电路理论基础课后答案哈工大陈希有第12章.docx
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电路理论基础课后答案哈工大陈希有第12章
题12.1
图示电路,设f1(^),i^f2(uR)。
以q及^为状态变量列出状态方程,并讨论所得方程是
ic=qc=-iR-LUl=申=Uc=q/C
将各元件方程代入上式得非线性状态方程:
q=-f1(屮)-f2(q/C)屮・=q/C
方程中不明显含有时间变量t,因此是自治的。
题12.2
图示电路,设u^=f1(q1),u^=f2(q2),列出状态方程。
i2
将
图题12.2
解:
分别对节点①、②列KCL方程:
节点①:
h=5=is-(U1-U2)/R3
节点②:
=q2=(U1-U2)/R3-U2/R4
代入上述方程,整理得状态方程:
q^-f1(q1)/R3+f2(q2)/R3+is
q;=f1(q1)/R3-f2(q2)(R3+R4)/(R3R4)
题12.3
在图示电路中电容的电荷与电压关系为比=f1(q1),电感的磁链电流关系为=f2
(2)。
试列
出电路的状态方程。
+R4i4
Us()
+
#U1
q-
图题12.3
解:
分别对节点①列KCL方程和图示回路列KVL方程得:
q1=i2—U3/R3屮;=Us—U3
(1)
⑵
U3为非状态变量,须消去。
由节点①的KCL方程得:
解得
-i^i^i^-i2+■R^+URU1=0
R3R4
U3
将
屮
=(Ui+R4i2)R3/(R3中尺)=[fl(qi)+R4f2
(2)]R3/(R3+R4)
=f1(q1)、i2=f2(叽)
及U3代入式
(1)、
(2)整理得:
日;Af'qJ/R椀)卄2(巴)Rs/R示4)
胆"(qJRs/R+引—f2(巴)明/(艮+农)+us
Ui
题12.4
图示电路,设i=a勺仃,Us=Psin(«t),试分别写出用前向欧拉法、后向欧拉法和梯形法计算响
应叽t)的迭代公式,步长为h。
Us®
图题12.4
解:
由KVL列出电路的微分方程:
d屮
UL=J=-Ri+us=-Ra(3阳)+Psin(⑷t)dt
前向欧拉法迭代公式:
屮k+」k+h[-R叫泸T)+Psin(叫k)]
后向欧拉法迭代公式:
屮“」k+h[-Rd(計+Psin®tkJ]
梯形法迭代公式:
屮“」k+0.5h[—Rd(押;)+卩sin")-Rd(Q昭石)+Psin化kJ]
题12.5
电路及非线性电阻的电压电流关系如图所示。
设C=1F,Uc(0」=7V,Us=10V。
画出t〉0时
Us
Uc
S(t=0)C
(a)
图题12.5
Ur
的动态轨迹并求电压Ur。
解:
由图(a)得:
duCdduR
iR=C=C一(Us—Ur)=-C
(1)
dtdtdt
(c)
(d)
Uc(0+)=3V
(a)
(b)
由一阶电路的三要素公式得:
设t=1时,动态点运动到A点,即4-e"=2,求得tj=In2俺0.693s。
⑵OA段.r>t1时,Ur将位于OA段,对应直线方程Ur=iR。
线性等效电路如图(d)。
由图(d)
求得:
题12.6
Uc(tA0)(注意电流跳变现象)。
解:
t>0时,由图(a)得
(c)AC段等效电路
(d)BC段等效电路
AC段的等效电路如图(C)所示。
由图(C)求得:
Uc(0+)=2V,Ucp(t)=3V,t=-1s
由三要素公式得:
uC=(3-d)V
(0vtctj
设1时刻到达C点,即
3—』
=1解得匕0.693s。
tAh时,动态轨迹位于
uC(t)=/.5(7
DO段,
非线性电阻变成线性20电阻,响应为
(2)设起始位置为B点,则设动态路径为B-C-D-O。
位于BC段时,线性等效电路如图(d)所示。
由图(d)求得
UCp(t)=-1V,T=1s
uC(t)=-1中3e■Lv设tr时刻到达C点,即-1+363=1解得
_L'
(Octct'1)
t;=ln1.5止0.405S。
CD段对应电流跳变,瞬间完成。
tAt;后动态轨迹进入DO段,非线性电阻变成
20线性电阻。
响应为
uC(t)=eq5(tMV(t〉t1')
(5)
(b)。
求t>0时的变化规律。
上述式
(1)、
(2)与(3)、(4)与(5)是本题的三组解答。
题12.7
