45n次方程式.docx
- 文档编号:6629165
- 上传时间:2023-01-08
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:66.42KB
45n次方程式.docx
《45n次方程式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《45n次方程式.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
45n次方程式
§4-5n次方程式
(甲)n次方程式的引入与解的意义
(1)由n次多项式到n次方程式
f(x)=anxn+an」xn」+•••+aix+ao是n次多项式,方程式f(x)=O称为n次(多项)方程式。
x
例如:
3X-.35=0,x2-3^54=0,(1+而)3=1.2分别是1次、2次、3次方程式
(2)方程式的根:
一个数xo若满足f(xo)=O,就称xo为方程式f(x)=O的根或解。
有时特别强调xo为复数、实数、有理数或整数,xo又称为复数根、实根、有理根或整数根。
(3)
实根的几何解释:
例如:
f(xo)=o,所以
⑴y=f(x)=x2-3x-4的图形,如右图所示:
图形与x轴相交于两点(-1,。
)、(4,o),其横坐标-1与4就是x2-3x-4=o的实根。
(2)y=g(x)=x+x+1的图形,如右图所示:
123
图形与x轴没有交点,因为y=g(x)=(x+2)+4,
所以没有任何实数x,使得g(x)=o,故g(x)=o没有实根。
方程式x2+x+仁o的解x=错误!
。
一般而言,n次多项式y=f(x)的图形是一条波浪形、平滑的连续曲线。
若该曲线和x轴相交,那么交点P(xo,f(xo))的横坐标xo必满足
xo是方程式f(x)=o的一个实根,如果该曲线与x轴没有交点,此时任何实数均
不是方程式f(x)=o的根,因此方程式f(x)=o无实根。
实系数n次方程式f(x)=0的实根「二n次函数y=f(x)的图形与x轴交于点(〉,0)
(乙)n次方程式的基本概念
讨论n次方程式,就是要处理下面三个问题:
有没有解?
有多少解?
如何找出解?
有没有解的问题:
一个实系数的n次方程式,不一定有实数解。
例如x2+仁0就没有实数解,
为此我们引进了复数,在复数系中,x2+仁0有两个复数根i及-i。
但就一般
的n次方程式,在复数系中,是不是一定有根呢?
这个存在性的问题,在
公元1799年时,德国数学家高斯(Gauss1777—1855)在他的博士论文中证明了在复数系中,n次方程式一定有根,它所讨论的方程式不限于实系数而是复数的系数,但实数亦可看作是复数,所以这个结果亦可用到实系数的n
次方程式。
我们将高斯的结果写成下列的定理:
代数基本定理:
每一个n次方程式,只要n_1,就至少有一个复数根
有了代数基本定理之后,我们不用担心是否要为了找根而要一直扩展数系,因为它告诉我们,一个复系数的n次方程式,在复数系中,一定有复数根
所以我们只要将数系扩展到复数系,就解方程式而言就足够了。
有没有公式解:
另一个存在性的问题就是n次方程式有无求公式解(将系数加减乘除开根号)的
方法?
先来看一看几个例子:
n=1时ax+b=0的解是x=--。
a
至于n=3或4的公式解,一度曾经是数学竞技斗智的焦点。
期间颇多戏剧化的情节发展。
结果三次方程式由卡丹(Carden)于1545年公布其解法于其著作
「ArsMagna」中,而据传说此解法是由Tartaglia教给Carden,并以保守此秘
密为条件,不料Carden竟然背信,将解法公布,并据为己有,可见Carden此
人为达目的不择手段。
至于四次方程式的公式解是由Carden的弟子斐拉利(Ferrari1522-1565)所提出的。
但是对于五次方程式的堡垒,却久攻不下,这个问题持续了两三百年,直到
1832年,一位法国青年Galois在其决斗前夕,在它的遗书中,这位伟大的青年数学家引进了「群」的理论,证明了:
五次及五次以上的方程式,不可能有公
式解。
从此数学家才解除了寻找公式解的恶梦。
解的个数:
一次方程式恰有一个根,二次方程式如果重根算是两个,那么二次方程式就恰有两个根。
一般而言,如果计算重根的个数,(重根算二个、三重根算三个,…)那么根
据代数基本定理以及因式定理,我们可推得以下定理:
定理:
n次方程式就恰有n个根。
(丙)多项方程式解的性质:
若z为f(x)=O的一根,则共轭虚数z亦为f(x)=O的一根。
[证明]:
[讨论]:
(a)若f(x)=O为一个3次的实系数方程式,是否一定有实根呢?
