intersectab返回向量ab的公共部分.docx

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intersectab返回向量ab的公共部分

intersect（a,b）:

返回向量a，b的公共部分

intersect（A,B,'row'）:

A,B为相同列数的矩阵，返回元素相同的行

[c,ia,ib]=intersect（a,b）:

c为a，b的公共元素，ia表示公共元素在a中的位置，ib表示公共元素在b中的位置

c=setdiff（a,b）:

返回属于a但不属于b的不同元素的集合，即c=a-b

c=setdiff（A,B,'row'）:

返回属于A但不属于B的不同行

[c,i]=setdiff（...）:

c与前面一致，i表示c中元素在a中的位置

c=setxor（a,b）:

返回a，b交集的非

c=setxor（A,B,'row'）:

返回矩阵A,B的非，A,B有相同的列数

[x,ia,ib]=setxor（...）:

ia,ib表示c中元素分别在a（或A），b（或B）中的位置

c=union（a,b）:

a，b的交集

c=union（A,B,'row'）:

返回A,B矩阵不同行向量构成的大矩阵，其中相同行向量只取其一

[c,ia,ib]=union（...）:

ia,ib分别表示c中行向量在原矩阵（向量）中的位置

dot（a,b）:

若a，b为向量，a和b长度必须相同，返回向量a，b的点积；若a，b为矩阵，则a，b必须有相同的维数

dot=（A,B,dim）:

在dim维数中给出A与B的点积

c=cross（a,b）:

若a，b为向量，则c=a*b，a，b必须是3个元素的向量；若a，b为矩阵，则返回一个3*n的矩阵，其中的列式a与b对应列的叉积，a，b都是3*n矩阵

c=cross（a,b,dim）:

在dim维数在给出向量a，b的叉积，a和b必须有相同的维数，size（a，dim），size（b，dim）必须是3

混合积：

x=dot（a,cross（b,c））,即a.（b*c）,先叉积后点积

向量的长度：

sqrt（dot（a,a））或sqrt（sum（a.*a））

向量的方向角：

r=sqrt（dot（A,A））;%计算向量A的长度

alpha=acos（A

（1）/r）;%向量A与x轴的夹角

beta=acos（A

（2）/r）;%向量A与y轴的夹角

gamma=acos（A（3）/r）;%向量A与z轴的夹角

R1=sqrt（dot（a,a））；R2=sqrt（dot（b,b））;

alpha=acos（dot（a,b）/R1/R2）%计算向量a，b间的夹角

解析几何简单应用

（1）点与点之间的距离

s=A-B;

r=sqrt（dot（s,s））%计算A,B两点间的距离

（2）点与平面的距离

平面方程Ax+By+Cz+D=0,用f=[A,B,C,D],点P（a,b,c）用P=[a,b,c]表示。

d1=dot（f,[P,1]）;%计算Aa+Bb+Cc+D

d2=sqrt（dot（f（1:

3）,f（1:

3）））;%计算（A^2+B^2+C^2）^（1/2）

d=abs（d1/d2）%d为点P到平面f的距离

（3）点与直线的距离

将直线

表示为点O=[

]和向量v=[A,B,C],距离

vs=p-pv;%计算

d1=sqrt（dot（v,v））;%计算

c=cross（v,vs）%计算

d2=sqrt（dot（c,c））%计算

d=d2/d1%计算点P到直线的距离d

多项式和线性方程组的求解

1.p=[1,-4,7,-31];

poly2sym（p）%poly2sym（p）命令是将多项式向量转变为符号形式

2.A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];

p=poly（A）%特征根

poly2sym（p）%特征多项式

3.r=[1,3,7]%已知多项式的根为1,3,7

p=poly（r）%由根创建多项式的系数

poly2sym（p）%由根创建多项式

4.多项式的运算

（1）计算两多项式

，

的和、积、商,

p=[2,1,0,-5,3];s=[1,1,1];s0=[0,0,1,1,];

