『答案」C.
『解析」对称轴为x=-
4
®-<-2,:
.k<-S
4
②->1>:
.k>4
4
综上所述:
肚・8或Q4.
r-1?
『解析」/W=^+—=^+1-—
X+lX+1
两条渐近线为和排除A和B
当XT8,呈指数增长,故选D.
8•已知函数f(x)=x+\,g(x)=2l呵+Q,若对任意比w『3,4J,存在『-3,1」,
使/(xjng(X2),则实数a的取值范围是()
A.a<^B.a<2c.a<3D.a<4
『答案」C.
『解析」依题意只需/a)min'g(Qmin当x点『3,4J,/(x)单增,则/«min=/(3)=4
当“2丘r-3,1J,g(x)=2〔T+a,即卜+2|取最小时,有ggmin|x+2|g[0,3]
ggmin=2°+a=a+l
:
.a+\<4
:
.a<3.
二、选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求•全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9•下列四个命题中不正确的是()
A./(X)=^在(一8,£)上是单调递增函数
B.若函数/(a)=俶2+应+2与X辅没有交点,则b2-Sa<0且心)
C•幕函数的图象都通过点(1,1)
D.y=1+x和y=J(l+x)2表示同一个函数
『答案」BD.
•1Y
f(JV)=—
『解析」A.rv7(2丿,根据同增异减,只需求t=x2-x的递减区间
t=x2-x
■
对称轴x=£,即『在(―单调递减,正确•
B.函数f(x)=ax2+加+2与x轴无交点,代0显然不成立,
则只需△=戻一&/<0,且“H0即可,B错错误.
C.正确
Dy=J(i+x)2=|1+斗解析式不同,d错误.
10.若函数/(X)同时满足:
①对于是义域上的任意X,恒有/(x)+/(—x)=O;②/(x)在
龙义域上单调递减,则称函数/(x)对“理想函数S下列四个函数中能被称为“理想函数”
的有()
A.f(x)=-x
C.f(x)=丄
X
:
AD
『解析」根据/(x)+/(—x)=0得/(x)为奇函致,且在左义域递减.
A选项f(x)=-x,符合.
2
B选项/(x)=x\是幫函数,为偶函数,错误.
C选项/(%)=-,在(・00,0)和(0,+00)递减,非(80)U(0,+oo)递减,错误.X
D选项作图易知正确.
11•已知Gb为正实数,则下列判断中正确的是()
C.若a>b,贝I:
丄V丄
『答案」ABC.
I4
D.若a+b=\.则一+—的最小值是8
ab
『解析」A:
b>0,•••〃+丄>0,b+->0
ab
当且仅当“=+,・・.d=i
当且仅当b=[,•••!
>=1正确
b
B.2a+2b>24T^=4正确
C.当a>b>0时,a2>b2>0,则0v丄v—,正确crlr
所以最小值为9,D错误.
12.徳国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显箸.是解析数论的创始人之一,以其名命名
fl,x为有理数
的函数/(x)=(十「嗣称为狄利克雷函数,则关于/(兀)下列说法正确的是()
0,兀为无理数
A.函致/(x)的值域是『0,1』
B.VxeR,/(/(x))=l
C./(x+2)=f(x)对任意xGR恒成立
D.存在三个点心J(xJ),B(x2J(x2)),Cgjg),使得'ABC为等腰直角三角形
I■答案」BC.
『解析」A.值域为{0,1},错误.
B.当x为有理数时,f(x)=1,/(/(%))=f{x)=1
当x为无理数时,/(x)=0,/(/W)=/(0)=0
则Vc/?
/(/(x))=l,正确.
C.x为有理数时:
x+2为有理数,/(x+2)=/(x)=l
16.函数/(X)=ax2-2020.V+2021(^>0),在区间Ml,r+lj(/GR)上函数/(x)的最大值
为M最小值为N.当f取任意实数时,M-N的最小值为2,贝忖=.
『答案」心2.
『解析」/(%)="/—2021@>0)对称轴x=—
a
要使加m最小,7与什1必关于对称轴对称所以/=»巴①
a
m+i)+e)=2
a(t+1尸一2020(/+1)+2021-a/+2020/一2021
=2at+a—2020=2②
联立得2X1010+^-2020=2
/•a=2
四、解答题:
本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)已知集合A={x\x<-3或丘2},B={x\l⑴求JOB,(CrJ)U5:
⑵若BQC=C,求实数加的取值范囤.