(b)若f(x)=O为一个4次的实系数方程式,是否一定有实根呢?
一般的情形:
(a)若f(x)=O为一个奇数次的实系数方程式,一定有实根。
(b)若f(x)=O为一个偶数次的实系数方程式,一定有偶数个实根。
(可能没有实根)
(2)有理根成对:
先举一个例子:
设f(x)=x4-6x3+7x2+6x-2
(a)验证2+3是有理系数f(x)=O的一个无理根。
(b)取g(x)=[x-(2+.3)][x-(2-.3)]=x2-4x+1,请问f(x)是否能被g(x)整除?
(c)请问2-3是否为f(x)=O的另一个无理根。
一般情形:
设f(x)为有理系数多项式,a,b为有理数,且b为无理数
若x=a+,b为f(x)=O之一根,则x=a—〔b亦为其根
[证明]:
[例題1]设f(x)=anxn+an/xn_1+・・・+aix+ao=O为一实系数n次方程式:
(1)若f(2-3i)=-4+5i,求f(2+3i)=?
(2)若f(-1+6i)=-5,求f(-1-6i)=?
Ans:
(1)-4-5i
(2)-5
432
[例題2]实系数方程式x-5x-2x+14x-20=0有一根1+i,贝U求方程式所有的根
Ans:
1+i,1-i,-2,5
432
[例題3]设a,b为实数,若2i-1为x+3x+(a+1)x+ax+b=O的一根,则求a,b之值
Ans:
a=7,b=5
[例題4]若a,b为有理数,若1-,2为x4+ax3-6x2+bx+1之一根求a,b之值,并解此方
程式。
Ans:
a=0,b=0;1二2,-1二一2
(練習1)f(x)为实系数多项式,已知f(3+5i)=7-2i,则f(3-5i)=?
Ans:
7+2i
(練習2)f(x)=x4-8x3+25x2-30x+8,试求f(2+i)=?
f(2-i)=?
Ans:
6i,—6i
(練習3)已知2+i为f(x)=x4「4x3+8x2「12x+15的一根,求f(x)=0所有的根。
Ans:
2_i,^-:
:
:
:
3i
(練習4)设f(x)为实系数三次多项式,且f(i)=0(i=错误!
),则函数y=f(x)的图形与
x轴有几个交点?
(A)0(B)1(C)2(D)3(E)因f(x)而异。
Ans:
(B)
(練習5)设实系数多项式f(x)=2x3+3x2+mx+n,若f(i「1)=0,则数对(m,n)=?
Ans:
(2,-2)
(練習6)设a为有理数,若2+3为x4-4x3+2x2-4x+a之一根,则a=?
Ans:
a=1
(3)根与系数的关系:
[例題5]设三次方程式ax3+bx2+cx+d=0之三根为:
」,,试求根与系数之关系:
(1)a+0+Y=
(2)x0+艮丫+Yo=(3)x艮丫=。
bcd
Ans:
⑴盲
(2)a(3)盲
432
[例題6]设四次方程式ax+bx+cx+dx+e=O之四根为:
-,■-,,.,试求根与系数的关系:
(1)四根之和,⑵任意相异两根乘积之和,⑶任意相异三根乘积之和,⑷四
bc
根之积。
Ans:
⑴-;
(2)a⑶错误!
⑷错误!
aa
[讨论]:
一般的n次方程式根与系数的关系:
(練習7)设方程式2x3+3x-5=0的三根为八>,求下列各式的值:
(a)错误!
+错误!
+错误!