p+s0%多项式加法，向量p，s必须同维，将s扩展成s0

conv（p,s）%多项式乘法，此时s不必扩维成s0

[q,r]=deconv（p,s）%多项式除法，商为q，余数为r，不必扩维

（2）多项式的根

roots（p）%多项式的根，即方程p（x）=0的解

pc=compan（p）%多项式p的伴随矩阵

eig（pc）%多项式p的伴随矩阵的特征值等于多项式p的根

例：

求多项式

的根

解法1：

p=[1,3,7];roots（p）

解法2：

p=[1,3,7];pc=compan（p）;eig（pc）

（3）多项式微分与赋值运算

polyder（p）%多项式p的一阶微分

polyval（p,a）%求x=a是多项式p的值

5.方程组的求解

（1）线性方程组有惟一的解时

x=inv（A）*b

x=inv（sym（A））*b%精确解

（2）线性方程组有无穷多解时

Z=null（A）%求解A矩阵的化零矩阵，也即基础解系

Z=null（A,'r'）%求解A矩阵的化零矩阵的规范形式

x0=（pinv（A）*b）%AX=b的一个特解

（3）无解时

x=pinv（A）*b%最小二乘解

6.图形的绘制

（1）显函数绘制

fplot（'函数',[a,b]）%函数表达式要置于单引号内，[a,b]为指定区间

如：

fplot（'sin（4*x）',[0,pi]）

fplot（'[sin（x）,cos（x）]',[-2*pi,2*pi）%在同一坐标系下绘制正弦、余弦取曲线

（2）隐函数的绘制

ezplot（'隐函数表达式'）

如：

ezplot（'x^2*sin（x+y^2）+y^2*exp（x+y）+5*cos（x^2+y）'）

上面函数将根据x的定义域绘图，下面的限制了定义域

ezplot（'x^2*sin（x+y^2）+y^2*exp（x+y）+5*cos（x^2+y）',[-10,10]）

（3）极坐标下的图形绘制

polar（x,y,s）%x为极角，y为极径，s为图形设置选项

ezpolar（'函数表达式'）

（4）特殊二维曲线绘制函数

函数名

意义

常用调用格式

函数名

意义

常用调用格式

bar

条状图

bar（X,Y）

comet

彗星状图

comet（X,Y）

compass

罗盘图

compass（X,Y）

errorbar

误差限图

Errorbar（x,y,

）

feather

羽毛状图

feather（X,Y）

fill

二维填充图形

fill（X,Y,c）

hist

直方图

hist（X,Y）

stem

离散数据柄状图

stem（X,Y）

polar

极坐标图

polar（X,Y）

quiver

磁力线图

quiver（X,Y）

stairs

阶梯图

stairs（X,Y）

semilogx

x-半对数图

semilogx（X,Y）

loglog

对数图

loglog

semilogy

y-半对数图

semilogy（X,Y）

（5）图形修饰与控制

axissquare%是绘图区域为正方形

axisequal%控制各坐标轴的单位刻度，使其相等

axis（[xmin,xmax,ymin,ynax]）%控制坐标轴的范围

title（'字符串'）%给图形加上标题

xlabel（'字符串'）%x轴标注

ylabel（'字符串'）%y轴标

test（x,y,'字符串'）%在点（x,y）处注说明文字

gridon%加网格线

gridoff%取消网格线

holdon%保持当前图形

holdoff%解除holdon命令

legend（'First','Second',n）%对一个坐标系上的两个图形做出图例注解

subplot（m,n,p）%将当前窗口分成m行n列个区域，并指定在p区绘图

fill（X,Y,'颜色选项'）%颜色填充

关于legend（'First','Second',n）中参数n的补充：

0：

自动定位，使得图标与图形重复最少，即自动放在最佳位置

1：

置于图形的右上角（默认值）

2：

左上角

3：

左下角

4：

右下角

-1：

右外侧

（6）三维图形的绘制

plot3（X,Y,Z,s）

如：

绘制螺旋线

t=0:

pi/60:

