概率论与数理统计答案1.docx
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概率论与数理统计答案1
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概率论与数理统计习题及答案
习题一
1.略.见教材习题参考答案.
2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:
(1)A发生,B,C都不发生;
(2)A与B发生,C不发生;
(3)A,B,C都发生;
(4)A,B,C至少有一个发生;
(5)A,B,C都不发生;
(6)A,B,C不都发生;
(7)A,B,C至多有2个发生;
(8)A,B,C至少有2个发生.
【解】
(1)A
(2)AB
(3)ABC
(4)A∪B∪C=
C∪
B
∪A
∪
BC∪A
C∪AB
∪ABC=
(5)
=
(6)
(7)
BC∪A
C∪AB
∪
C∪A
∪
B
∪
=
=
∪
∪
(8)AB∪BC∪CA=AB
∪A
C∪
BC∪ABC
3.略.见教材习题参考答案
4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(AB)=0.3,求P(
).
【解】P(
)=1P(AB)=1[P(A)P(AB)]
=1[0.70.3]=0.6
5.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求:
(1)在什么条件下P(AB)取到最大值?
(2)在什么条件下P(AB)取到最小值?
【解】
(1)当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6.
(2)当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3.
6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.
【解】P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)
=
+
+
=
7.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?
【解】p=
8.对一个五人学习小组考虑生日问题:
(1)求五个人的生日都在星期日的概率;
(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;
(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】
(1)设A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故
P(A1)=
=(
)5(亦可用独立性求解,下同)
(2)设A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故
P(A2)=
=(
)5
(3)设A3={五个人的生日不都在星期日}
P(A3)=1P(A1)=1(
)5
9.略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件(n (1)n件是同时取出的; (2)n件是无放回逐件取出的; (3)n件是有放回逐件取出的. 【解】 (1)P(A)= (2)由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有 种,n次抽取中有m次为正品的组合数为 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M件正品中取m件的排列数有 种,从NM件次品中取nm件的排列数为 种,故 P(A)= 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成 P(A)= 可以看出,用第二种方法简便得多. (3)由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为Nn种,n次抽取中有m次为正品的组合数为 种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m次取得正品,都有M种取法,共有Mm种取法,nm次取得次品,每次都有NM种取法,共有(NM)nm种取法,故 此题也可用贝努里概型,共做了n重贝努里试验,每次取得正品的概率为 ,则取得m件正品的概率为 11.略.见教材习题参考答案. 12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A={发生一个部件强度太弱} 13.一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率. 【解】设Ai={恰有i个白球}(i=2,3),显然A2与A3互斥. 故 14.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求: (1)两粒都发芽的概率; (2)至少有一粒发芽的概率; (3)恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽},(i=1,2) (1) (2) (3) 15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. (1)问正好在第6次停止的概率; (2)问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率. 【解】 (1) (2) 16.甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率. 【解】设Ai={甲进i球},i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 =0.32076 17.从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】 18.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求: (1)在下雨条件下下雪的概率; (2)这天下雨或下雪的概率. 【解】设A={下雨},B={下雪}. (1) (2) 19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的). 【解】设A={其中一个为女孩},B={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故 或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7. 20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半). 【解】设A={此人是男人},B={此人是色盲},则由贝叶斯公式 21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率. 题21图题22图 【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy|>30.如图阴影部分所示. 22.从(0,1)中随机地取两个数,求: (1)两个数之和小于 的概率; (2)两个数之积小于 的概率. 【解】设两数为x,y,则0 (1)x+y< . (2)xy=< . 23.设P( )=0.3,P(B)=0.4,P(A )=0.5,求P(B|A∪ ) 【解】 24.在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球},i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球} 由全概率公式,有 25.按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 【解】设A={被调查学生是努力学习的},则 ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P(A)=0.8,P( )=0.2,又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P(B|A)=0.9,P( | )=0.9,故由贝叶斯公式知 (1) 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%. 26.将两信息分别编码为A和B传递出来,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少? 【解】设A={原发信息是A},则={原发信息是B} C={收到信息是A},则={收到信息是B} 由贝叶斯公式,得 27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种) 【解】设Ai={箱中原有i个白球}(i=0,1,2),由题设条件知P(Ai)= i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 28.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】设A={产品确为合格品},B={产品被认为是合格品} 由贝叶斯公式得 29.某保险公司把被保险人分为三类: “谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少? 【解】设A={该客户是“谨慎的”},B={该客户是“一般的”}, C={该客户是“冒失的”},D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得 30.加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率. 【解】设Ai={第i道工序出次品}(i=1,2,3,4). 31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n次独立射击. 即为 故n≥11 至少必须进行11次独立射击. 32.证明: 若P(A|B)=P(A| ),则A,B相互独立. 【证】 即 亦即 因此 故A与B相互独立. 33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为 , , ,求将此密码破译出的概率. 【解】设Ai={第i人能破译}(i=1,2,3),则 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求: 飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落},Bi={恰有i人击中飞机},i=0,1,2,3 由全概率公式,得 =(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458 35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求: (1)虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率. (2)新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率. 【解】 (1) (2) 36.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:
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- 概率论 数理统计 答案