,
4A2BC1
若集合A中只有3个元素,则集合B中只有3个元素,则3A,3B,不满足题意,
若集合A中只有4个元素,则集合B中只有2个元素,则4A,2B,
即,,此时有,
2A4B434
C
若集合A中只有5个元素,则集合B中只有1个元素,则5A,1B,
即,,此时有,
1A5B4
C41
故有序集合对的个数是,
(A,B)144110
故选:
.
A
【点评】本题主要考查排列组合的应用,根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键.
5.(2017秋•西城区校级期中)设集合{|0},,则
Axx2xB{x|x20}{x|(x2x)(x2)0}()
RAIBRAUBAUðBR(AUB)A.ð()B.(ð)C.()D.ð
R
【分析】利用并集、补集定义直接求解.
【解答】解:
集合,,
QA{x|x2x0}{01}
B{x|x20}2
,
第5页(共14页)
ðU
{x|(xx)(x2)0}(AB)
2{x|(xx)(x2)0}(AB)
R
.
故选:
D.
【点评】本题考查集合的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集、补集定义的合理运用.
二.填空题(共5小题)
6.(2013秋•赣榆区校级期末)已知,2,,则实数 0或2 .
x{1x2}x
【分析】利用元素与集合的关系知x是集合的一个元素,分类讨论列出方程求出x代入集合检验集合的元素满足的三
要素.
【解答】解:
Qx{1,2,x2},
分情况讨论可得:
①x1此时集合为{1,2,1}不合题意
②x2此时集合为{1,2,4}合题意
③解得或
xx2x0x1
当x0时集合为{1,2,0}合题意
故答案为0或2.
【点评】本题考查元素与集合的关系、在解集合中的参数问题时,一定要检验集合的元素满足的三要素:
确定性、
互异性、无序性.
3xy2
7.(2019秋•海淀区校级期中)方程组的解集用列举法表示为 {(3,7)} .
2x3y27
【分析】直接接二元一次方程组求出结果,再转换解集的形式.
936
3xy2xyx3
【解答】解:
整理得,解得,
2x3y272x3y27y7
转换为列举法为.
{(3,7)}
故答案为:
.
{(3,7)}
【点评】本题考查的知识要点:
二元一次方程组的解法和应用,针对性的考查了学生的运算能力和转换能力,属于
基础题.
8.(2018秋•海淀区校级期中)已知集合A{1,2,3},B{y|y2x,xA},则B {2,4,6} .
【分析】根据A{1,2,3},B{y|y2x,xA},从而得出x1时,y2;x2时,y4;x3时,
y6,从而得出集合B.
第6页(共14页)
【解答】解:
QA,2,3},B{y|y2x,xA},
{1
B{2,4,6}.
故答案为:
{2,4,6}.
【点评】考查列举法、描述法的定义,以及元素与集合的关系.
9.(2017•朝阳区二模)已知两个集合A,B,满足BA.若对任意的xA,存在a,aB(ij),使得
ij
x1ai2aj(1
,,0,,则称为的一个基集.若,2,3,4,5,6,7,8,9,,则其基
1})BAA{110}
2{1
集B元素个数的最小值是 4 .
【分析】分别考虑若基集B的元素个数为1,2,3,4时是否符合题意,从而得到基集B的元素个数最小值.
【解答】解:
若基集B的元素个数为1,显然不合题意;
若基集B的元素个数为2,不妨设为a,b,且ab,则所有的可能组合为a,b,ab,ab,显然不合题意;
若基集B的元素个数为3,不妨设为a,b,c,且abc,
则所有的可能组合为a,b,c,ab,ac,bc,ab,ac,bc,共9中情况,显然不合题意;
若基集B的元素个数为4,不妨令B{1,2,4,8},此时对任意的xA,存在a,aB(ij),
ij
使得1i2j(1,,0,,
xaa
2{11})
所以基集B的元素个数最小值为4.
故答案为:
4.
【点评】本题以一个集合为另一个集合的m元基底的讨论为载体,着重考查了集合元素的讨论和方程、不等式的整
数解的讨论和两个计数原理等知识,属于难题.
10.(2017秋•海淀区期中)已知非空集合A,B满足以下两个条件:
AUB4}AIB(ⅰ){1,2,3,,;
(ⅱ)集合的元素个数不是中的元素,集合的元素个数不是中的元素.
AABB
那么用列举法表示集合A为 {3}或{1,2,4} .
AUB4}AIBAAB【分析】根据已知中(ⅰ){1,2,3,,;(ⅱ)集合的元素个数不是中的元素,集合
的元素个数不是中的元素.可得,不能为空集,且,不能均为二元集合,进而得到答案.
BABAB
【解答】解:
(ⅰ),2,3,,;
QAUB{14}AIB
(ⅱ)集合A的元素个数不是A中的元素,集合B的元素个数不是B中的元素.
则A,B不能为空集,且A,B不能均为二元集合,
若A含一个元素,则该元素只能是3,即A{1}
第7页(共14页)
若A含三个元素,则元素不能有3,即A{1,2,4}
故答案为:
{3}或{1,2,4}(答对一个给3分)
【点评】本题考查的知识点是集合元素与集合的关系,分类讨论思想,难度中档.
三.解答题(共5小题)
11.(2016•海淀区一模)给定正整数n(n…3),集合U{1,2,,n}.若存在集合A,B,C,同时满足下列条
n
件:
UAUBUCAIBBICAIC①,且;
n
②集合A中的元素都为奇数,集合B中的元素都为偶数,所有能被3整除的数都在集合C中(集合C中还可以
包含其它数);
③集合A,B,C中各元素之和分别记为S,S,S,有SSS;则称集合U为可分集合.