10*pi;

x=sin（t）;y=cos（t）;

plot3（x,y,t,'*b'）

其它函数：

stem3可以绘制火柴杆型曲线，fill3可以绘制三维的填充图形，bar3可以绘制三维的直方图，comet3可以绘制三维的彗星状图。

（7）三维曲面的绘制

[X,Y]=meshgrid（v1,v2）%生成网格数据

Z=...，如Z=X.*Y%计算二元函数的Z矩阵

surf（X,Y,Z）或mesh（X,Y,Z）%mesh函数绘制网格图，surf函数绘制表面图

其中v1，v2为x轴和y轴的分隔形式

其他绘制三维曲面的函数有：

meshz%绘制带有底座的三维网格图

meshc%带有等高线的三维网格图

surfc%带有等高线的三维曲面图

surf1%绘制光照下的三维曲面

waterfall%瀑布型三维图形

contour3%三维等高线函数

pie3%三维饼状图

cylinder%柱面图

sphere%球面图

如：

绘制带有底座的马鞍面：

x=-8:

8;y=-8:

8;

[X,Y]=meshgrid（x,y）;

Z=（x.^2/4^2-y.^2/5^2）;

meshz（X,Y,Z）

（8）直角坐标，柱坐标，球坐标之间的转换

[x,y]=pol2cart（theta,r）%二维极坐标转换为直角坐标

[theta,r]=cart2pol（x,y）%二维直角坐标转换为极坐标

[x,y,z]=pol2cart（theta,r,z）%三维柱坐标转换为直角坐标

[theta,r,z]=cart2pol（x,y,z）%三维直角坐标转换为柱坐标

[x,y,z]=sph2cart（theta,phi,r）%三维球坐标转换为直角坐标

[theta,phi,r]=cart2sph（x,y,z）%三维直角坐标转换为球坐标

如：

把三维柱坐标转换为直角坐标

theta=0:

pi/30:

2*pi;ro=sin（theta）;

[t,r]=meshgrid（theta,ro）;

z=r.*t;

[x,y,z]=pol2cart（t,r,z）;

mesh（x,y,z）

（9）图形命令的各种设置选项

曲线线型

曲线颜色

标记符号

选项

意义

选项

意义

选项

意义

—

实线

b

蓝色

*

星号

——

虚线

c

蓝绿色

.

实点

：

点线

g

绿色

o

圆圈

—.

点划线

k

黑色

叉号

none

无线

m

紫红色

+

加号

r

红色

d

棱形

w

白色

^

向上三角

y

黄色

<

向左三角

>

向右三角

s

正方形

h

正六角形

p

五角形

向下三角

7.微积分基本运算

（1）函数的极限

limit（f,x,a）%f（x）在

时极限值

limit（f,x,a,'right'）%右极限

limit（f,x,a,'left'）%左极限

limit（limit（f,x,

）,y,

）%累次极限

如：

求解极限

symxab;

f=x*（1+a/x）^x*sin（b/x）;

limit（f,x,inf）

（2）函数的导数

diff（f,x）%求f关于x的导数

diff（f,x,n）%n阶导数

diff（diff（f,x,m）,y,n）%二元函数f的偏导数

（3）函数的积分

int（f,x）%函数f（x）的不定积分；当被积函数f中只有一个变量时，可以省略x

int（f,x,a,b）%定积分

int（f,x,a,inf）%无穷积分

（4）函数的级数展开

（a）泰勒（Taylor）级数展开

taylor（f,x,k）%f（x）在x=0处的泰勒展开式，k为需要展开的项数

taylor（f,x,k,a）%在x=a处展开

注：

k的默认值为6.

（b）傅里叶（Fourier）级数展开

MATLAB本身没有提供专门的傅里叶级数展开的函数，可编写如下M函数实现

function[a0,an,bn]=fourier（f）

symsx

a0=int（f,-pi,pi）/pi;

an=int（f*cos（n*x）,-pi,pi）/pi;

bn=int（f*sin（n*x）,-pi,pi）/pi;

（4）梯形法数值积分

trapz（x,y）%x可以为行向量或列向量，y的行数等于x向量的元素数

注：

若y由多列向量给出，则该函数可以得到若干个函数的积分值。

如：

用梯形法求

区间，函数

的定积分值

x=[0:

pi/30:

pi]';%步长

可选

y=[sin（x）cos（x）];

trapz（x,y）

（5）quad函数计算数值积分（Simpson算法）

quad（Fun,a,b）%求定积分，误差为

quad（Fun,a,b,

）%限定精度为

的定积分求解

注：

Fun为描述被积函数的字符串变量，可以是一个Fun.m函数文件名，还可以是inline函数直接定义。

a，b分别为定积分的上限和下限，

为用户指定的误差限，默认值为

（6）矩形区域上二重积分的数值解

dblquad（Fun,a,b,c,d）%计算双重积分

dblquad（Fun,a,b,c,d，

）%限定精度为

的双重积分

如：

求二重积分：

f=inline（'exp（-x.^2/2）.*sin（x.^2+y）','x','y'）;