E
解:
0 屮 段,对应线性电感: 图示电路中电感的磁链电流关系用两个直线段表示,如图 初始值屮(04=0,特解屮p(t)=Lt,时间常数T R 由三要素法,电路的零状态响应为: RR (1) 屮(t)=屮。 (t)+[屮(0卄屮。 (0J]eJ£L1(1-e® R E_rl1 设t1时刻到达A点,即屮t=—[,[―©J),解得 R t亠上% RL1E/R-屮1 Aln七 R_1^-屮1 当t>鮎时,屮=_2i+屮 屮-屮 '3^'1 0,其中电感_2=— i处一^ 5(t)」S)几 对应上式的时间常数与强制分量分别是 L2 t2=— R2 故当t>鮎时的响应为 旦 屮(t)/「(屮1-屮』「石 题12.8 图(a)所示电路t<0时处于稳态, 电容的电荷与电压关系如图(b)所示。 求t>0时电压U的变化规律。 解: 由图(a)电路得: u(0」=366>^4.5v=3v 当tA0时,将除非线性电容以外的电路用戴维南电路等效,如图(C)所示。 其中 等效电阻 Rj=(3//6)//2=10 开路电压 Uoc=1.5V。 1 (1)0 八^1F== ①.5V¥u㈣①1V◎ 10 1V 10 1.5V 0.5F -rU (C) (d) (e) C2 图12.8 u(0+)=u(0」=3V,RC=1s,Up(t)=1.5V 电路响应 U(t)=Up(t)+[U(0+)-U+1.5e」)V(0^t 随着时间的延续,电压u单调减小,设匕时刻电压U下降至A点,即 1.5+1站=2 解得 t^1.10s。 ⑵t沁勺时,工作在AO段,q=0.5u,此时电容等效为0.5F的线性电容,如图(e)所示。 由图(e)得时间常数及强制分量分别为: T*RC=0.5s,Up(t)=u(比)=Uoc=1.5V 电路响应: u(t)=up(t)-[u(t1)-up^JeJ^i'=[1.5+0.5027)^ 题12.9 图示电路,设Us=[10+%t)]V,R=10'o,书=3i2(单位: wb,A)。 求电流i。 图题12.9 解: 应用小信号分析法。 u;=10V单独作用时,电路的直流解为: r (1) 10=—;=0.01A。 R 动态电感 小信号线性等效电路如图(b)所示。 “(0』=0,心i(比)=10佥A, =Ld/R=6x10's 根据三要素法求得: -Rt △i=心(比)(1-eLd)=10,(1 式 (1)与式 (2)相加得本题解答: -e 丄>105t 6)£(t)A i(t)=l0+Ai(t)=[0.01+10^(1-e 题12.10 =>1o5t 6)dt)]A 图(a)所示电路已知R,=12k0,R2=6kO,非线性电容的电荷与电压关系为q=5x10Ju2(单 位: c,V),电压源us=[12+E(t)]V。 求电容电压u。 R2£(t)Vj^) 12kQ. 4gF二二凶 (b) 图题12.10 解: 用小信号分析法求解。 (1 直流工作点 Uo R2 =X12V=4V R1+R2 (2) 动态电容 Cd (3)小信号电路如图(a)所示,利用三要素公式求Au。 △u(0』=0,Aup=1/3V T=RCd二^^^咒卩彳心汩=0.016s 12+6 1 Au=Aup+[Au(0』一Aup(0JetT=-(1-e®.5t)g(t)V 3 电路完全解答为 u=U0+Au=4+[(1-eA25t)£(t)V 3 题12.11 图示电路,设Is=1A,Us=0.1呂(t)V,非线性电阻电压与电流关系为i=10;u2(u>0)(单位: A,V)。 求电压U。 usb 10Q [Q 』S0.5u Q10屮 (a) 图题12.11 解: 用小信号分析法求解。 (1)计算直流工作点。 直流电流源单独作用时,电容视为开路,如图 (b)所示。 100 Is0.5U0 1°—IsQ (b) 列KVL方程得: 井。 I 10(1。 -Is)+0.5U0+U0=0 (1) 其中10=1o3u02,代入式 (1)得: U: +15OUo-1000=0 解得: U0 6.39V -156.39V(舍去) 动态电导 Gd ’lu旻=2x10^x6.39=1.278>d02Sdu~0 ⑵用复频域分析法计算阶跃响应。 复频域电路模型如图(C)所示。 