高中数学必修知识点总结.docx

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高中数学必修知识点总结

高中数学必修知识点总结

　　篇一：

高中数学必修一知识点总结

　　第一章集合与函数概念

　　课时一：

集合有关概念

　　1.集合的含义：

集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东

　　西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

　　2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

　　3.集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性：

集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：

属于或不属

　　于。

例：

世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的

　　人……

（2）元素的互异性：

一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

　　例：

由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

　　（3）元素的无序性:

集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合

　　例：

{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

　　3.集合的表示：

{…}如：

{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用大写字母表示集合：

A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：

列举法与描述法。

　　1）列举法：

将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}

　　2）描述法：

将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

　　{x?

R|x-3>2},{x|x-3>2}

　　①语言描述法：

例：

{不是直角三角形的三角形}

　　②Venn图:

画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

　　4、集合的分类：

（1）有限集：

含有有限个元素的集合

（2）无限集：

含有无限个元素的集合

　　（3）空集：

不含任何元素的集合例：

{x|x2=－5｝

　　5、元素与集合的关系：

（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：

a?

A

（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：

aA

　　注意：

常用数集及其记法：

　　非负整数集（即自然数集）记作：

N

　　正整数集N*或N+

　　整数集Z

　　有理数集Q

　　实数集R

　　课时二、集合间的基本关系

　　1.?

包含?

关系—子集

（1）定义：

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有

　　包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：

A?

B（或B?

Ａ）

　　注意：

A?

B有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

　　?

B或B?

?

A反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A

　　2．?

相等?

关系：

A=B

　　实例：

设A={x|x2-1=0}B={-1,1}?

元素相同则两集合相等

　　即：

①任何一个集合是它本身的子集。

A?

A

　　②真子集:

如果A?

B,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB或若集合A?

B，存在x?

B且xA，则称集合A是集合B的真子集。

　　③如果A?

B,B?

C,那么A?

C

　　④如果A?

B同时B?

A那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

　　课时三、集合的运算

　　课时四：

函数的有关概念

　　1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使

　　对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f和它对

　　应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f，x∈A．

（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f|x∈A}叫

　　做函数的值域．

　　2．函数的三要素：

定义域、值域、对应法则

　　3．函数的表示方法：

（1）解析法：

明确函数的定义域

（2）图想像：

确定函数图像是否连线，函数的图像可

　　以是连续的曲线、直线、折线、离散的点

　　等等。

　　（3）列表法：

选取的自变量要有代表性，可以反应定

　　义域的特征。

　　4、函数图象知识归纳

　　定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f,中的x为横坐标。

　　函数值y为纵坐标的点P的集合C，叫做函数y=f,的图象．C上每一点的坐标均满足函数关系y=f，反过

　　来，以满足y=f的每一组有序实数对x、y为坐标的点。

　　均在C上.

　　画法

　　A、描点法：

B、图象变换法：

平移变换；伸缩变换；对称变换。

　　（3）函数图像变换的特点：

　　1）函数y=f关于X轴对称y=-f

　　2）函数y=f关于Y轴对称y=f

　　3）函数y=f关于原点对称y=-f

　　课时五：

函数的解析表达式，及函数定义域的求法

　　1、函数解析式子的求法

（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系

　　时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）、求函数的解析式的主要方法有：

　　1）代入法：

　　2）待定系数法：

　　3）换元法：

　　4）拼凑法：

　　2．定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

　　求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

　　分式的分母不等于零；

　　偶次方根的被开方数不小于零；

　　对数式的真数必须大于零；

　　指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

　　如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域

　　是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

　　指数为零底不可以等于零。

　　实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

　　3、相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

　　②定义域一致

　　4、区间的概念：

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

　　（3）区间的数轴表示

　　课时六：

　　1．值域:

先考虑其定义域

（1）观察法：

直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；

（2）反表示法：

针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y

　　的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。

　　配方法：

针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的

　　值域，注意定义域的范围。

　　代换法（换元法）：

作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的

　　类型。

　　课时七

　　1.分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况．

　　（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

　　补充：

复合函数

　　如果y=f,u=g,则y=f[g]=F称为

　　f、g的复合函数。

　　（4）常用的分段函数

　　1）取整函数：

　　2）符号函数：

　　3）含绝对值的函数：

　　2．映射

　　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

A?