%inline函数的第一个输入变量为被积函数本身，第二个、第三个输入变量为自变量

J=dblquad（f,-2,2,-1,1）

（7）长方体区域上三重积分的数值解

triplequad（Fun,a,b,c,d,m,n,

）%三重积分

8.代数方程与常微分方程的求解

（1）代数方程的图解法

如：

求解方程：

ezplot（'exp（x）-x^2-10',[0,5]）

holdon,line（[0,5],[0,0]）

注：

通过局部放大图形，可得到原方程的解，直到曲线与x轴的交点附近完全一致。

如下图红圈所示。

（2）代数方程的符号解

solve（eqn）%求解方程eqn=0，输入变量eqn可以是符号表达式或字符串

solve（eqn,'x'）%对指定变量x求解eqn（x）=0

solve（eqn1,eqn2,...,eqnn）%求解方程：

eqn1=0,eqn2=0,...,eqnn=0

如：

使用solve函数求解方程：

x3+4x2-4x-1=0

solve（'x^3+4*x^2-4*x-1'）

使用solve函数求解方程组：

x+y=1，x-3y=5。

[x,y]=solve（'x+y=1','x-3*y=5'）

（3）一般非线性方程数值解

x=fsolve（Fun,x0）

其中，Fun应该用M函数文件或inline函数按指定的格式描述，x0为搜索点的初值，方程求根程序从该值开始逐步减小误差搜索出满足方程的实根x。

如：

先用图解法观察方程5x2sinx-e-x=0在区间[0,10]内有多少解，然后试用数值方法求之。

ezplot（'5*x^2*sin（x）-exp（-x）',[0,10]）

holdon

line（[0,10],[0,0]）

从图中可以看出在[0,10]内共有4个解，分别在0，3,6,9附近

从而可以使用fsolve函数求其数值解

fun=inline（'5*x.^3.*sin（x）-exp（-x）'）;

fsolve（fun,[0,3,6,9]）

例：

求解方程组：

x-0.7sinx-0.2cosy=0,y-0.7cosx+0.2siny=0

解：

先编制函数文件fu.m

functiony=fu（x）

y

（1）=x

（1）-0.7*sin（x

（1））-0.2*cos（x

（2））=0;

y

（2）=x

（2）-0.7*cos（x

（1））+0.2*sin（x

（2））=0;

y=[y

（1）,y

（2）];

在命令窗口调用fu函数，并计算：

x=fsolve（'fu',[0.5,0.5]）

结果为：

x=

0.52650.5079

（4）常微分方程的符号解（解析解）

dsolve（f1,f2,...fn）

dsolve（f1,f2,...Fn,'x'）

其中，fi既可以描述微分方程，又可以描述初始条件或边界条件。

在描述微分方程，可以用D4y表示y（4）（t）,还可以用D2y

（2）=3表示y''

（2）=3。

如火自变量不是t而是x，则可以用后一个语句指明自变量。

如：

求解微分方程y''-y'-ex=0的通解及在初始条件y（0）=1;y'（0）=2下的特解。

dsolve（'D2y-Dy-exp（x）=0','x'）

ans=

C3*exp（x）+exp（x）*（x+C2*exp（-x））

在初始条件y（0）=1;y'（0）=2下：

dsolve（'D2y-Dy-exp（x）=0','y（0）=1','Dy（0）=2','x'）

ans=

exp（x）+x*exp（x）

（5）常微分方程的数值解法

[T,Y]=ode45（Fun,[t0,tf],y0）%在区间[t0,tf]上，用初始条件y0求解显式微分方程：

y'=f（t,y）,t0默认为0

例：

求解微分方程y'=-2y+2x2+2x,0

x

0.5,y（0）=1

fun=inline（'-2*y+2*x^2+2*x','x','y'）;

[x,y]=ode45（fun,[0,0.5],1）;

plot（x,y）%绘制解函数曲线图

例：

考虑描述振荡器的经典VanderPol方程：

在初始条件y（0）=1y'（0）=0的解（取μ=7）

分析：

首先，用dsolve函数，看看有啥结论

y=dsolve（'D2y+mu*（y^2-1）*Dy+y=0','y（0）=1','Dy（0）=0'）

Warning:

Explicitsolutioncouldnotbefound.

