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从立体几何入门教学看数学语言
从立体几何入门教学看数学语言
?
8?
中学数学月刊2007年第2期
从立体几何入门教学看数学语言
杨冠夏(山东省青岛第二中学266061)
立体几何入门有两难.一是建立空间概
念难,面对立体几何问题,画不出空间图形,
或面对图形,找不到其中的线面位置关系.二
是立体几何语言表达无章法,陈述不清,顺序
颠倒,内容遗漏,条件不足,出言无据,望图生
义,混淆平面与空间,这样一些现象普遍存在.
做任何一件事,只要抓住它的特征,把握
它的规律,这件事就不难解决.那么,立体几何
这门学科它的学科特征是什么呢?
从哪里人手
就可以让立体几何的入门教学变得不难呢?
在立体几何_】教学中,我做了以下五件事
1两个"学会"
一
是指学会在自己身边找立体几何位置
关系和立体几何结构的原型,让学生在他的
生活中去发现和体味立体几何.
我教立体几何总要讲个"绪论".从眼前
的教室说到世界着名的建筑物,从太阳系,银
河系说到电子,质子,原子结构.几何不是地
球不是房屋桌椅,但线面位置关系充满了现
实韵空间.
第二个"学会"是说要让学生学会动手
制作主体几何模型.几根竹条,几块硬纸板,
一
根细绳,加上自制的"接头",线线,线面,面
面结构,正方体,三棱柱,四棱锥全由自己搭造.
老师要在乎学生的感受.学生亲近它,喜
欢它,就能把神秘赶走.
2两个"凡是"
凡是纸上写的,就要求学生一字不差地
口述出来,并把清晰规范的图形画出来,反
之,学生口头陈述的语言,写在纸上,不必改
动,就应当是书面语言;第二,凡是学到公理,
定义,定理,就应当"三对照",有文字(语言),
有图形(语言),有符号(语言),三者对照翻译.
这两个"凡是",在一个阶段内要坚持做下去.
前者是一种修养(或称为素养)的培养,
要让学生有这种修养,首先教师要以身作则.
做学生的榜样.
这里给出后面那个"凡是"的一个例子.
直线和平面平行的性质定理:
[图形语言]
[符号语言](三推
一
)
;I//b.图口(==平面}口.一
n一bJ
[文字语言]
如果一条直线和平面平行,经过这条
直线的平面和这个平面相交,
那么这条直线和两个平面的交线平
行.
在纸上画立体几何示意图,这种图形并
非真实的三维图象,当然它也不再是平面几
何图形.正方形的水平放置图和平面的水平
放置图都是平行四边形.,
我们可以为空间示意图做一点画法的规
定(这种规定符合射影定理),规范学生的作
图,也为了看起来直观.+.
(1)水平线段长度方向都不变;
(2)平行线仍保持平行;
(3)画一个平面的垂线通常画表示这个
平面的平行四边形的"水平边"的垂直直线;
(4)画水平放置图中的垂线,从垂足开
始,顺时针倾斜45.,长度缩短一半画出;
(5)可见线为实线,不可见线为虚线(或
省略).
但,立体图形的平面示意图又不是依靠
这几条就能画出来的.老师可以画出范例,告
诉学生哪个画法可以,哪种画法不对.
直线nn平面a—A.
平面an平面一n.
语言规范,立体几何味道就出来了.
2007年第2期中学数学月刊?
9?
(×)
图2
(×)
(×)
[]j(√)(√)(√)
口
j.-/
(×)(×)
3
3树标立规,两个"贯彻"
第?
贯彻几推一的"证明节".
几何推理语言是由"证明节"拼接而成
的.初学时规范好"几推一",对以后的立体几
何证明书写大有裨益.如
平面n平面y=口1
平面n平面y—b口//6(三推一),
a//8
也可以写作"ny一日,ny—b,//
口//b".
言必有据",其中核心是"言必有据".
所谓"言必有据",是指每一个证明节的
根据(即逻辑三段论的大前提)必须是我们
教科书给出的公理,定义,定理(包括推论和
以黑体字出现的习题结论),不可以自己生造
理由,不可以随意把一道习题的结论作为根
据(这样将没有一个公认的标准),不可以望
图生义,不可以把平面几何结论在非平面条
件下不加证明任意搬用.
要特别让学生懂得几何作图是几何推理
的特珠形式.立体几何作图也必须步步有据.
切忌用没有定义,公理,定理作依据的所谓
"作图"来取代逻辑证明.
几何证明好比法官断案,需条条有据有
理.据,即事实,几何证明中要条件充分,缺一
不可,这就是据.理,就是法律条文,切不可以
"大家都说对"作为判案之理,几何证明必须
遵纪守法,若依法则思路可允许千变万化,若
违法,则寸步难行.言必有据,就是数学的法
制.
数学可以给人以理性租睿智.这是数学
对人类文明的贡献,是数学的价值所在.人们
可以通过学习几何让自己聪明起来.但这种
聪明不能脱离理性而自己插上翅膀.
立体几何入门头几节课,节节搞"几推
一
"
段段追究言出何据,抓住典型错误反复
强化"十六字诀".当学生经过一段培养,证明
节意识形成后,课堂提向便可以大为简化,只
需问学生经过哪些证明节完成证明,这个证
明框架就赫然托出,此时,教师尽可放心,学
生的书面步骤不会出毛病.立体几何教学中
后期这种大段落讨论境界都要依托初学阶段
的"几推一"和"十六字诀"的训练打下的基
础.
例题一个平面和平面外一条直线同
垂直于一条直线,求证这个平面和平面外那
条直线平行.
用符号语言写出题目.
