专题勾股定理与特殊角.docx
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专题勾股定理与特殊角
专题勾股定理与特殊角
方法归纳:
解决非直角三角形的求值问题时,一般要做垂线构造含特殊角的直
角三角形来处理。
一、直接运用300或45°的直角三角形
1、如图,△ABC中,/C=90,/B=30°,人。
是厶ABC的角平分线,若AC=3,求AD的长.
2、如图,△ABC中,/ACB=90,CD丄AB于D,ZA=30,CD=2求AB的长.
3、如图,△ABC中,AD丄BC于D,ZB=60°,/C=45,AC=2求BD的长
、作垂线构造300或45°的直角三角形
(一)将1050转化为450和600
(二)将75°转化为45°和300
5、如图,在△ABC中,/ACB=75,/B=60°,BC=2、3,求Sxabc
&如图,在△ABC中,/B=45,/BAC=75,AB=6,求BC的长.
专题运用勾股定理列方程
方法归纳:
运用勾股定理列方程是数形结合思想的体现
一、直接用勾股定理列方程
1、女口图,在△ABC中,/C=90,AD平分/CAB交CB于D,CD=3BD=5求
AD的长.
的长.
求AD的长.
求AC的长
、巧用“连环勾”列方程
3、如图,在△ABC中,AB=5BC=7AC=4^2,求Saabc.
4、如图,△ABC中,/ACB=90,CDLAB于D,AC=3BC=4
5、如图,△ABC中,/ACB=90,CDLAB于D,AD=1,BD=4
专题勾股定理与折叠问题
方法归纳:
抠住折叠前后的对应线段、对应角相等,将有关线段转化到直角三角形中用勾股定理来解决。
一、折叠三角形
1、如图,在△ABC中,/A=90°,点D为AB上一点,沿CD折叠△ABC点A恰好落在BC边上的A处,AB=4AC=3求BD的长.
二、折叠长方形
2、如图,长方形ABCD中,AB=4BC=5F为CD上一点,将长方形沿折痕AF
折叠,点D恰好落在BC上的点E处,求CF的长
3、如图,长方形ABCD中,AD=8cmAB=4cm沿EF折叠,使点D与点B重合,
点C与C'重合.
(1)求DE的长
(2)求折痕EF的长.
4、如图,长方形ABCD中,AB=6AD=8沿BD折叠使A到A处DA交BC于
F点.
(1)求证:
FB=FD
(2)求证:
CA//BD
(3)求△DBF的面积
三、折叠正方形
5、如图,正方形ABC冲,点E在边CD上,将△ADE沿AE对折至△AFE延长
EF交边BC于点G,G为BC的中点,连结AGCF.
(1)
求证:
AG//CF
专题勾股定理与分类讨论
方法归纳:
在涉及到等腰三角形、直角三角形及三角形面积、高等问题时往往需要分类讨论
、锐角和钝角不明时需分类讨论
1、在厶ABC中,AB=AC=5Saabc二,求BC的长
2、在厶ABC中,AB=15AC=13AD^AABC的高,且AD=12求BC
二、腰和底不明时需分类讨论
3、如图1,△ABC中,/ACB=90,AC=6BC=8点D为射线AC上一点,且
△ABD是等腰三角形,求△ABD的周长.
三、直角边和斜边不明时需分类讨论
4、已知直角三角形两边分别为2和3,则第三边的长为
5、在厶ABC中,/ACB=90,AC=4BC=2以AB为边向外作等腰直角三角形
ABD求CD的长
专题利用勾股定理逆定理证垂直
方法归纳:
证垂直的方法较多,用勾股定理的逆定理证垂直可实现由数向形的
转化
1、如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,且AB=1QBD=6AD=8AC=17
其求CD的长.
2、如图,在四边形ABC冲,/B=90o,AB=2BC=5,CD=5AD=4求S四边形abcd
3、如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,AB=5,AC=13,AD=6求BC的长.
