第六章微分中值定理及其应用.docx
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第六章微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用
微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。
中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“”,虽然我们对中值“”缺乏定量的了解,但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用.
1.教学目的与要求:
掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究,熟练应用L'Hospital法则求不定式极限,熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题.
2.教学重点与难点:
重点是中值定理与函数的Taylor公式,利用导数研究函数的单调性、极值与凸性.
难点是用辅助函数解决有关中值问题,函数的凸性.
3.教学内容:
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理,并由此来讨论函数的单调性.
一 罗尔定理与拉格朗日定理
定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设满足
(ⅰ)在上连续;
(ⅱ)在内可导;
(ⅲ)
则使
(1)
注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可.
如:
1º ,(ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足,结论不成立.
2º ,(ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立.
3º ,(ⅰ),(ⅱ)满足,(ⅲ)不满足,结论不成立.
(ⅱ)定理6.1中条件仅为充分条件.
如:
不满足(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)中任一条,但.
(ⅲ)罗尔定理的几何意义是:
在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.
例1 设在上可导,证明:
若无实根,则最多只有一个实根.
证(反证法,利用Rolle定理)
例2 证明勒让德(Legendre)多项式
在内有个互不相同的零点.
将Rolle定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广泛的Lagrange中值定理.
定理6.2(拉格朗日(Lagrange中值定理)设满足
(ⅰ)在上连续;
(ⅱ)在内可导
则使
(2)
[分析](图见上册教材121页图6-3) 割线AB的方程为
问题是证明,使与割线在处导数相等
即证
证作辅助函数
注 (ⅰ)Lagrange中值定理的几何意义是:
在满足定理条件的曲线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线.
(ⅱ)
(2)式称为Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形式
另外,无论,还是,Lagrange(中值)公式都成立.此公式将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上一章中有限增量公式前进了一大步,这也是Lagrange中值定理应用更为广泛的原因之一.
(ⅲ) Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推广.
(ⅳ)Lagrange中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材中首先构造辅助函数
然后验证在[上满足Rolle定理的三个条件,从而由Rolle定理推出存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常常使用这种构造辅助函数的方法.我们用框图示意如下:
题目的假设
辅助函数满足Rolle定理条件件
辅助函数导函数零点存在性
题目所要结论
当然辅助函数构造的方法不是唯一的.针对本定理,教材是从Lagrange中值定理的几何意义出发构造辅助函数.我们也可以构造以下两个辅助函数来证明该定理.
1º注意到
(2)式成立使得
在内存在零点
在内存在零点
根据以上分析我们作辅助函数(注意这种构造辅助函数的方法是常见的).
2º辅助函数
例3证明对有
证[法一]令在或上利用Lagrange中值定理可证之.
[法二]令在或上利用Lagrange中值定理可证之.
推论1若在区间上可导,,则在上为常数.
推论2若,都在区间上可导, 且,则在上,与仅相差一个常数,即存在常数,使对有
推论3 (导数极限定理)设在的某邻域内连续,在内可导,且存在,则存在,且
注(ⅰ)由导数极限定理不难得出区间上导函数不会有第一类间断点.
(ⅱ)导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导数.
例4证明恒等式
例5求的导数
解(ⅰ)先求;
(ⅱ)利用推论3(先验证在处连续)求.
二 单调函数
函数的单调性是函数在区间上变化的整体性态之一.下面我们利用导数给出判定函数单调性的新的有效方法.
定理6.3 设在区间上可导,则
在区间上单调递增(减)
定理6.4 设在区间内可导,则在区间内严格单调递增(减)的充要条件是(ⅰ)
(ⅱ)在的任何子区间上,不恒等于0
推论设在区间上可导,若,在区间上严格单调递增(减).
注(ⅰ)若 在区间内(严格)单调递增(减),且在点右连续,则在区间内(严格)单调递增(减).对上的函数有类似结论.
(ⅱ)讨论可导函数的严格单调性只须求出,再判定其符号.为此,需求出使得取得正负值区间的分界点.当连续时,这些分界点必须满足.
例6 求的单调区间.
例7证明.
证令考察函数的严格单调性.
§2柯西中值定理与不定式极限
本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的L'Hospital法则.
一柯西中值定理
定理6.5 (柯西(Cauchy)中值定理)设,满足
(ⅰ)在上都连续;
(ⅱ)在内都可导;
(ⅲ)与不同时为零;
(ⅳ)
则,使
(1)
[分析] 欲证(1),只须证且.
令由Rolle定理证之.
注(ⅰ)Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广(当情形).
(ⅱ)Cauchy中值定理的几何意义(图见上册教材126页图6-5):
令
它表示平面上的一段曲线AB.弦AB的斜率即为
(1)式右边,而
(1)式左边
表示与相对应的点处的切线斜率,因此(1)式表示上述切线与弦AB平行.
(ⅲ)研究下列函数可否作为证明Cauchy中值定理的辅助函数
1);
2);
3);
4)
例1设在(上都连续, 在内都可导,则,使
证取,对,利用Cauchy中值定理即证之.