已知:
口平面,四j_b,bj_求证:
口//
证明1设bj_垂足为点B,因为口,
故可过口和B作平面,设an卢一c;B∈c.,
?
10?
中学数学月刊2007年第2期
因为b上口,fc口,所以b上C.
又b上a,a,fc,故a//f.
又a口,fc口,所以口//口.
图4图5
'
证明l是错误的.
b上c,6上a,a,fc≯口//f(见图5).只
有b上f,b上a,a,b,fc时才有a//f.
混淆了平面几何性质和立体几何性质是
错误的原因.在立体几何中,b上f,b上a,a,f
c,就得结论a//c,是出言无据.
证明2在直线a上
取一点P,过P作PQ上
口,垂足为Q①,因为b上
a,故PQ//6②,而b上a,
故PQ上口③,过a和PQ
作平面④,因为Q∈,
Q∈a,所以an一f,Q
∈f(如图6,)⑤.
图6
由PQ上n,知PQ上f⑥.
又PQ上a,PQ,a,fc,所以a//f⑦,
而a口,fc口,故a//口.⑧
从①到⑧,这里条条有据.
①:
过一点作平面的垂线,可以作且只能
作一条(定理);
②:
垂直于同一平面的两直线平行(定
理);
③:
异面直线所成角的定义;
④:
两条相交直线可确定一个平面(公理
推论);
⑤:
两平面若有一个公共点,则它们有且
仅有一条经过该点的交线(公理);
⑥:
平面的垂线定义;
⑦(平面几何)乎行线的判定定理;
⑧直线和平面平行的判定定理.
4用图形结构展开立体几何教学
画出每一个立体几何定义,公理,定理与
之对应的"基本小图结构",并将其划分成平
面公理系统,平行系统,垂直系统,射影系统,
三种空间角结构系统,这样五个结构系统:
(1)平面公理系统:
(2)平行系统
图7
.因口.
.
因因.
厂,_\.
厂—_7.
图8
(3)垂直系统:
(4)射影系统:
图9
图1O
(5)空间角结构(斜线与平面所成的角
见(4))
图11
注**和***分别指该图涉及两
个和三个定理(或定义,或公理).
2007年第2期中学数学月刊
把小图结构纳入教学过程,用小图结构
归纳立体几何知识,串联立体几何思路,形成
对图思考,以图交流.老师面对立体几何图
形,拿着小图剖析大图,这样的立体几何教学
方式,使立体几何的逻辑推理是在充分调动
学生直觉思维基础上的逻辑推理.我们所谓
的空间概念,就是在综合的空间图形中"逻辑
地"发现,寻求,乃至构造这样的基本小图结
构及其它们的变位,变态的思维形式,这如同
儿童的"看图说话",在一堆杂乱的线团中寻
找"小兔子"和"长颈鹿"(当然要比"看图说
话"理性化).在基本小图结构的直觉思维面
前,综合的空间图形变成了由图形细胞构建
成的活的"有机体",而这一小图结构和那一
小图结构之间的因果联系又恰好是上一个
"证明节"和下一个"证明节"的关系.
5在看似简单的小问题上做文章,让思维的
触角在立体几何"小品"的追问中延伸
比如,在讨论直线和平面有几种位置关
系时,我们回答:
①直线n平面a,②nNa
—
A,(n//口(如图).
图l2
面对②补上一问:
直线n和平面a相交,
可以有几个交点?
为什么?
初学者做出"因为平面没有厚度"所以
只有一个交点的回答.然而,"没有厚度"不
能当作逻辑论证的理由.
运用反证.假设直线n和平面a存在两个
公共点,,那么直线以上所有点都在平面
a内,这与直线n和平面a相交矛盾.言必有
据——公理1.
立体几何推理从"小品"开始,欧几里得
几何特征浮出水面.
再如这样一个问题:
已知直线a和直线b
平行,n交平面口于点,问直线b和a是否相
交?
为什么?
看图形说相交还是望图生义,反证一下
看:
'
假设直线b和平面a不相交,则可能b
口,或b//口.
若ba,由n//b,na,三推一得,n//
矾这与"N口一A矛盾.
又若b//口,而∈n,过b,A作平面卢,
于是,aN一n,A∈n,由线面平行性质定
理知,b//n.于是,过点有b的两条平行直
线n,n,这与平行公理矛盾.
综上知,b与平面a相交.
也可以直接证明.
证明因为n//b,过n,b作平面,由
∈a,A∈,知a,有且仅有一条交线c,且
∈f.
在平面内,nNc—A,n//b,故c与b
也相交,设交点为B,则B∈口,即bN口一B.
小品在讨论中进行,没有去摆证明大阵
势,却在不经意中尝试着逻辑证明."证明节",
"十六字诀"在和风细雨中被初学者接纳.
反思立体几何入门教学所做的五件事,
其中有返璞归真教育,有逻辑推理教学,有发
现法教育,又有一般解题方法的教学,然而,
其中的一条主线,就是数学语言教学.数学语
言是立体几何入门的主要矛盾,立体几何语
言和反璞归真的结合,是立体几何合情推理
和演绎推理得以通行的基础,立体几何入门
的这个语言关恰好反映出立体几何这门学科
的学科特征.'
编者的话杨冠夏老师谈立体几何入门
教学的文章总结了他多年教学的经验和方
法,"证明节","画小图","十六字诀","做小
品"都给人留下深刻的印象,值得一读.
在教学中思考,在思考中教学是做教学
研究的好方法.期待更多的老师象杨老师那
样把自己的经验总结出来,寄给我们,这些经
验是中国数学教育的宝贵财富.
我们愿为大家交流教学经验提供平台.
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