汇总小学阶段奥数知识点.docx

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汇总小学阶段奥数知识点

2011年小学奥数（知识点梳理）

前言

小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。

概述

一、计算

1．四则混合运算繁分数

1运算顺序

2分数、小数混合运算技巧

一般而言：

1加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；

2乘除运算中，统一以分数形式。

⑶带分数与假分数的互化

⑷繁分数的化简

2．简便计算

⑴凑整思想

⑵基准数思想

⑶裂项与拆分

⑷提取公因数

⑸商不变性质

⑹改变运算顺序

1运算定律的综合运用

2连减的性质

3连除的性质

4同级运算移项的性质

5增减括号的性质

6变式提取公因数

形如：

3．估算

求某式的整数部分：

扩缩法

4．比较大小

1通分

a.通分母

b.通分子

2跟“中介”比

3利用倒数性质

若

，则c>b>a.。

形如：

，则

。

5．定义新运算

6．特殊数列求和

运用相关公式：

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n

二、数论

1．奇偶性问题

奇

奇=偶奇×奇=奇

奇

偶=奇奇×偶=偶

偶

偶=偶偶×偶=偶

2．位值原则

形如：

=100a+10b+c

3．数的整除特征：

整除数

特征

2

末尾是0、2、4、6、8

3

各数位上数字的和是3的倍数

5

末尾是0或5

9

各数位上数字的和是9的倍数

11

奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数

4和25

末两位数是4（或25）的倍数

8和125

末三位数是8（或125）的倍数

7、11、13

末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数

4．整除性质

1如果c|a、c|b，那么c|（a

b）。

2如果bc|a，那么b|a，c|a。

3如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。

4如果c|b,b|a,那么c|a.

5a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

5．带余除法

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。

用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜ba=b×q+r

6.唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

n=p1

×p2

×...×pk

7.约数个数与约数和定理

设自然数n的质因子分解式如n=p1

×p2

×...×pk

那么：

n的约数个数：

d（n）=（a1+1）（a2+1）....（ak+1）

n的所有约数和：

（1+P1+P1

+…p1

）（1+P2+P2

+…p2

）…（1+Pk+Pk

+…pk

）

8.同余定理

①同余定义：

若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b（modm）

②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。

③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

9．完全平方数性质

①平方差：

A

-B

=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。

②约数：

约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分解：

把数字分解，使他满足积是平方数。

④平方和。

10．孙子定理（中国剩余定理）

11．辗转相除法

12．数论解题的常用方法：

枚举、归纳、反证、构造、配对、估计

三、几何图形

1．平面图形

⑴多边形的内角和

N边形的内角和=（N-2）×180°

⑵等积变形（位移、割补）

1三角形内等底等高的三角形

2平行线内等底等高的三角形

3公共部分的传递性

4极值原理（变与不变）

⑶三角形面积与底的正比关系

S1︰S2=a︰b；S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4

⑷相似三角形性质（份数、比例）

①

;S1︰S2=a2︰A2

②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;S=（a+b）2

⑸燕尾定理

S△ABG：

S△AGC＝S△BGE：

S△GEC＝BE：

EC；

S△BGA：

S△BGC＝S△AGF：

S△GFC＝AF：

FC；

S△AGC：

S△BCG＝S△ADG：

S△DGB＝AD：

DB；

⑹差不变原理

知5-2=3，则圆点比方点多3。

⑺隐含条件的等价代换

例如弦图中长短边长的关系。

⑻组合图形的思考方法

1化整为零

2先补后去

3正反结合

2．立体图形

⑴规则立体图形的表面积和体积公式

⑵不规则立体图形的表面积

整体观照法

⑶体积的等积变形

①水中浸放物体：

V升水=V物

②测啤酒瓶容积：

V=V空气+V水

⑷三视图与展开图

最短线路与展开图形状问题

⑸染色问题

几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

四、典型应用题

1．植树问题

①开放型与封闭型

②间隔与株数的关系

2．方阵问题

外层边长数-2=内层边长数

（外层边长数-1）×4=外周长数

外层边长数2-中空边长数2=实面积数

3．列车过桥问题

①车长+桥长=速度×时间

②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间

③车长甲+车长乙=速度差×追及时间

列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题

车长=速度和×相遇时间

车长=速度差×追及时间

4．年龄问题

差不变原理

5．鸡兔同笼

假设法的解题思想

6．牛吃草问题

原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间

7．平均数问题

8．盈亏问题

分析差量关系

9．和差问题

10．和倍问题

11．差倍问题

12．逆推问题

还原法，从结果入手

13．代换问题

列表消元法

等价条件代换

五、行程问题

1．相遇问题

路程和=速度和×相遇时间

2．追及问题

路程差=速度差×追及时间

3．流水行船

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

4．多次相遇

线型路程：

甲乙共行全程数=相遇次数×2-1

环型路程：

甲乙共行全程数=相遇次数

其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数

5．环形跑道

6．行程问题中正反比例关系的应用

路程一定，速度和时间成反比。

速度一定，路程和时间成正比。

时间一定，路程和速度成正比。

7．钟面上的追及问题。

1时针和分针成直线；

2时针和分针成直角。

8．结合分数、工程、和差问题的一些类型。

9．行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。

六、计数问题

1．加法原理：

分类枚举

2．乘法原理：

排列组合

3．容斥原理：

1总数量=A+B+C-（AB+AC+BC）+ABC

2常用：

总数量=A+B-AB

4．抽屉原理：

至多至少问题

5．握手问题

在图形计数中应用广泛

1角、线段、三角形，

2长方形、梯形、平行四边形

3正方形

七、分数问题

1．量率对应

2．以不变量为“1”