(b)a2+02+,
3
Ans:
(a)5(b)-3
(練習8)已知方程式x4-x3-56x2+ax+b=O的根中,有二根的比为2:
3,而另二根
的差为1,求整数a,b之值。
Ans:
a=36,b=72O
(丁)解根的方法:
(1)整系数的n次方程式找有理根:
(a)一次因式检验定理:
设f(x)=anxn+an_1xn'+…+a1x+ao为一个整系数n次多项式,若整系数一次式
ax-b是f(x)的因式,且a,b互质,则a|an且b|ao。
(b)有理根检验定理:
设f(x)=anxn+an_1xn'+•••+a1x+ao=O为一个整系数n次方程式,
若x=b为f(x)=O之一有理根,a,b为整数且互质,则a|an且b|ao。
4321
[例題1]解方程式2x+x—21x—2x+6=0。
Ans:
3,2,-2+2,-2-2
432
[例題2]设f(x)=12x-56x+89x-56x+12=0⑴令x+g=t,将f(x)=0化为t的方程式。
513i23
(2)试解出t,再解出x。
Ans:
(1)12t2-56t+65=0
(2)t=2,石,乂二护衣
[例題3]设a,b,c为整数,且x4+ax3+bx2+cx+9=0之四根为相异之有理数,求a,b,c之值'
Ans:
a=0,b=-10,c=0
[例題4]证明:
32为无理数
(練習10)
(練習9)试求方程式f(x)=6x4+5x3+3x2—3x—2=0之有理根
解下列方程式:
32432
(1)2x+7x-7x-5=0
(2)3x+x-8x+x+3=0
(3)(x+1)(x+3)(x+5)+(x+7)+15=0
(3)x=-2,-6,-4_.6[提示:
方程式可化为
(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)+15=^=(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15=0,令y=x2+8x=(y+7)(y+15)+15=0,解y,再解x。
]
(練習11)设整系数方程式x4+3x3+bx2+cx+10=0有四个相异有理根,则其最大根
为。
Ans:
2
(練習12)设p,q为自然数,且f(x)=x5-2px4+x3-qx2+x-2有整系数一次因式,则求
p,q之值。
Ans:
p=1,q=2
(練習13)证明:
35为无理数。
(2)无理根的问题:
利用整系数一次因式检验定理,可解决有理根的问题,但是就一般的方程式而
言,要找出解,尤其是高次的方程式,通常不是一件容易的事情。
例如:
f(x)=x5+3x2-7x+2=0,由于它是整系数的5次多项式,所以一定有实根,
先考虑是否有理根,根据牛顿定理,x==1,-2逐一代入多项函数f(x)中,去看
f(x)值的变化:
x
-2
-1
1
2
f(x)
-4
11
-1
32
可以看出,f(x)=0并无有理根,因为它一定有实根,所以它的实根必为无
理根。
通常我们无法直接求出f(x)=0无理根的形式,只能求得它的近似值。
从
上面的资料我们可以掌握一些重要的讯息:
当x从-2「连续地」变化到-1时,对应的函数值f(x)也从-4「连续地」变化到11。
所以函数值f(x)在-4与11之间一定会有等于0的情形发生,换句话说,
在-2与-1之间一定有一个数:
fG)=0;同理,在-1与1之间会有一个数-,1
与2之间会有一个数分别使得fC)=0,f()=0。
推广这个概念可得以下的定理:
勘根定理:
设f(x)=O为实系数n次多项方程式,a,b是两个实数,
若f(a)f(b)<0,则在a,b之间至少有一个f(x)=O的实根。
[定理的说明]:
、、亠
注意:
从观察图形可知,当f(a)f(b)<0时,贝Ua,b之间的根必有奇数个根。
从图形的观察,当f(a)f(b)>0时,f(x)=0在a,b之间可能有根,也可能无根,但若有根一定是偶数个根。
[例題7]试问在那些连续整数之间,f(x)=12x3-8x2-23x+1仁0有实根?
Ans:
-2与-1,0与1,1与2
32
[例題8]设f(x)=x+2x~5,g(x)=2x-3,证明:
方程式f(x)g(x)=O在1与2之间至少存在一实根。
[例題9]设a是一个固定的正数,试证明:
方程式xn=a(n为自然数)恰有一正实根
32
(練習14)f(x)=12x-8x-23x+1仁0在0与1之间有一实根,试求其近似值到小数点以下第二位。
(第三位四舍五入)Ans:
0.47
(練習15)讨论方程式x3+x-5=0是否有实根?
