五年级数学拔高之巧解盈亏应用题.docx
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五年级数学拔高之巧解盈亏应用题
第4讲巧解盈亏应用题
方法和技巧
分配某种物品,分配者一定,被分配的物品数一定,两种分配方案的结果会出现“盈”(余)或“亏”(不足),求分配者数和被分配物品数,这类问题叫盈亏问题。
常用方法:
总差额÷每人(或每件的差额)=人数(或件数)
A级基础点睛
【例1】小波从家去体育馆参加比赛,先以50米每分钟的速度走了4分钟后,发现这样走下去要迟到3分钟;后来他改用65米每分钟的速度前进,结果提前3分钟到达。
问:
小波家和体育馆相距多少米?
分析与解由每分钟走50米要迟到3分钟,可知体育馆进行比赛时,小波离体育馆有50×3=150(米);由每分钟走65米早到3分钟,可知体育馆进行比赛时,他还可以走65×3=195(米)。
每分钟50米少150米
?
分钟每分钟
每分钟65米多195米
比较两种方案,每分钟相差65-50=15(米),结果相差150+195=345(米)。
时间为345÷15=23(分),即出发4分钟后距离准时比赛时间。
按第一种方案一共药性4+23+3=30(分)才能到达体育馆,小波家与体育馆相距50×(345÷15﹢7)=50×﹙23﹢7﹚
=1500米
答:
小波家和体育馆相距1500米。
做一做1动物园为猴山的猴买来桃,这些桃如果每只猴分5个,还剩32个;如果其中10只小猴分4个,其余的猴分8个,就恰好分完。
问:
猴山有猴多少只?
共买来多少个桃?
分析与解根据观察对应数量关系的变化寻找答案的解题思路,首先需要把条件“如果其中10只小猴分4个,其余的猴分8个,就恰好分完”转化成:
如果每只猴都分8个就少(8-4)×10=40个,然后按盈亏问题来求解。
每只猴都分8个,所缺桃子数为﹙8-4﹚×10=40﹙个﹚
猴子总数为﹙40+32﹚÷﹙8-5﹚=24(只)
猴子总数为5×24+32=152﹙个)
答:
猴山有猴24只,共买来152个桃。
做一做2农民种树,其中有3人分得树苗各4棵,其余每人分得3棵,这样最后余下树苗11棵,如果1人先得3棵,其余的每人分得5棵,则树苗恰好分尽。
求人数和树苗的总数各是多少?
B级更上层楼
【例3】某中学买了一批英文打字机,分给高中三年级各班。
其中两个班各分6台,其余各班分3台,则多6台;如果有一个班分7台,其余各班分5台,则还差12台。
问:
学校买来了多少台打字机分给多少个高中三年级的班?
分析与解这时非平均分配的盈亏问题,可先化成平均分配的盈亏问题。
如果每个班分3台,则多余6+2×﹙6-3﹚=12(台);如果每个班分5台,则不足12-﹙7-5﹚=10(台)。
这样问题转化成平均分配的基本盈亏问题。
[6+2×﹙6-3﹚+12-﹙7-5﹚]÷﹙5-3﹚=11(个)
5×11-10=45(台)
答:
学校购进英文打字机45台,分给高三年纪的11个班。
小结这类非平均分配的盈亏问题要先化成屁分配的基本盈亏问题后,再求解。
做一做3农民锄草,其中5人每人锄4公顷,余下的人每人锄3公顷,这样分配最后还余下26公顷无人锄;如果其中3人每人锄3公顷,余下的人每人锄5公顷,最后还余下3公顷。
求锄地面积和人数各是多少?
【例4】聪聪用10元钱买了3支圆珠笔和7个练习本,剩下的钱若买一支圆珠笔就少0.14元,若买一个练习本还多0.8元。
问:
一支圆珠笔的售价为多少元?
分析与解从“买圆珠笔少0.14元,买练习本多0.8元”知道,一支圆珠笔比一个练习本贵0.94元。
如果聪聪花10-0.8=9.2(元),就可以买3支圆珠笔和7+1=8(个)练习本。
每个练习本的价格是(10-0.8-0.94×3)÷(3+8)=0.58(元)
圆珠笔的单价是0.58+0.94=1.52(元)
答:
一支圆珠笔的售价为1.52元。
做一做4小明用2元钱买了5支铅笔和8块橡皮,余下的钱买一支铅笔就缺4分,买一块橡皮就多出2分。
问:
每支铅笔的价格是多少?