ABCABCn
(Ⅰ)已知U为可分集合,写出相应的一组满足条件的集合A,B,C;
8
(Ⅱ)证明:
若n是3的倍数,则U不是可分集合;
n
(Ⅲ)若U为可分集合且n为奇数,求n的最小值.
n
【分析】(I)取A{5,7},B{4,8},C{1,2,3,6},即可满足条件.
(II)假设存在n是3的倍数且U是可分集合.设n3k,则依照题意{3,6,,3k}C,可得S…363k,
nC
n(n1)
而这n个数的和为,即可得出矛盾.
2
(Ⅲ)35.由于所有元素和为,又S中元素是偶数,所以3S6m(m为正整数),可得以
n
(1)
nn
(1)
nn
BB
22
n(n1)12m,由(Ⅱ)知道,n不是3的倍数,所以一定有n1是3的倍数.当n为奇数时,n1为偶数,而
n(1n)12m,一定有n1既是3的倍数,又是4的倍数,所以n112k,
所以n12k1,kN*.可得:
k(12k1)m.定义集合D{1,5,7,11,},即集合D由集合U中所有不是
n
3的倍数的奇数组成,定义集合E{2,4,8,10,},即集合E由集合U中所有不是3的倍数的偶数组成,
n
可得k…3.即可得出.
【解答】解:
(I)依照题意,可以取A{5,7},B{4,8},C{1,2,3,6}.
(II)假设存在n是3的倍数且U是可分集合.
n
设n3k,则依照题意{3,6,,3k}C,
第8页(共14页)
3k3k
2
故,
S…363k
C
2
nn1
(1)32323
(1)nnkkkk
而这n个数的和为,故,矛盾,
S
C
23222
所以n是3的倍数时,U一定不是可分集合.
n
(Ⅲ)n35.
n(n1)n(n1)
因为所有元素和为,又S中元素是偶数,所以3S6m(m为正整数),
BB
22
所以
(1)12,因为,为连续整数,故这两个数一个为奇数,另一个为偶数.
nnmnn1
由(Ⅱ)知道,n不是3的倍数,所以一定有n1是3的倍数.
当为奇数时,为偶数,而,
nn1n(1n)12m
所以一定有n1既是3的倍数,又是4的倍数,所以n112k,
所以nk,kN*.(10分)
121
定义集合D{1,5,7,11,},即集合D由集合U中所有不是3的倍数的奇数组成,
n
定义集合E,4,8,10,},即集合E由集合中所有不是3的倍数的偶数组成,
{2U
n
根据集合,,的性质知道,集合,,
ABCADBE
1n(1n)
此时集合D,E中的元素之和都是24k2,而SSS24k22k,
ABC
32
(312k3)(4k1)
24k2(24k22k)2k
此时U中所有3的倍数的和为24k26k,,
n
2
(24k2k)(24k6k)4k
22
显然必须从集合D,E中各取出一些元素,这些元素的和都是2k,
所以从集合D{1,5,7,11,}中必须取偶数个元素放到集合C中,所以2k…6,
所以k…3,此时n…35
而令集合A{7,11,13,17,19,23,25,29,31,35},
集合B{8,10,14,16,20,22,26,28,32,34},
集合C{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4},
检验可知,此时U是可分集合,所以n的最小值为35.(13分)
35
【点评】本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、等差数列的前n项和公式、新定义,考查了分析问
题与解决问题的能力、计算能力,属于难题.
12.(2016•房山区一模)已知数集M{a,a,,a}(0„aaa,n…2)具有性质P:
对任意的i,
12n12n
第9页(共14页)
j(1„i„j„n)
,与两数中至少有一个属于.
aaaaM
ijji
(Ⅰ)分别判断数集{0,1,3}与{0,2,3,5}是否具有性质P,并说明理由;
2
(Ⅱ)证明:
a10,且();
aaaaa
n12n1n
n
(Ⅲ)当n5时,证明:
a,a,a,a,a成等差数列.
12345
【分析】(Ⅰ)利用新定义,可以判断集合{0,1,3}不具有性质P,{0,2,3,5}具有性质P;
(Ⅱ)令,,可得属于,证明aaa,倒序相加即可得到结论;
jni1aaM
ninin1i
(Ⅲ)当n时,取j5,当i…2时,,由具有性质,结合等差数列的定义逐步可得.
5aaaMP
i55
【解答】(Ⅰ)解:
由于31和31都不属于集合{0,1,3},该数集不具有性质P;
由于20、30、50、32、52、53、00、22、33、55都属于集合{0,2,3,5},该数集
具有性质.
P
(Ⅱ)证明:
令,,则“与两数中至少有一个属于”,
jni1QaaaaM
ijji
aaM
不属于,aa属于M.ijni
令in1,那么aa是集合M中某项,a不行,是0,a可以.
nn112
如果是a或者a,那么可知aaa,那么aaaaa,只能是等于a了,矛盾.
34n3n1n2n3n1n
in1
令可以得到aaa,
n2n1
同理,令in2、n3,,2,可以得到aaa,
nin1i
n2
aaaaaa(aaaa)
倒序相加即可得到,即;
123n2nn12n1n
n
(Ⅲ)证明:
当n时,取j5,当i…2时,aaa,
5
i55
由M具有性质P,aaM,又i1时,aaM,
5i51
aaM,i1,2,3,4,5.
5i
Q0aaaaa
12345
,a5a1a5a2a5a3a5a4a5a50,
则aaa,aaa,aaa,
5
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