二不定式极限-两个无穷小量或无穷大量之比的极限
1.型不定式极限
定理6.6(L'Hospital法则Ⅰ)设
(ⅰ);
(ⅱ),在的某空心邻域内可导且;
(ⅲ)(或).则
存在且
注(ⅰ)定理6.6中可换为,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.
(ⅱ)若当时仍属型,且分别满足定理中,的条件,则可继续施用L'Hospital法则Ⅰ,从而确定,即
且可以依次类推.
(ⅲ)“一花独秀不是春”,L'Hospital法则虽是计算极限的强有力工具,但在使用中要注意与以前所学过的求极限方法结合使用才有更好的效果.
例2求
例3 求(提示:
先令)
例4求(利用等价于原式转化为)
例5求(提示:
先令)
2.型不定式极限
定理6.7(L'Hospital法则Ⅱ)设
(ⅰ);
(ⅱ) ,在的某空心邻域内可导且;
(ⅲ)(或).则
存在且
注定理6.7中可换为 等情形,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.
例6 求
例7 求
例8求
例9 求(提示:
先证)
注(ⅰ)当或不存在时,L'Hospital法则不能用.如:
1º 不能用L'Hospital法则(=
)
2º不能用L'Hospital法则(=
)
(ⅱ)只有不定式极限且满足L'Hospital法则条件才能使用L'Hospital法则求极限.
3.其他类型不定式极限
还有五种类型不定式极限,其形式转化方法为
(通分或提取公因式转化);
例10 求
例11求
例12求
例13求
例14求
例15求数列极限
(注意此题先求极限)
例16 设,求.
注 ,对否?
§3 泰勒公式
本节包含两个泰勒(Taylor)公式,即分别带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式,统称为泰勒定理.它们分别是上一章的有限增量公式和本章中的Lagrange中值定理的推广.两个公式所要解决的问题是用多项式函数(各类函数中最简单的函数)去逼近一个函数,而这种逼近思想在近似计算和理论分析中有着重要意义.
一带有皮亚诺型余项的泰勒公式
设在点存在阶导数,称次多项式
(1)
为在点处的泰勒多项式,的各项系数称为的泰勒系数.
定理6.8(Taylor)设在点存在直到阶的导数,则
(2)
注 (ⅰ)
(2)式称为在点处的Taylor公式,
称为Taylor公式的余项,形如的余项称为Peano型余项,于是
(2)式也称为带有Peano型余项的Taylor公式.
(ⅱ)若在点附近满足
(3)
其中为形如次多项式,这时并不意味着就是的Taylor多项式
例如
其中为Dirichlet函数.易知仅在点处连续,可导且,从而对皆不存在.故在点处的Taylor多项式是不存在的.然而
即,从而若取=,则(3)式对皆成立.
(ⅲ)满足(3)式要求(带有Peano型误差)的次逼近多项式是唯一的,从而若满足定理6.8的条件,则满足(3)式要求的逼近多项式只能是的Taylor多项式.
当时, Taylor公式(2)成为
(4)
(4)式称为(带有皮亚诺型余项的)马克劳林(Maclaurin)公式.
例1验证下列函数的马克劳林公式
(ⅰ);
(ⅱ);
(ⅲ);
(ⅳ) ;
(ⅴ) ;
(ⅵ) .
上述几个简单函数的马克劳林公式是通过直接求出在点处的各阶导数,代入公式(4)得到的.这种方法叫做马克劳林(或泰勒)公式的直接求法.利用这些公式,可以间接求得一些函数的马克劳林(或泰勒)公式,还可用来求某些类型的极限.
例2求的马克劳林公式,并求与.
例3 求在处的Taylor公式.
例4 求下列极限
(ⅰ);(ⅱ)
[提示];.
定理6.8告诉我们, 若在点处具有直到阶导数,我们可用一个次多项式去逼近而且这样产生的误差当时是比更高阶的无穷小量.但这只是定性的估计,并不能提供误差的定量估计.下面给出的第二个Taylor公式余项有确定的表达式(尽管出现了不确定的“中值”)从而给误差估计提供了理论依据.
二带有拉格朗日型余项的泰勒公式
定理6.9若在上有直到阶的连续导函数,在
内存在阶导函数,则对,使
(5)
注(ⅰ)(5)式也称为Taylor公式,其余项为
称其为拉格朗日型余项,(5)式也称为带Lagrange型余项的Taylor公式.
(ⅱ)若,则(5)式即Lagrange中值公式
故定理6.9是Lagrange中值定理的推广.
当时,Taylor公式(5)成为
(6)
称(6)式为带Lagrange型余项的马克劳林公式.
例5把例1中六个马克劳林公式改写为带Lagrange型余项的形式.
Taylor公式是一元微分学的顶峰,它可以解决很多数学问题.本节最后一部分介绍其在近似计算上的应用,后面几节将会介绍在其它方面上的应用.
三在近似计算上的应用
例6
(1)计算的值,使其误差不超过
(2)证明是无理数
[提示]
(1)由例5
(1)的结果有
(7)
(2)由(7)式得
用反证法证之.
例7 用Taylor多项式逼近正弦函数,要求误差不超过.试以和两种情形分别讨
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- 第六 微分 中值 定理 及其 应用