【例5】箱子里有红、白两种玻璃球,红球数是白球数的3倍多2个。
每次从箱子里取出7个白球和15个红球,经过若干次后,箱子里还剩下3个白球和53个红球。
问:
箱子里原有的红球比白球多多少个?
分析与解因为红球数是白球数的3倍多2个,每次取15个,最后剩53个,所以,假设将白球数扩大3倍,按红球取法每次取15个,最后应剩51个白球。
白球每次取7个,最后剩3个,所以假设将白球数扩大3倍,每次取7×3=21(个),最后应剩3×3=9(个)。
每次多拿21-15=6(个),共多拿走51-9=42(个),因此共取(51-9)÷(21-15)=7(次),则
红球有15×7+53=158(个)
白球有7×7+3=52(个)
红球比白球多158-52=106(个)
答:
原有的红球比白球多106个。
做一做5苹果和梨各有若干个,如果5个苹果和3个梨装一袋,则还多4个苹果,梨恰好装完;如果7个苹果和3个梨装一袋,则苹果恰好装完,梨还多12个。
问:
苹果和梨各有多少个?
【例6】同学们植树,若有6人每人植5棵,其余的人每人植8棵,则还有一棵树没有人植;若有5人每人植7棵,其余的人每人植4棵,则刚好植完。
问:
有多少棵树?
解“若有6人每人植5棵,其余的人每人植8棵”,把它改为每人都植8棵,即以“其余的人”作为标准,则变成“每人植8棵,就还差6×(8-5)-1=17(棵)”。
“若有5人每人植7棵,其余的人每植4棵,则刚好植完”,把它改为每人植4棵,也以“其余的人”为标准,那么变成“每人植4棵,则还剩(7-4)×5=15(棵)没人植”。
这样转化成标准的盈亏问题后,就可以求出植树的人数:
(17+15)÷(8-4)=8(人)
植树的棵数为:
6×5+8×2+1=47(棵)
答:
有47棵树。
做一做6小明与小红各买了一本数学竞赛习题集,约定在相同的时间内做完。
小明计划头两周每周做30道习题,以后每周25道;小红计划头两周每周做35道,以后每周做30道,剩余2周留下复习。
问:
这本习题集共有多少道习题?
他们准备用几周做完?
C级勇夺冠军
【例7】某幼儿园的小班人数最少,中班27人,大班比小班多6人。
六一儿童节分糖果25包,每包不超过60块,不少50块,糖果总数个位数字是7,如果每人分19块,那么糖果数不够。
现在大班比中班每人多分1块,中班比小班每人多分1块,刚好分完。
问:
这批糖果共多少块?
解据题设1250=50×25≤糖果总数≤60×25=1500。
因小班人数最少,中班有27人,所以总人数不超过27×3+6=87(人)。
因(1250-6)÷87>14,所以每人至少分得15块,又因每人19块分不够,所以每人至多分18块。
注意到总数个位数是7,而7-6=1是奇数,所以只能是17块或15块。
但15的倍数的个位数应是0或5,不是1,所以只能每人分17块。
再估计总数:
17×74=1258>1250-6,它的个位数不是1,现在用1258适当加上17的倍数,使个位数为1,且≤1500,经验算,只有1258+17×9=1411,因此糖果总数是1411+6=1417(块)。
做一做7甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书。
已知甲班有1有人捐6册,有2人各捐7册其余人各捐11册;乙班有1人捐6册;3人各捐8册,其余人各捐10册;丙班有2人各捐4册,6人各捐7册,其余人各捐9册。
已知甲班捐书总数比乙班多28册,乙班比丙班多101册。
各班捐书总数在400~550之间。
问:
每班名有多少人?
巧练习——温故知新(四)
A级基础点睛
1.小羽从家去学校,若每分钟走80米,则能在上课前6分钟到校;若每分钟走50米,就要迟到3分钟。
问:
小羽的家到学校的路有多远?
2.货运列车运载粮食,若每节车皮装90吨,则还余60吨运不走;若每节车皮装110吨,则可空下两节车皮。
问:
有多少节车皮?
待运的粮食有多少吨?
3.一支部队有若干个连队,如果再调进一个连队,则现存的粮食可吃6天;如果调出一个连队,则现存的粮食可吃10天。
假设每个连队每天吃的粮食一样多,那么这支部队有多少个连队?
若现存的粮食只给一个连队吃,问:
可吃多少天?
4.一群小猪分吃饲料,若每头吃8千克,则还缺432千克;若每头改吃6千克,则仍缺234千克。
问:
有多少头小猪?
有多少千克饲料?