4、已知△ABC中,CA=CB,/ACBa,点PABC内一点,将CP绕点C顺时
针旋转a得到CD连AD.
(1)如图1,当a=60°,PA=10,PB=6,PC=8时,求/BPC的度数
(2)如图2,当a=90°,PA=3PB=1,PC=2时,求/BPC的度数
专题a.2b问题的证明
方法归纳:
将a,b转化成某等腰三角形的斜边与直角边是解此类问题的关键。
一、直接以a,b为边构造等腰直角三角形
1、如图,OA=OBOC=OD/AOBMCOD=90,MN分别为ACBD的中点,连MNON求证:
MINTON.
2、已知△ABC中,AB=ACZBAC=90,D为BC的中点,AE=CF连DEEF.
(1)如图1,若E、F分别在ABAC上,求证:
EF=2DE
(2)如图2,若E、F分别在BAAC的延长线上,则
(1)中的结论是否仍成立?
请说明理由.
二、利用等线段代换构造等腰直角三角形
3、如图,△ABD中,O为AB的中点,C为DO延长线上一点,/ACO=135,
/ODB=45探究ODOCAC之间相等的数量关系.
4、如图,△ABD是等腰直角△,/BAD=90,BC//AD,BC=2ABCE平分/BCD交AB于E,交BD于H.
求证:
(1)DC=2DA
(2)BE=2DH
专题ab\2c或、■,3c问题的证明
方法归纳:
将ab坛转化为a.2b的问题,再转化到300或45°的等腰直
角三角形中去解决此类问题。
1、如图1,△ABC中,CA=CB/ACB=90,D为AB的中点,MN分别为ACBC上一点,且DM_DN.
(1)求证:
CM+CN=BD
(2)如图2,若MN分别在ACCB的延长线上,探究CMCNBD之间的数量关系式
2、已知/BCDa,ZBAD甲,CB=CD.
(1)如图1,若a*=90°,求证:
AB+AD=AC
(2)如图2,若a=B=90°,求证:
AB-AD=AC
(3)如图3,若a=120°,B=60°,求证:
AB=AD=AC
(4)如图3,若a=B=120°,求证:
AB-AD=AC
专题勾股定理综合
(一)纯几何问题方法归纳:
将研究的线段转化到一个直角三角形中去,是解决与勾股定理有关的综合题的关键。
1、已知,在Rt△ABC中,ZC=90,D是AB的中点,/EDF=90°,DE交射线AC于E,DF交射线CB于F.
2、已知AOMN为等腰直角△,/MON=90,点B为NM延长线上一点,OCLOB且OC=OB.
(1)如图1,连CN求证:
CN=BM;
(2)如图2,作/BOC勺平分线交MNTA,求证:
AN+BM=AB
(3)如图3,在⑵的条件下,过A作AELON于E,过B作BF丄OMTF,EABF的延长线交于P,请探究AE?
、BF2、AF2之间的数量关系式.
专题勾股定理综合
(二)与代数有关结合
方法归纳:
在坐标系中研究勾股定理的应用,充分体现数形结合的思想
1、已知点A的坐标为(1,-3),/OAB=90,OA=OB.
(1)如图1,求点B的坐标;
(2)如图2,ADLy轴于D,M为OB的中点,求DM的长;
(1)如图1,当AC=BC寸,EF123、AU、BF2之间的数量关系为(直接
写出结果);
(2)如图2,当AOBC时,试确定EF、AE、BF2之间的数量关系,并加以证明;
(3)如图3,当AOBC时,⑵中结论是否仍成立?
2、已知点A、B分别在x轴、y轴上,OA=OB点C为AB的中点,AB=12.
(1)如图1,求点C的坐标
(2)如图2,E、F分别为OA上的动点,且/ECF=45,求证:
EF^OE+AF2
(3)在图2中,若点E的坐标为(3,0),求CF的长
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