有多少个实根?
Ans:
此方程式有一实根。
(練習16)f(x)=2x3+7x2+3x-3试证:
在0与1之间,存在一定数k使得f(k)=5k+1[Hint:
令g(x)=f(x)-(5x+1),证明g(x)=0在0与1之间有实根k]
综合练习
(1)解下列方程式:
232432
(a)x2+|2x-1|=0(b)2x3+3x2+11x+5=0(c)2x4-x3-9(+13x-5=0。
432
⑵已知方程式x-5x-2x+14x-20=0之一根为1+i,试解出此方程式其它的根。
⑶设整系数方程式x4+3x3+bx2+cx+10=0有四个相异有理根,试求b,c的值。
⑷设a,b为实数,a=0,若方程式ax3+x2+bx+仁0之一根为2+2i,试求a,b的值。
432*
⑸已知方程式x+ax+ax+11x+b=0有二根3,-2,求a,b的值及其它两根。
⑹找出方程式x4-x3-9x2+2x+12=0所有实根的位置是在那些连续整数之间。
⑺二次方程式ax2-(a-1)x-6=0有一根介于1与2之间,另一根介于-1与-2之间,求实数a之范围。
(8)设f(x)与g(x)为实系数多项式,用x2-3x+2除f(x)得余式3x-4,用x-1除g(x)得余式5,且g
(2)=-3。
(a)试求以x-1除f(x)+g(x)的余式。
(b)试证明:
f(x)g(x)=0在1与2之间有实根。
(9)设a
厂,且:
<:
比较a,b,c,〉「的大小。
(10)设f(x)=x°-3x3-16x2+3x+35,试问y=f(x)的图形在下面那个范围中与x轴有交点?
(A)-1vx<0(B)0vx<1(C)1 (11)方程式2x3-3x2+19x-60=0的根,符合下列那些情形? (A)有一根介于-3与-4之间(B)有一根介于2与3之间(C)有3个实根(D)恰有一个有理根(E)有两个无理根。 (12)已知实系数四次多项函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e,若f(x)值之正负如下表: 且f(£+2i)=0。 x 小 于-4 -3 -2 -1 0 f(x)值 — — — — + 下面那些结论是正确的? (A)-3,-2之间有实根(B)-1,0之间恰有一个实根 (C)f(x)=0有四个实根(D)f(x)=0恰有一正根(E)-3-2i为f(x)=0的根。 (13)y=f(x)为一多项函数,若f(0)>0,f (1)<1,试证在0,1之间存在一实数c,使得f(c)=c2。 (14)已知方程式x4-4x3-34x2+ax+b=0之四根成等差数列,试求a,b的值及四个根。 (15)已知方程式x4+3x3+x2-5x-12=0,其中有两根之乘积为-4,试解此方程式。 (16)解下列方程式: 432 (a)x-4x+x+4x+1=0 进阶问题 x2+2x2+4x+152,"口 (b)+^2+T=2(c)2x—6x-5错误! =5 (17)证明存在一正实数r,使得r4+2r+1=2 (18)设二多项式f(x)与g(x),对于二相异实数a,b有下列关系f(a) 在a,b之间存在一个实数c使得f(c)=g(c)。 abc=2 (19)设a,b,c满足《ab+bc+ca=-5,求以a,b,c为三根的三次方程式,并解出a,b,c abc=-6 432 (20)令f(x)=x-4x+11x—14X+10,并设: -,-,,: 是方程式f(x)=0的四根。 (a)试求以«_1^_17_1,d-1为四根的四次方程式g(x)=0。 (b)先求g(x)=0的四根,再求f(x)=0的四根。 综合练习解答 (1)(a)-1+5,1-.3(b)错误! ,错误! (c)1,1,1,错误! (2)1-i,5,-2(3)b=-11, c=-3(4)a=错误! ,b=错误!
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 45 次方 程式