3．利润问题

4．浓度问题

倒三角原理

例：

5．工程问题

①合作问题

2水池进出水问题

6．按比例分配

八、方程解题

1．等量关系

1相关联量的表示法

例：

甲+乙=100甲÷乙=3

x100-x3xx

②解方程技巧

恒等变形

2．二元一次方程组的求解

代入法、消元法

3．不定方程的分析求解

以系数大者为试值角度

4．不等方程的分析求解

九、找规律

⑴周期性问题

1年月日、星期几问题

2余数的应用

⑵数列问题

1等差数列

通项公式an=a1+（n-1）d

求项数：

n=

求和：

S=

2等比数列

求和：

S=

3裴波那契数列

⑶策略问题

1抢报30

2放硬币

⑷最值问题

1最短线路

a.一个字符阵组的分线读法

b.在格子路线上的最短走法数

2最优化问题

a.统筹方法

b.烙饼问题

一十、算式谜

1．填充型

2．替代型

3．填运算符号

4．横式变竖式

5．结合数论知识点

一十一、数阵问题

1．相等和值问题

2．数列分组

⑴知行列数，求某数

⑵知某数，求行列数

3．幻方

⑴奇阶幻方问题：

杨辉法罗伯法

⑵偶阶幻方问题：

双偶阶：

对称交换法

单偶阶：

同心方阵法

一十二、二进制

1．二进制计数法

1二进制位值原则

2二进制数与十进制数的互相转化

3二进制的运算

2．其它进制（十六进制）

一十三、一笔画

1．一笔画定理：

⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点；

⑵两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出；

2．哈密尔顿圈与哈密尔顿链

3．多笔画定理

笔画数=

一十四、逻辑推理

1．等价条件的转换

2．列表法

3．对阵图

竞赛问题，涉及体育比赛常识

一十五、火柴棒问题

1．移动火柴棒改变图形个数

2．移动火柴棒改变算式，使之成立

一十六、智力问题

1．突破思维定势

2．某些特殊情境问题

一十七、解题方法

（结合杂题的处理）

1．代换法

2．消元法

3．倒推法

4．假设法

5．反证法

6．极值法

7．设数法

8．整体法

9．画图法

10．列表法

11．排除法

12．染色法

13．构造法

14．配对法

15．列方程

⑴方程

⑵不定方程

⑶不等方程

另外补充说明：

在华校课本六年级中有“棋盘上的数学”三讲，其实是找规律类型，知识点涉及棋盘格，几何，数论等，属于综合性问题。

汇总小学阶段奥数知识点，包括小升初中常考的题目类型等。

有工程问题、行程问题、质数合数问题等等。

1.、小升初奥数知识点（年龄问题的三大特征）

①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

③两个人的年龄的倍数是发生变化的；

和差倍问题：

和差问题

和倍问题

差倍问题

已知条件

几个数的和与差

几个数的和与倍数

几个数的差与倍数

公式适用范围

已知两个数的和，差，倍数关系

公式

①（和－差）÷2=较小数

较小数＋差=较大数

和－较小数=较大数

②（和＋差）÷2=较大数

较大数－差=较小数

和－较大数=较小数

和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数

和－小数=大数

差÷（倍数-1）=小数

小数×倍数=大数

小数＋差=大数

关键问题

求出同一条件下的

和与差

和与倍数

差与倍数

和差倍问题

和差问题和倍问题差倍问题

已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数

公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系

公式①（和－差）÷2=较小数

较小数＋差=较大数

和－较小数=较大数

②（和＋差）÷2=较大数

较大数－差=较小数

和－较大数=较小数

和÷（倍数＋1）=小数

小数×倍数=大数

和－小数=大数

差÷（倍数-1）=小数

小数×倍数=大数

小数＋差=大数

关键问题求出同一条件下的

和与差和与倍数差与倍数

2、小升初奥数知识点（植树问题总结）:

基本类型：

　　在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树

在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树

在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树

基本公式棵数=段数＋1

棵距×段数=总长棵数=段数－1

棵距×段数=总长棵数=段数

棵距×段数=总长

关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

3、鸡兔同笼问题

　　基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

　　基本思路：

　　①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

　　②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

　　③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

　　④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

　　基本公式：

　　①把所有鸡假设成兔子：

鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

　　②把所有兔子假设成鸡：

兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：

找出总量的差与单位量的差。

4、奥数知识点（盈亏问题）

盈亏问题

　　基本概念：

一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：

按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于

　　分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．

　　基本思路：

先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．

　　基本题型：

　　①一次有余数，另一次不足；

　　基本公式：

总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

　　②当两次都有余数；

　　基本公式：

总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

　　③当两次都不足；

　　基本公式：

总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

　　基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。

　　关键问题：

确定对象总量和总的组数。

5、小升初奥数知识点（牛吃草问题）

牛吃草问题

　　基本思路：

假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

　　基本特点：

原草量和新草生长速度是不变的；

　　关键问题：

确定两个不变的量。

　　基本公式：

　　1）生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

2）总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

　3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

6、小升初奥数知识点（平均数问题）

平均数

　　基本公式：

①平均数=总数量÷总份数

　　总数量=平均数×总份数

　　总份数=总数量÷平均数

　　②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

　　基本算法：

2出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

　　②基准数法：

根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②

7、小升初奥数知识点（周期循环数）

周期循环与数表规律

　　周期现象：

事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

　　周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

　　关键问题：

确定循环周期。

　　闰年：

一年有366天；

　　①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；

　　平年：

一年有365天。

1年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

8、小升初奥数知识点（抽屉原理）

抽屉原理

　　抽屉原则一：

如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

　　例：

把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：

　　①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

　　观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：

总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

　　抽屉原则二：

如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:

　　①k=[n/m]+1个物体：

当n不能被m整除时。

　　②k=n/m个物体：

当n能被m整除时。

　　理解知识点：

[X]表示不超过X的最大整数。

　　例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

　　关键问题：

构造物体和抽屉。

也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。

9、奥数知识点（定义新运算）

基本概念：

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：

严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：

正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：

①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

小升初奥数知识点（数列求和）

数列求和

　　等差数列：

在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

　　基本概念：

首项：

等差数列的第一个数，一般用a1表示；

　　项数：

等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

　　公差：

数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

　　通项：

表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；

　　数列的和：

这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．

　　基本思路：

等差数列中涉及五个量：

a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

　　基本公式：

通项公式：

an=a1+（n－1）d；

　　通项＝首项＋（项数一1）×公差；

　　数列和公式：

sn,=（a1+an）×n÷2；

　　数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；

　　项数公式：

n=（an-a1）÷d＋1；

　　项数=（末项-首项）÷公差＋1；

　　公差公式：

d=（an－a1））÷（n－1）；

　　公差=（末项－首项）÷（项数－1）；

　　关键问题：

确定已知量和未知量，确定使用的公式

10、加法乘法原理和几何计数

　　加法原理：

如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：

m1+m2.......+mn种不同的方法。

　　关键问题：

确定工作的分类方法。

　　基本特征：

每一种方法都可完成任务。

　　乘法原理：

如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：

m1×m2.......×mn种不同的方法。

　　关键问题：

确定工作的完成步骤。

　　基本特征：

每一步只能完成任务的一部分。

　　直线：

一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

　　直线特点：

没有端点，没有长度。

　　线段：

直线上任意两点间的距离。

这两点叫端点。

　　线段特点：

有两个端点，有长度。

　　射线：

把直线的一端无限延长。

　　射线特点：

只有一个端点；没有长度。

　　①数线段规律：

总数＝1+2+3+…+（点数一1）；

　　②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；

　　③数长方形规律：

个数=长的线段数×宽的线段数：

　　④数长方形规律：

个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

11、小升初奥数知识点（质数与合数）

　　质数：

一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。

　　合数：

一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

　　质因数：

如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

　　分解质因数：

把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

通常用短除法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

　　分解质因数的标准表示形式：

N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1

　　求约数个数的公式：

P=（r1+1）×（r2+1）×（r3+1）×……×（rn+1）

　　互质数：

如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

12、小升初奥数知识点（约数与倍数）

约数和倍数：

若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

　　公约数：

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

　　最大公约数的性质：

　　1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

　　2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

　　3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

　　4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。

　　例如：

12的约数有1、2、3、4、6、12；

　　18的约数有：

1、2、3、6、9、18；

　　那么12和18的公约数有：

1、2、3、6；

　　那么12和18最大的公约数是：

6，记作（12，18）=6；

　　求最大公约数基本方法：

　　1、分解质因数法：

先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

　　2、短除法：

先找公有的约数，然后相乘。

　　3、辗转相除法：

每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

　　公倍数：

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

　　12的倍数有：

12、24、36、48……；

　　18的倍数有：

18、36、54、72……；

　　那么12和18的公倍数有：

36、72、108……；

　　那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；

　　最小公倍数的性质：

　　1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

　　2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

　　求最小公倍数基本方法：

1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法

13、小升初奥数知识点（数的整除）

一、基本概念和符号：

　　1、整除：

如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

　　2、常用符号：

整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；

　　二、整除判断方法：

　　1.能被2、5整除：

末位上的数字能被2、5整除。

　　2.能被4、25整除：

末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

　　3.能被8、125整除：

末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

　　4.能被3、9整除：

各个数位上数字的和能被3、9整除。

　　5.能被7整除：

　　①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组