B为从集合A到集合B的一个映射。

记作?

f（对应关系）：

A（原象）?

B（象）

　　对于映射f：

A→B来说，则应满足：

　　集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

　　集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

　　不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

　　注意：

映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。

　　所以函数是映射，而映射不一定的函数

　　篇二：

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

　　高中数学必修1知识点

　　第一章集合与函数概念

　　一、集合有关概念：

　　1、集合的含义：

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

　　2、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性；

（2）元素的互异性；（3）元素的无序性

　　说明：

对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

　　任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

　　集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

　　集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

　　3、集合的表示：

{}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：

A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：

列举法与描述法。

　　（Ⅰ）列举法：

把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

　　（Ⅱ）描述法：

将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

　　①语言描述法：

例：

{不是直角三角形的三角形}

　　②数学式子描述法：

例：

不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}

　　（3）图示法（文氏图）：

　　4、常用数集及其记法：

　　非负整数集（即自然数集）记作：

N

　　正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

　　5、“属于”的概念

　　集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：

a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?

A

　　6、集合的分类：

　　1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合

　　二、集合间的基本关系

　　1.“包含”关系———子集

　　对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?

B

　　注意：

有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

　　反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?

B或BA

　　集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n2．“相等”关系

　　实例：

设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

　　结论：

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：

A=B?

A?

B且B?

A

　　①任何一个集合是它本身的子集。

A?

A

　　②真子集:

如果A?

B,且A?

B那就说集合A是集合B的真子集，记作A?

B

　　③如果A?

B,B?

C,那么A?

C

　　④如果A?

B同时B?

A那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　三、集合的运算

　　1．交集的定义：

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

　　记作A∩B，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

　　2、并集的定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。

记作：

A∪B，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

　　3、交集与并集的性质：

A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.

　　4、全集与补集

（1）全集：

如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。

通常用U来表示。

（2）补集：

设S是一个集合，A是S的一个子集（即A?

S），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。

记作：

CSA，即CSA={x|x?

S且x?

A}（3）性质：

⑴CU=A⑵∩A=Φ⑶∪A=U∩=CU∪=CU

　　二、函数的有关概念

　　1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f|x∈A}叫做函数的值域．

　　注意：

1、如果只给出解析式y=f，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

　　定义域补充：

　　能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；指数、对数式的底必须大于零且不等于1.如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

　　2、构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

　　注意：

（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：

①定义域一致；②表达式相同

　　值域补充

　　、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.

　　、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

　　3.函数图象知识归纳

　　定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f,中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P的集合C，叫做函数y=f,的图象．

　　C上每一点的坐标均满足函数关系y=f，反过来，以满足y=f的每一组有序实数对x、y为坐标的点，均在C上.即记为C={P|y=f,x∈A}

　　图象C一般的是一条光滑的连续曲线,也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点

　　的若干条曲线或离散点组成。

　　画法：

　　A、描点法：

根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以为坐标在坐标系内描出相应的点P，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

　　B、图象变换法：

　　常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换

　　Ⅰ、对称变换:

（1）将y=f在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f∣的图象如：

书上P21例5

　　?

1?

（2）y=f和y=f的图象关于y轴对称。

如y?

a与y?

a?

?

?

a

　　（3）y=f和y=-f的图象关于x轴对称。

如y?

logax与y?

?

logax?

log1xx?

xx

　　a

　　Ⅱ、平移变换:

由f得到f左加右减；由f得到f?

a上加下减

　　作用：

A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。

　　4．区间的概念

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

　　5．映射

　　定义：

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

A?

B为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f：

A?

B”

　　给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

　　说明:

函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；

　　③对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

　　6、函数的表示法：

　　常用的函数表示法及各自的优点：

　　1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：

作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。

　　2解析法：

必须注明函数的定义域；

　　3图象法：

描点法作图要注意：

确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；

　　4列表法：

选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

　　注意：

解析法：

便于算出函数值。

列表法：

便于查出函数值。

图象法：

便于量出函数值

　　补充一：

分段函数

　　在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：

（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

　　补充二：

复合函数

　　如果y=f,,u=g,,则y=f[g]=F，称为f是g的复合函数。

　　7．函数单调性

（1）．增函数

　　设函数y=f的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x10（C为常数）时，y?

f与y?

C?

f的单调性相同；

　　当C篇三：

高中数学必修一知识归纳整理

　　高中数学必修一知识归纳整理

　　集合

　　一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

　　一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ。

　　一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?

