上海市八年级数学第二学期期末压轴题二2425题解析7.docx
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上海市八年级数学第二学期期末压轴题二2425题解析7
2021年上海市各区初二期末压轴题图文解析
各区24,25压轴题
例2021年上海市宝山区初二下学期期末第24题
如图1,反比例函数
的图像与过原点的直线y=kx(k≠0)相交于点A、B,点A的横坐标是-4.点P是第一象限内反比例函数图像上的动点,且在直线AB的上方.
(1)求k的值和点B的坐标;
(2)若点P的坐标是(1,4),且以点P、A、B、C为顶点的四边形为矩形时,写出点C的坐标以及此时的矩形面积;
(3)设点Q是动点P关于x轴的对称点,直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,试用数学方法判断四边形PMQN是怎样的特殊四边形.
图1
满分解答
(1)将x=-4代入
,得y=-1.所以A(-4,-1).
将A(-4,-1)代入y=kx,得-1=-4k.解得k=
.
因为点B与点A关于原点对称,所以B(4,1).
(2)如图2,已知A(-4,-1)、B(4,1)、P(1,4),所以AP2=52+52=50,BP2=32+32=18,AB2=82+22=68.所以AP2+BP2=AB2.
所以△ABP是直角三角形,∠APB=90°.
因此以点P、A、B、C为顶点的矩形,只存在一种情况,点C与点P关于原点对称,所以C(-1,-4).
所以S矩形PACB=AP∙PB=
=30.
图2
(3)如图3,设P(m,
),那么Q(m,
).
设MN与PQ交于点G.
由P(m,
)、A(-4,-1),得直线AP的解析式为
.所以M(m-4,0).
由P(m,
)、B(4,1),得直线AP的解析式为
.所以N(m+4,0).
所以MG=NG=4.所以PQ垂直平分MN.
又因为P、Q两点关于x轴对称,所以MN垂直平分PQ.
所以四边形PMQN是菱形.
图3
例2021年上海市宝山区初二下学期期末第25题
如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,如果AD=4,BC=10,点E在线段AB上,将△BCE沿CE翻折,线段CB恰好和线段CD重合.
(1)求梯形ABCD的高以及点E与点B之间的距离;
(2)如图2,EF⊥CE交CD的延长线于点F,过点F作FG⊥BA于点G,求梯形ADFG的中位线的长度;
(3)动点M在线段CE上,当△DEM为等腰三角形时,求线段CM的长.
图1图2
满分解答
(1)如图3,过点D作DH⊥BC于H.
在Rt△DHC中,DC=BC=10,CH=BC-AD=10-4=6,所以DH=8.
如图4,在Rt△AED中,AD=4,设AE=x,那么ED=EB=AB-AE=8-x.
由勾股定理,得AE2+AD2=ED2.所以x2+42=(8-x)2.
解得x=3.所以EB=8-x=5.
图3图4
(2)如图5,因为EF⊥CE,所以∠2+∠3=90°.所以∠1+∠4=90°.
又因为∠1=∠2,根据等角的余角相等,得∠3=∠4.
又因为∠FGE=∠FDE=90°,EF=EF,所以△GEF≌△DEF.
所以EG=ED=5.所以GA=GE-AE=5-3=2.
如图6,过点F作FN⊥BC于N.
在Rt△FNC中,FN=GA+AB=2+8=10,设FD=FG=m,那么FC=FD+DC=m+10,NC=BC-FG=10-m.
由勾股定理,得FN2+NC2=FC2.所以102+(10-m)2=(10+m)2.解得m=
.
所以梯形ADFG的中位线=
=
=
.
图5图6
(3)如图7,在Rt△BCE中,BE=5,BC=10,所以CE=
.
分三种情况讨论等腰三角形DEM.
①如图7,当EM=ED=5时,CM=CE-EM=
.
②如图8,当MD=ME时,可证得DM是Rt△DEC斜边上的中线.
所以CM=EM=
=
.
③如图9,当DE=DM时,可证得DN//AN,CM是Rt△MNC的斜边.
在Rt△MNC中,MN=DN-DM=8-5=3,NC=BC-AD=10-4=6,所以CM=
.
图7图8图9
上面第②、③两种情况的解题过程如下:
如图8,当MD=ME时,∠MDE=∠MED.
根据等角的余角相等,得∠MDC=∠MCD.所以DM=CM.
所以CM=EM=
=
.
如图9,当DE=DM时,∠2=∠5.
又因为∠1=∠2,所以∠1=∠5.所以DM//AB.所以∠MNC=∠B=90°.
在Rt△MNC中,MN=DN-DM=8-5=3,NC=BC-AD=10-4=6,所以CM=
.
例2021年上海市崇明区初二下学期期末第24题
如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(0,4),点C为线段AB的中点,点D为x轴上的动点.
