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导数常见题型
导数常见题型一(导数的的运用之一:
函数单调性)
田林中学李锦彤
一、已知函数的解析式,讨论函数的单调区间;
二、已知函数在某个区间上单调,求函数中的参数的取值范围。
一、第一类问题注意分类讨论思想的考查
(1)若函数的解析式已知,不需要讨论。
1、①求函数
的单调区间②求
的单调区间
2、(2010年高考福建卷理科20)(本小题满分14分)
(Ⅰ)已知函数
,
(i)求函数
的单调区间;
3、(06安徽卷)设函数
,已知
是奇函数。
(Ⅰ)求
、
的值。
(Ⅱ)求
的单调区间与极值。
4、(07海南)设函数
(理科做)
(Ⅰ)求
的单调性;(Ⅱ)求
在区间
的最大值和最小值.
5、(06江西卷)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-
与x=1时都取得极值
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间
(2)若对x∈〔-1,2〕,不等式f(x) 6、(07全国一文)设函数 在 及 时取得极值. (Ⅰ)求a、b的值; (Ⅱ)若对于任意的 ,都有 成立,求c的取值范围. 7、(2009北京文)(本小题共14分) 设函数 . (Ⅰ)若曲线 在点 处与直线 相切,求 的值; (Ⅱ)求函数 的单调区间与极值点. 8、(08安徽卷20).(本小题满分12分) 设函数 (Ⅰ)求函数 的单调区间; (Ⅱ)已知 对任意 成立,求实数 的取值范围。 (2)若函数的解析式中有参数,要注意讨论。 例、(2008年全国Ⅰ即广西卷理19.文21,本小题满分12分) 已知函数 , . O 图① (Ⅰ)讨论函数 的单调区间; 解: ⑴ 当 恒成立。 图① O 图② 此时 为单调递增函数,单调增区间为 当 当且仅当 时取“=”号。 O 图③ 如图②,此时 为单调递增函数,单调增区间为 当 此时, 此时,函数 和 单调减区间为 练习、1、讨论函数 的单调性(理科生做) 2、(06湖南卷)已知函数 . (I)讨论函数 的单调性; 3、理科(2006年全国卷I、广西理21)已知函数 。 (Ⅰ)设 ,讨论 的单调性; 4、(2009北京理)(本小题共13分) 设函数 (Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;(Ⅱ)求函数 的单调区间; (Ⅲ)若函数 在区间 内单调递增,求 的取值范围. 二、已知函数在某个区间上单调,求函数中的参数的取值范围。 这类问题常见解法有三种: 方法一: 由 是增 解出 的范围(再把此范围与已知区间比较) 方法二: 由 是增 在已知区间上恒成立 解出 再转化为有关恒成立问题 备注: 有关恒成立问题,一般思维方式是: , 练习: 若不等式 对任何实数 都成立,求实数 的范围。 方法三: 由 是增 看 的图象,求出 最小值,使 ≥0 例1: 要使函数 在区间 上是减函数,求实数 的取值范围。 方法1: 先求出 的减区间 由 的导数 得 ∴ 在 上是减函数。 又∵ 在区间 上是减函数 ∴ 方法2: ∵ 在区间 上是减函数 ∴ 即 令 , 要使 ,只要 ∵ 在 上最小值为 ∴ 方法3: ∵ 在区间 上是减函数∴ 要使 ∵ ∴ ∴ 方法4: 此题本应该用此方法 ∵原函数 是我们会画的二次函数,∴直接从原函数 的图象就可得知 解: ∵ 是开口向上,对称轴为 的抛物线 ∴ 在 上是减函数。 又∵ 在区间 上是减函数 ∴ 例2(2008年全国Ⅰ即广西卷理19.文21,本小题满分12分) 已知函数 , . (Ⅰ)讨论函数 的单调区间;(Ⅱ)设函数 在区间 内是减函数,求 的取值范围. 解: ⑵、法一: 若函数 内是减函数,则 在 上 恒成立等价于 必有两根,且两根必在 之外, y O 图④ 如图④ 点评: 该方法用方程的思想,将不等式问题转化为一元二次方程的根的分布问题,结合二次函数图象的特征,列出约束条件即可。 优化了解题方法,锻炼了数学思维能力。 法二: 等价于方程 必有两根,且两根必在 之外。 此方法涉及到无理不等式的解法,许多文科生望而生畏,甚至部分理科生也都无奈放弃继续运算。 法三: 若函数 内是减函数,则 在 上恒成立,转化成 即可。 于是求二次函数 在 的最大值。 函数对称轴为 ,结合图形⑤、⑥的单调区间,只需: y O 图⑥ y O 图⑤ 或 综上可知 的取值范围是 法四: 若函数 内是减函数,则 在 上恒成立, ∴ 对 上恒成立 ∴ 二次函数在给定区间上的最值问题,它由二次函数的图象的开口方向、对称轴的位置、区间的端点,结合函数的单调性来确定最大、最小值。 对于“定区间、动轴”需要对动轴的位置进行分类讨论;对于“定轴、动区间”则需对动区间的位置进行分类讨论。 研究该题的解法,我们发现它将“三个二次”(二次函数、二次不等式、二次方程)有机地结合在一起,每种解法都自始至终贯穿了数形结合思想、分类讨论思想。 练习: 1、已知 为实数, 若 在 上都是递增的,求 的取值范围。 2、(2006全国卷I广西文21)设 为实数,函数 在 和 都是增函数,求 的取值范围。
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- 导数 常见 题型