B或B?

A，读作“A包含于B”，或“B包含于A”。

　　如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A?

B或B?

A，读作“A真包含于B”，或“B真包含A”。

　　一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

　　一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A?

B，读作“A交B”。

　　一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作A?

B，读作“A并B”。

　　如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中补集，记作CuA，读作“A在U中的补集”。

　　?

（）元素与集合的关系：

属于（?

）和不属于（?

）?

1?

?

（?

集合与元素?

2）集合中元素的特性：

确定性、互异性、无序性?

?

（?

3）集合的分类：

按集合中元素的个数多少分为：

有限集、无限集、空集?

?

4）集合的表示方法：

列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（?

?

?

?

?

子集：

若x?

A?

x?

B，则A?

B，即A是B的子集。

?

?

?

?

nn?

1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2个，真子集有个。

?

?

?

?

?

?

?

?

2、任何一个集合是它本身的子集，即A?

A?

?

?

?

注?

?

关系?

?

?

3、对于集合A,B,C,如果A?

B，且B?

C,那么A?

C.?

?

?

?

4、空集是任何集合的（真）子集。

?

?

?

?

?

?

真子集：

若A?

B且A?

B?

（即至少存在x0?

B但x0?

A），则A是B的真子集。

集合?

?

?

?

?

?

?

集合相等：

A?

B且A?

B?

A?

B?

?

?

?

?

集合与集合?

?

定义：

A?

B?

?

x/x?

A且x?

B?

?

交集?

?

?

?

?

性质：

A?

A?

A，A?

?

?

?

，A?

B?

B?

A，A?

B?

A,A?

B?

B，A?

B?

A?

B?

A?

?

?

?

?

?

?

?

定义：

A?

B?

?

x/x?

A或x?

B?

?

并集?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

性质：

A?

A?

A，A?

?

?

A，A?

B?

B?

A，A?

B?

A，A?

B?

B，A?

B?

A?

B?

B?

运算?

?

?

Card?

Card?

Card-Card?

?

?

?

?

定义：

CUA?

?

x/x?

U且x?

A?

?

?

?

?

?

?

?

补集?

性质：

?

?

A?

?

，?

A?

U，CU?

A，CU?

?

，?

?

?

C?

?

?

?

UUU?

?

?

?

　　1．对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的―确定性、互异性、无序性‖。

　　如：

集合A?

?

x|y?

lgx?

，B?

?

y|y?

lgx?

，C?

?

|y?

lgx?

，A、B、C中元素各表示什么？

2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?

的特殊情况。

　　注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

　　2?

x|ax?

如：

集合A?

x|x?

2x?

3?

0，B?

，若B?

A，则实数a的值构成的集合为?

1?

　　答：

?

?

1，0

　　3．注意下列性质：

（1）集合?

a1，a2，……，an?

的所有子集的个数是2n?

?

1?

3

（2）若A?

B?

AB?

A，AB?

B；

　　4．你会用补集思想解决问题吗？

（排除法、间接法）

　　如：

已知关于x的不等式ax?

5?

0的解集为M，若3?

M且5?

M，求实数a的取值范围。

2x?

a

　　a·3?

5?

∵3?

M，∴?

0?

?

?

5?

32?

a?

a?

?

1?

?

·5?

5?

3?

?

∵5?

M，∴a?

0?

52?

a?

25?

9。

　　函数

　　函数是一种关系，在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

　　定义设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个（唯一确定）元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射。

这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f。

于是y=f，x称作y的原象。

映射f也可记为：

f：

A→B，x→f.其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象f构成的集合叫做映射f的值域，通常叫作f。

　　注意：

　　1.“y=f”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g”；

　　2.函数符号“y=f”中的f表示x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。

　　3.集合A和B是有先后顺序的，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的。

　　其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表示。

　　4.“有且仅有一个（唯一确定）”意思是：

一是必有一个，二是只有一个，也

　　就是说有且只有一个的意思。

　　构成函数的三要素是：

定义域、对应关系和值域。

　　构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。

由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。

　　两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

　　区间的概念

　　区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间

　　无穷区间

　　区间的数轴表示

　　如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。

　　在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫作分段函数。

　　函数的单调性

　　定义：

对于函数f的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,

（1）若当x1f，则说f在