(1)求直线AB的函数表达式;
(2)当直线CD与直线AB互相垂直时,求点D的坐标;
(3)以A、C、D三点为顶点的三角形能否成为等腰三角形?
若能,请直接写出D点的坐标;若不能,请说明理由.
图1
满分解答
(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+4(k≠0).
将A(2,0)代入,得2k+4=0.解得k=-2.
所以直线AB的函数表达式为y=-2x+4.
(2)如图2,因为CD垂直平分AB,所以DA=DB.
设点D(x,0),根据DA2=DB2列方程,得(x-2)2=x2+42.
解得x=-3.所以D(-3,0).
(3)如图3,在Rt△AOB中,OA=2,OB=4,所以AB=
.图2
因为点C为线段AB的中点,所以AC=
,C(1,2).
分三种情况讨论等腰三角形ACD.
①如图3,当AD=AC=
时,点D坐标为(2+
0)或(2-
0).
②如图4,当DA=DC时,根据DA2=DC2列方程,得(x-2)2=(x-1)2+22.
解得x=
,所以D(
0).
③如图5,当CA=CD时,点C在AD的垂直平分线上,所以D(0,0),此时点D与点O重合.
图3图4图5
例2021年上海崇明区初二下学期期末第25题
如图1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点P为边AD上一动点,把△ABP沿BP翻折后得到△EBP.
(1)当点E恰好落在矩形对角线BD上时,求线段AP的长;
(2)当直线PE与边BC相交于点F时,△FBP是否一定是等腰三角形?
请给出你的结论,并证明你的结论;
(3)当直线PE与边BC相交于点F,且点E在线段PF上时,设AP=x,BF=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域.
图1备用图
满分解答
(1)如图2,在Rt△ABD中,AB=6,AD=8,所以BD=10.
在Rt△DPE中,DE=BD-BE=10-6=4,设AP=EP=x,那么PD=8-x.
由勾股定理,得EP2+DE2=PD2.
所以x2+42=(8-x)2.解得x=3.所以AP=3.
(2)△FBP一定是等腰三角形.理由如下:
如图3,因为AD//BC,所以∠1=∠3.
又因为∠1=∠2,所以∠2=∠3.
所以PF=BF,△FBP是等腰三角形.
(3)如图4,在Rt△BEF中,BE=AE=6,BF=y,EF=PF-PE=y-x,由勾股定理,得BE2+EF2=BF2.所以62+(y-x)2=y2.
整理,得y=
.定义域是
≤x≤6.
当F、C两点重合,y=8,解得x=
;当E、F两点重合时,x=6.
图2图3图4
例2021年上海市奉贤区初二下学期期末第25题
如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-3x+15交x轴于点A,交y轴于点B,点C在直线AB上,点D与点C关于原点对称,联结AD,过点C作CE∥AD交x轴于点E.
(1)求点A、B坐标;
(2)当点C的横坐标为2时,求点E坐标;
(3)过点B作BF∥AD交直线DE于点F,如果四边形ABFD是矩形,求点C的坐标.
图1
满分解答
(1)由y=-3x+15,当x=0时,y=15;当y=0时,x=5.
所以A(5,0),B(0,15).
(2)如图2,因为点D与点C关于原点对称,所以OC=OD.
因为CE∥AD,所以∠OCE=∠ODA.
又因为∠COE=∠DOA,所以△COE≌△DOA.
所以OE=OA=5.所以E(-5,0).也就是说,不论点C在直线AB上什么位置,点E的位置都是确定的.
(3)如图2,因为OC=OD,OE=OA,所以四边形ACED是平行四边形.所以AC//ED.
如图3,又因为BF∥AD,所以四边形ABFD是平行四边形.
如果四边形ABFD是矩形,那么∠CAD=90°.
所以AO是Rt△ACD斜边上的中线,所以OA=OC=OD=5.
设C(m,-3m+15),那么OC2=m2+(-3m+15)2=52.
整理,得m2-9m+20=0.解得m1=4,或m2=5(此时点C与点A重合,舍去).
所以点C的坐标为(4,3).
图2图3
例2021年上海市奉贤区初二下学期期末第26题
如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=4,DC=5,过点C作CE∥BD交AD延长线于点E,联结BE交CD于点F.
(1)当AB=AD时,求BC的长;
(2)设BC=x,四边形BCED的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)当△BDF为直角三角形时,求BC的长.
图1
满分解答
(1)如图2,作DH⊥BC于H,得到矩形ABHC和直角三角形DHC.
在Rt△DHC中,DH=AB=AD=4,DC=5,所以HC=3.
所以BC=BH+HC=AD+HC=4+3=7.
(2)如图2,在Rt△DHC中,DC=5,HC=BC-BH=x-4.
由勾股定理,得DH2=DC2-HC2=52-(x-4)2.
整理,得DH=
.
如图3,因为AE∥BC,CE∥BD,所以四边形BCED是平行四边形.
所以y=S四边形BCED=BC∙DH=
.
