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一次函数1
14.2.2一次函数
(一)
一.提出问题,创设情境
问题:
某登山队大本营所在地的气温为15℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所处位置的气温是y℃.试用解析式表示y与x的关系.
这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同?
它的图象又具备什么特征?
我们这节课将学习这些问题.
二.导入新课
我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示?
它们又有什么共同特点?
1.有人发现,在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t(℃)有关,即C的值约是t的7倍与35的差.
2.一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h减常数105,所得差是G的值.
3.某城市的市内电话的月收费额y(元)包括:
月租费22元,拨打电话x分的计时费(按0.01元/分收取).
4.把一个长10cm,宽5cm的矩形的长减少xcm,宽不变,矩形面积y(cm2)随x的值而变化.
这些问题的函数解析式分别为:
1.C=7t-35.2.G=h-105.
3.y=0.01x+22.4.y=-5x+50.
它们的形式与y=-6x+15一样,函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.
如果我们用b来表示这个常数的话.这些函数形式就可以写成:
y=kx+b(k≠0)
一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数(linearfunction).当b=0时,y=kx+b即y=kx.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
练习:
1.下列函数中哪些是一次函数,哪些又是正比例函数?
(1)y=-8x.
(2)
(3)y=5x2+6.(3)y=-0.5x-1.
2.一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动,其速度每秒增加2米.
(1)一个小球速度v随时间t变化的函数关系.它是一次函数吗?
(2)求第2.5秒时小球的速度.
3.汽车油箱中原有油50升,如果行驶中每小时用油5升,求油箱中的油量y(升)随行驶时间x(时)变化的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.y是x的一次函数吗?
三、性质探究
问题1.在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
提问:
1.根据作图,观察、讨论这些函数的图象是什么形状?
2.几个点确定一条直线?
画一次函数图象时,只要取几个点?
概括新知
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,通常也称直线y=kx+b.
由于两点确定一条直线,故画一次函数图象时,只要先描出两点,再连成直线就可以了.
为了方便,常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和(
,0).
注意:
在同一坐标系内所画直线有几条时,应在每一条直线旁注明直线的解析式,以免混淆.
问题2.试比较下列各对一次函数的图象有什么共同点,有什么不同点?
(1)y=3x与y=3x+2;
(2)y=1.5x与y=1.5x+2;
(3)y=-3x+2与y=-1.5x+2.
能否从中发现一些规律?
对于直线y=kx+b(k、b是常数,k≠0),常数k、b的取值对于直线的位置各有什么影响?
1.两个一次函数,当k一样,b不一样时(如y=3x与y=3x+2),
共同点:
两直线平行(直线y=3x+2可以看作是由直线y=3x向上平移两个单位长度得到的)
不同点:
与y轴的交点坐标不同
2.两个一次函数,当b一样,k不一样时(如y=-1.5x+2与y=-3x+2),
共同点:
它们与y轴有公共交点(0,2)
不同点:
两直线与y轴所形成的交角不同
概括
(1)直线y=kx+b(k≠0)可由直线y=kx(k≠0)向上或向下平移
个单位得到.
(2)两条直线,当k值相同时,两直线平行;当b值相同时,两直线交于y轴上同一点.
巩固练习
练习1:
求下列直线与x轴和y轴的交点,并在同一直角坐标系中画出它们的图象:
练习2:
(1)将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线_______;
(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线_______.
练习3:
小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均速度是95千米/时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米,请写出小明乘汽车从A地驶出后,距北京的路程s和汽车在高速公路上行驶的时间t之间的函数解析式,并画出函数图象.
说明:
由于实际问题中函数的自变量的取值有一定的限制(即符合实际意义),故画函数图象时,必须在自变量的范围内取值、描点、连线,其函数图象可能是直线、线段、射线或离散的点.
练习4
假定甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的关系如图,那么可以知道:
(1)这是一次多少米赛跑?
(2)甲乙两人中先到达终点的是谁
(3)乙在这次赛跑中的速度是多少
四、小结
一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k≠0.特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数k≠0)也叫做正比例函数.由此可见,正比例函数是一次函数的特例.
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,通常也称直线y=kx+b.由于两点确定一条直线,故画一次函数图象时,只要先描出两点,再连成直线就可以了.为了方便,常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和(-b/k,0).
(2)正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线.通常画正比例函数y=kx(k≠0)的图象只需取一点(1,k),然后过原点和这一点画直线
(3)直线y=kx+b(k≠0)可由直线y=kx(k≠0)向上或向下平移
个单位得到.
(4)两条直线,当k值相同时,两直线平行;当b值相同时,两直线交于y轴上同一点.
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