>Indsolveat194

y=

[emptysym]

得出无解提示，可见dsolve函数不能直接用于一般非线性方程的解析解的求解。

数值解，首先把微分方程转化为显式微分方程

的形式。

令

，则原方程化为：

初值条件变为：

x1（0）=1,x2（0）=0

解法1使用inline函数描述微分方程组：

f1=inline（'[x

（2）;-7*（x

（1）^2-1）*x

（2）-x

（1）]','t','x'）;

y0=[1;0];

[t,x]=ode45（f1,[0,40],y0）;

plot（t,x）

解法2编写M函数文件vdp.m来描述微分方程组：

functionfy=vdp（t,x）

fy=[x

（2）;-7*（x

（1）^2-1）*x

（2）-x

（1）];

然后在命令窗口中输入：

y0=[1;0];

[t,x]=ode45（'vdp',[0,40],y0）;

plot（t,x）

（6）不同求解器Solve的特点

求解器Solve

ODE类型

特点

说明

ode45

非刚性

一步法，4，5阶Runge-Kutta方程，累计截断误差达（Δx）3

大部分场合的首选算法

ode23

非刚性

一步法，2,3阶Runge-Kutta方程，累计截断误差达（Δx）3

使用于精度较低的情形

ode113

非刚性

多步法，Adams算法，高低精度均可达10-6~10-3

计算时间比ode45短

ode23t

适度刚性

采用梯形算法

适度刚性情形

ode15s

刚性

多步法，Gear's反向数值微分，精度中等

若ode45失败时。

可尝试使用

ode23s

刚性

一步法，2阶Rosebrock算法，低精度

当精度较低时，计算时间比ode15s短

9.优化问题

（1）无约束最优化问题的数值解法

x=fminunc（Fun,x0）%最简求解语句

[x,f]=fminunc（Fun,x0,options）%一般求解语句

fminsearch的用法与fminuc一样

options的选择

参数名

参数说明

Display

中间结果显示方式，其值可以取off表示不显示中间值，iter逐步显示，notify求解不收敛时给出提示，final只显示终值

GradObj

表示目标函数的梯度是否已知，可以选择为on或off

LargeScale

表示是否使用大规模问题算法，取值为on或off

MaxIter

方程求解和优化过程最大允许的迭代次数，若方程未求出解，可适当增加此值

MaxFunEvals

方程函数或目标函数的最大调用次数

TolFun

误差函数的误差限控制量，当函数的绝对值小于此值即终止求解

TolX

解的误差限控制量，当解的绝对值小于此值即终止求解

opt=optimset%获得默认的常用变量

opt.TolX=1e-10;%修改解的误差限控制量，或者用set（opt.'TolX',1e-10）

【例1.75】已知二元函数z=f（x,y）=（x^2-2*x）.exp（-x^2-y^2-xy）,使用MATLAB提供的求解函数求出其最小值

首先用inline语句定义目标函数：

f=inline（'（x

（1）^2-2*x

（1））*exp（-x

（1）^2-x

（2）^2-x

（1）*x

（2））','x'）;

然后给出初始值，并将求解控制变量中的Display属性设置为'iter'，这样可以显示中间的搜索结果：

x0=[0;0];ff=optimset;ff.Display='iter';

最后，可以用下面的语句求解出最优解：

x=fminsearch（f,x0,ff）

IterationFunc-countminf（x）Procedure

010

13-0.000499937initialsimplex

24-0.000499937reflect

.......

71135-0.641424contractinside

72137-0.641424contractoutside

Optimizationterminated:

thecurrentxsatisfiestheterminationcriteriausingOPTIONS.TolXof1.000000e-04

andF（X）satisfiestheconver