定义域是0<x<9.
当点C落在AD的延长线上时,A、B两点重合,此时x=BC=AD+DC=4+5=9.
图2图3
(3)分两种情况讨论直角三角形BDF.
①如图4,当∠BFD=90°时,BE垂直DC.
所以四边形BCED是菱形.所以BD=BC=x.
在Rt△DBH中,DH2=DB2-BH2=x2-42.
在Rt△DCH中,DH2=DC2-CH2=52-(x-4)2.
所以x2-42=52-(x-4)2.
整理,得2x2-8x-25=0.
解得
,或
(舍去).
所以BC=
.
②如图5,当∠BDC=90°时,△BDC也是直角三角形.
在Rt△DBH中,DB2=DH2+BH2=52-(x-4)2+42.
在Rt△BDC中,由勾股定理,得BC2=DB2+DC2.
所以x2=52-(x-4)2+42+52.
整理,得x2-4x-25=0.
解得
,或
(舍去).
所以BC=
.
图4图5
例2021年上海市虹口区初二下学期期末第24题
如图1,一次函数y=2x+4的图像与x、y轴分别相交于点A、B,以AB为边作正方形ABCD,点C、D在直线AB的下方.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)求直线CD的表达式;
(3)设直线CD与x轴交于点E,点F为直角坐标平面xOy内一点,当四边形AECF为等腰梯形时,请直接写出所有符合条件的点F的坐标.
图1
满分解答
(1)由y=2x+4,得A(-2,0),B(0,4).
如图2,构造正方形ABCD的外接正方形MNPQ.
因为∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,所以∠1=∠3.
又因为∠M=∠N=90°,AB=BC,所以△ABM≌△BCN.
所以CN=BM=OA=2,BN=AM=OB=4.
所以C(4,2).
(2)因为CD//AB,设直线CD的表达式为y=2x+b.
代入点C(4,2),得8+b=2.解得b=-6.图2
所以直线CD的表达式为y=2x-6.
(3)由y=2x-6,得E(3,0).
分两种情况讨论四边形AECF为等腰梯形.
①如图3,当FC//AE时,设等腰梯形的对称轴与x轴交于点H,与FC交于点G.
由A(-2,0)、E(3,0),得对称轴GH为直线x=
.
所以点C(4,2)关于直线x=
的对称点F的坐标为(-3,2).
②如图4,当AF//CE时,点F在直线AB上.设F(m,2m+4).
根据FC2=AE2列方程,得(m-4)2+(2m+4-2)2=52.
解得m1=1,或m2=-1(此时四边形AECF为平行四边形,舍去).
所以F(1,6).
图3图4图5
拓展延伸
第(3)题,问题若改为以A、E、C、F为顶点的四边形为等腰梯形,则还有一种情况.
如图5,EF//AC.
由A(-2,0)、C(4,2),得直线AC的表达式为
.
设直线EF的解析式为
,代入E(3,0),得1+b=0.解得b=-1.
所以直线EF的解析式为
.设F(n,
).
根据AF2=CE2列方程,得(n+2)2+(
)2=12+22.整理,得
.
解得n1=0,或n2=-3(此时四边形AECF为平行四边形,舍去).
所以F(0,-1).
例2021年上海市虹口区初二下学期期末第25题
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AB=4,点D是射线CB上一点(点D与点C不重合),以AD为边作等边△ADE,且点E与点C在直线AD的异侧,过点E作EF⊥AB于点F.
(1)求证:
△ACD≌△AFE;
(2)联结BE,设CD=x,BE=y,当点D在线段CB上时,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)当△ADB为等腰三角形时,求△ADB的面积.
图1备用图
满分解答
(1)如图2,在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AB=4,
所以AC=2,∠BAC=60°.
因为△ADE是等边三角形,所以AD=AE,∠DAE=60°.
所以∠BAC=∠DAE.
所以∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF,即∠1=∠2.
又因为EF⊥AB,所以∠AFE=∠C=90°.
所以△ACD≌△AFE(AAS).图2
(2)如图2,由△ACD≌△AFE,得AF=AC=2,FE=CD=x.
所以FB=AB-AF=4-2=2.
在Rt△BEF中,由勾股定理,得BE2=FE2+FB2.
所以y2=x2+22.整理,得
.
定义域是0<x≤
.
(3)分两种情况讨论等腰三角形ADB.
①如图3,当点D在线段CB上时,∠ADB是钝角,只存在DA=DB的情况,所以∠3=∠B=30°.因此∠1=30°.
在Rt△ACD中,AC=2,设CD=m,那么AD=2m.
由勾股定理,得m2+22=(2m)2.
解得m=
(舍去负值).
所以BD=CB-CD=
=
.
此时S△ADB=
=
.
②如图4,当点D在线段CB的延长线上时,∠ABD是钝角,只存在BA=BD=4的情况.
此时S△ADB=
=4.
图3图4
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