B级更上层楼
6.有一些苹果和梨,苹果的数量是梨的4倍少2个。
如果每次吃掉5个苹果和2个梨,那么当梨吃完时还剩下40个苹果。
问:
原有多少个苹果?
7.用一根绳子测井台离水面的高度。
把绳子对折后垂到井台水面,绳子超过井台9米;把绳子三折后垂到井台水面,绳子超过井台2米。
求绳长和井台离水面的高度。
8.小明花19元买了10本练习本和10支铅笔。
他还有余钱,如果要再买1支铅笔,就多0.30元;如果要再买一本练习本,就少0.20元。
问:
小明原有多少钱?
9.有若干盒卡片,每盒中的卡片数一样多。
把这些卡片分给一些小朋友,如果只分一盒,每人分8张还缺少5张。
现在把所有卡片都分完,每人都分到60张,而且还多出4张。
问:
有多少位小朋友?
10.有两筐苹果,如果从第一筐拿出9个放到第二筐里,则两筐的苹果数就一样多;如果从第二筐拿出12个放到第一筐里,则第一筐苹果数是第二筐的2倍。
求每筐原来各有多少个苹果。
11.王彩带钱若干,到上海路菜场去买鱼,若买鲤鱼30条,差4元;若买鲢鱼40条,则多20元。
两种鱼每条的价格相差2元1角,问:
两种鱼的单价是多少元?
12.五年级有甲、乙、丙三个班,甲班比乙班多4名女生,乙班比丙班多1名女生,如果将甲班的第一组同学调入乙班,同时将乙班的第一组同学调入丙班,将丙班的第一组同学调入甲班,则三个班的女生人数恰好相同。
已知丙班第一组有2名女生,那么甲班第一组有多少名女生?
13.2001个球平均分给若干个人,恰好分完。
若有一人不参加分球,则每人可以多分2个球,而且球还有剩余;若每人多分3个球,则球的个数不够。
问:
原来每人平均分多少个球?
14.妈妈给红红一些钱去买贺年卡,有甲、乙、丙三种贺年卡,甲种卡每张0.50元,丙种卡每张1.20元。
用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张,买乙种卡要比买丙种卡多买6张。
妈妈给了红红多少钱?
乙种卡每张多少钱?
巧总结
本节我的收获是:
不足之处有:
神奇的省刻度尺
小朋友,我们都知道生活中省电、省气、省油的一些方法,那么天平和刻度尺怎么省呢?
“省刻度尺”在《图论》中又称Golomb尺,它已在X射线、晶体学、雷达脉冲、导弹控制、通信网络、射电天文学等领域派上用场。
早在二百多年前,数学大师欧拉就曾研究过天平砝码的最佳(省)设置问题,他给出了下面的结论:
若只允许砝码放在天平的一端,则有20
(1),21,22,…,2r克重砝码,可以称出1~2k+1-1之间任何整数克重的物品;若允许砝码放在天平的两端,则有30
(1),31,32,…,3r克重砝码,可以称出1~
之间任何整数克重的物品。
实际上,这个结论与“二进制”和“三进制”的表示有关。
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一百多年前,英国数学游戏家杜德尼(1857—1930)又在思考如何节省刻度尺呢?
他发现,一根13cm长的尺子,只需用六个刻度0,1,4,5,11,即可量出1~13任何整数厘米长的物品。
我们用m→n表示m量到n,则有1(0→1),2(11→13),3(1→4),4(0→4)5,(0→5),6(5→11),7(4→11),8(5→13),9(4→13),10(1→11),11(0→11),12(1→13),13(1→13)。
同时,杜德尼经过不断探索发现,22cm长的尺子仅需六个刻度(两种方案)即可完成上面的度量(以下简称完整度量)。
这两种刻度分别为:
(1)1,2,3,8,13,18(cm);
(2)1,4,5,12,14,20(cm)。
日本的藤村幸三郎在杜德尼研究的基础上发现:
一根23cm长的尺子,仅需在1,4,10,16,18和21cm处刻上六个刻度即可完成整度量。
思考在继续,探索不断前进,1956年约翰▪莫▪拉巴沃克在其所著的《消遣数学》中指出,一根40cm长的尺子,在1,2,3,4,10,17,24,29,35cm处刻上刻度,即可完成整度量。
遗憾的是,这个问题的一般情形至今未获解,它同样是一个待解的迹团,它们是:
(1)n(cm)长的尺子至少需要有多少刻度才能完成完整度量?
(2)刻上k个刻度至多能在多大的n范围内完成1~n(cm)的完整度量?
亲爱的同学们,如果你有兴趣,可以参考相关文献,了解更深入的知识。
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