100 (C) 1sc + 二二Gdrgs) 0.1/s]) 对图(C)列节点电压方程得: (sC+Gd+石)iU(s)=[0.1/s-0.5也U(s)]/10 1000 解得 △U(s)=S(s+1.63X1O4)=7+s+1.63X104 其中 A=—A2=0.0614 Au(t)=0.0614(1-e丄仓3""0气戶(t)V 式⑵与⑶相加得: u=[6.39+0.0614(1-e」63"0"产(t)]V 题12.12 图示电路,设is=[2+0.1s(t)]A,Ur=iR(iR>0)(单位: v,a),屮=0.052(单位: Wb,A), 解: 用小信号分析法求解。 将uR=IR代入上式得 2 L0 L0 =FA 卜2A(舍去) (1) 解得: R0 =Ur0=1V 可用复频域分析法计算阶跃响应。 复频域电路模型如图(C)所示。 (2)小信号等效电路为二阶动态电路,图中动态参数分别为 对图(c)列节点电压方程得: 0.1 Un2(S)-—0.1ss 丄1 (1+廿)Un1(s)- 0.1s I1,, un1(S)+(苕+0.125^-)Un2(S)二0 I0.1s0.1s2 解得: s+4 其中 p2+jp=_7+j8.42,A=1/30止0.033,A^|A^^0.0484^249.88 反变换得: =[0.0333+0.0969eJcos(8.246t+249.88)f(t)A⑵ 式⑴与⑵相加得: iL(t)=1A+[0.0333+0.0969edcos(8.246t+249.88)f(t)A 题12.13 图示电路设C>0,i=at3(a〉0)。 试列出电路的状态方程,并画出状态轨迹。 图题12.13 叽冷)卡 dt 解: 电路状态变量为屮L、Uc。 分别列写KCL和KVL方程,经简单整理便得状态方程: (1) .dt~uC 画状态轨迹方法一将式 (1)等号两端分别相除得 duc CUc 利用分离变量法求解上述方程,主要步骤如下。 (Cuc)duc=(q 122 2C[uC-uC(0+)] _丄0([屮4_屮4 4 L(0+)] 2CuC"4剪2CuC(0』+a4(0』 基于上式即可画出电路的状态轨迹,如图(b)所示。 根据=uc可知,当uC>0,屮L增大;当 dt UccO,屮L减小。 即在上半平面,动态轨迹向右运动;在下半平面,动态轨迹向左运动。 动态轨迹方 向如图(b)所示。 Uc (b) 题12.14 方法一: 根据工作点附近动态轨迹的方向。 由KCL方程Cdu=I^i知 dt 当icIS=5A时,>0,u随时间t增加而增加;当i>IS=5A时,屯<0,u随时间t增加而 SdtSdt 减小。 电路的动态轨迹如图(b)所示。 其中A、C点附近的动态轨迹方向分别指向工作点,因此是稳定的;而B点附近的动态轨迹方向是离开B点,因此是不稳定的。 方法二: 根据工作点处小信号等效电路的极点位置。 由图(b)可见,在A、C两个工作点处,动态电阻为正值,即Rd=du/di>0,对应的小信号等效电路不存在位于复平面右半平面的极点,因此,工 作点是稳定的。 而工作点B处的动态电阻为负值,对应的小信号等效电路存在位于复平面右半平面的极点,因此是不稳定的。 题12.15 (b) Us 图题12.15 解方法一: 根据工作点附近动态轨迹的方向来判断。 在P1、P3两个工作点处,动态电阻为正值,即Rd=du/di,对应的小信号等效电路不存在位于复 题12.16 图示电路,非线性电阻的特性如图(b)所示。 作过程。 设电容初始电压对应P0点。 确定电路的平衡状态并判断其稳定性,分析tA0时的工 右半平面的极点,因而是不稳定的。 (a) 图题12.16 解: 由iY乎得,当i〉0,齐0,电压u只能下降,即在上半平面,动态点向左运动,当 (b)所示。 du \<0时,-->0,电压u只能上升,即在下半平面,动态点向右运动。 动态轨迹如图dt 当动态点由初始位置P0到达P时,由于动态轨迹方向均指向该点,不可能按R-F4运动,所以跳变到p2点。 从p2点,沿路径p2_F3运动到达p3点。 在F3点,动态轨迹方向也是均指向该点,不可能按 F3_R运动,所以跳变到F4点,由P4再到P点如此循环,循环振荡路径为p_P2—F3—F4。
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