解:
(lMnB={x|2Cr>4={x|-3Q)V5AC=C
:
.CyB5分
1当C=0时,/.mA>2m即w<-l7分
m-1<2m
2当Ch0时,.••忆一1>1
2m<5
•:
22
综上所述:
加的取值范围是(-00,-1)U(2,-J10分.
18.(本小题满分12分)已知命题p:
实数x满足2-4v-5-2v+2>0,命题g:
实数x满足
A2一{2m+l)x+m(m+1)>0.
(1)求命题p为真命题,求实数x的取值范圉;
(2)若命题q是命题p的必要不充分条件,求实数加的收值范国.
解:
(1)由命题p为真命题,知2・4”一5・2”+2»0,可化为
(2r-2)(2-2r-l)>02分
解得2r<|或2Q2,所以实数x的取值范围是仪|01或丘1}4分
(2)命题q:
由x2-(2m+l)x+m(m+1)X0,
W(x-w)[x-(/K+l)]>0,解得XS〃或X勿+18分
设A={x[x<-1或x>l},B={x[x<7?
;或x>m+l}
因为q是p必要不充分条件,所以A(zB9分
m>-\f,
解得七叱0,
m+l19.(本小题满分12分)已知二次函数/(x)=x2-2(a-l)x+4.
⑴若/(X)为偶函数,求/(x)在r-h3」上的值域:
(2)当xGfl,2J时,f{x)>ax恒成立,求实数a的取值范围.
解:
(1)根据题意,函数/(x)=x2-2(«-1)x+4,为二次函数,貝对称轴为x=a-\.
若/(x)为偶函数,则n-l=0,解可得a=\2分
则/(x)=x2+4,又由-l即函数/(x)的值域为『4,13」.6分
(2)由题意知xWFl,2J时,/(x)>ax恒成立,即
十一(3。
一2)大+4>0
L+4方法一:
所以3°-2<—恒成立8分
x
因为皿『1,2J,所以^-l±=x+l>21x^=4,当且仅当x=-,即x=2时等号成立.
12分
XX\XX
所以3d—2<4,解得尺2,所以d的取值范围是(①,2)
方法二令g(x)=疋一(3。
一2)大+4,
所以只需g(x)min>0,对称轴为尤=乞二
3a-2474
当——<1,即«<-时,g(x)IBin=g(l)=7—3a>0解得GV:
^a<-
3d—24
24
解得一_vqv2,故—vgv2
当lv—^<2,即§—时,gdhnP
33
3d-2
当9>2,即a>2,g(x)min=g
(2)=12-6">0
解得a<2,舍去12分
绦上所述,a的取值范用是(-8,2).
20.(本小题满分12分)为了保护环境,某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进,把二氧化碱转化为某种化工产品,经测算,该处理成本尹(单位:
万元)与处理量x(单位:
吨)之间的函数关系可近似表示为y=x2-40.r+1600(30(1)判断该技术改进能否获利?
如果能获利,求出最大利润:
如果不能获利,则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损?
(2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?
解:
(1)当xE『30,50J时,设该工厂获利S,
则5=20x-(x2-40x+l600)=-{x-3O)2-7002分
所以当xW『30,50J时,SWiW=-700<04分
因此该工厂不会获利,国家至少需要补贴700万元,该工厂才不会亏损.5分
(2)由题易知,二氧化碳的平均处理成本
p(x)=l=x+!
^22-4O(xe『30,50)7分
xx
当XG『30.50J时,
p(x)=x+I^2H_40>2,0^-40=4010分
当且仅当X=—,即.—40时等号成立,
x
故P(x)取得最小值为P(40>40
所以当处理量为40吨时,每吨的平均处理成本最少.12分
一3"+1
21.(本小题满分12分)已知函数/(X)=—一.
I
(1)判断/(X)的奇偶性:
(2)判断函数/(x)的单调性,并用左义证明;
⑶若不等式/(3丫一1)+/伙・3小+3厂>0在区间『0,他)上有解,求实数斤的取值范围.
_3丫+1]_3丫
解:
⑴・•")=严^时‘左义域为R,关于原点对称'】分
1_3-"_3气1一37)_3r-l
3