最新DOC高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结1+1优秀名师资料.docx
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最新DOC高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结1+1优秀名师资料
DOC-高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]
(1)
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]
(1)
圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义:
第一定义中要重视“括号”内的限制条件:
椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a,|F1F2|不可忽视。
若2a,|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a,|F1F2|,则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如
8表示的曲线是_____(答:
双曲线的左支)
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
abab
方程Ax2,By2C表示椭圆的充要条件是什么,(ABC?
0,且A,B,C同号,A?
B)。
(1)椭圆:
焦点在x轴上时
x
22
y
22
(ab0),焦点在y轴上时1
y
22
x
22
1(ab0)。
若x,yR,且3x2,2y26,则x,y的最大值是____,x2,y2的最小值是___
2)。
方程,2=1,焦点在y轴上:
2,2,1(a0,b0)2
abab
22
。
Ax,ByC表示双曲线的充要条件是什么,(ABC?
0,且A,B异号)
如设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e则C的方程为_______(答:
x2,y26)
(3)抛物线:
开口向右时y22px(p0),开口向左时y2,2px(p0),开口向上时
x2py(p0),开口向下时x,2py(p0)。
2
2
(2)双曲线:
焦点在x轴上:
x
2
y
2
y
2
x
2
2的双曲线C过点P(4,,),
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:
由x2,y2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程
x
2
m,1
y
2
2,m
1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:
3
(,,,1)(1,))
2
(2)双曲线:
由x
2
y
2
项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:
焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
222222
提醒:
在椭圆中,a最大,ab,c,在双曲线中,c最大,ca,b。
4.圆锥曲线的几何性质:
21(ab0)为例):
?
范围:
axa,,byb;?
焦点:
两2ab
个焦点(c,0);?
对称性:
两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),四个顶点(a,0),(0,b),
(1)椭圆(以
x
2
y
2
其中长轴长为2a,短轴长为2b;?
准线:
两条准线xe越小,椭圆越
圆;e越大,椭圆越扁。
a
2
c
;?
离心率:
e
ca
,椭圆0e1,
如
(1)若椭圆
x
2
3
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,
则椭圆长轴的最小值为
5
m
5
y
2
1的离心率e
,则m的值是__(答:
3或
25
);
__(答:
22)
ab
两个焦点(c,0);?
对称性:
两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其
2
2
(2)双曲线(以
x2
y2
:
?
范围:
x,a或xa,yR;?
焦点:
1(a0,b0)为例)
中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为x,yk,k0;?
准线:
两条准线x
2
2
a
2
c
;?
离心率:
e
ca
,双曲线e1
bax。
p
ee越小,开口越小,e越大,开口越大;?
两条渐近线:
y
(3)抛物线(以y22px(p0)为例):
?
范围:
x0,yR;?
焦点:
一个焦点(
0),其中p
2
的几何意义是:
焦点到准线的距离;?
对称性:
一条对称轴y0,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);
?
准线:
一条准线x,
p2
;?
离心率:
e
ca
,抛物线e1。
116a
如设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为________(答:
(0,5、点P(x0,y0)和椭圆
xa
22
;))
x0a
22
yb
22
(1)点P(x0,y0)在椭圆外1(ab0)的关系:
x0a
22
y0b
2
2
1;
(2)点P(x0,y0)在椭圆上
y0b
2
2
1;(3)点P(x0,y0)在椭圆内
x0a
22
y0b
2
2
1
6(直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:
0直线与椭圆相交;0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有
0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。
(2)相切:
0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;
0直线与抛物线相切;
(3)相离:
0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;
0直线与抛物线相离。
提醒:
(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:
相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;
(2)过双曲线
x
22
ab
公共点的情况如下:
?
P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;?
P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;?
P在两条渐近线上但非原点,只有两条:
一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;?
P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:
两条切线和一条平行于对称轴的直线。
y
22
1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个
7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:
Sb2tan当|y0|b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc;对于双曲线S
btan
2
2
c|y0|,
。
如
(1)短轴长为5,
28、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:
(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;
(2)设AB为焦点弦,M为准线与x轴的交点,则?
AMF,?
BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,则PA?
PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,
反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。
9、弦长公式:
若直线ykx,b与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1,x2分别为A、B的横坐标,则AB
1,x2,若y1,y2分别为A、B的纵坐标,则AB,,
1k
2
y1,y2,若弦AB所在直线
方程设为xky,b,则AB
1,y2。
特别地,焦点弦(过焦点的弦):
焦点弦的弦长的计
算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。
抛物线:
10、圆锥曲线的中点弦问题:
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆
xa
22
yb
22
1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=,
bx0ay0
2
2
;
弦所在直线的方程:
垂直平分线的方程:
222
bx0xy
在双曲线2,21中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛
物线
ay0ab
P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=y2px(p0中,以)
2
py0
。
提醒:
因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有
关弦长、对称问题时,务必别
忘了检验0~
11(了解下列结论
(1)双曲线
xa
22
yb
22
1的渐近线方程为
xa
2222
,
yb
2222
0;
1共渐近线)的双曲线方程为
xa
22
(2)以y参数,?
0)。
ba
x为渐近线(即与双曲线
xa
yb
yb
22
(
为
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2,ny21;(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为离)为
,抛物线的通径为2p,焦准距为p;c
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;
(6)若抛物线y22px(p0)的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则?
|AB|x1,x2,p;?
x1x2
p
2
2ba
2
,焦准距(焦点到相应准线的距
b
2
4
y1y2,p
2
(7)若OA、OB是过抛物线y22px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)
12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:
(1)给出直线的方向向量u,1,k,或u,m,n,;
(2)给出OA,OB与AB相交,等于已知OA,OB过AB的中点;
PM,PN0(3)给出,等于已知P是MN的中点;
(5)给出以下情形之一:
?
AB//AC;?
存在实数,使ABAC;?
若存在实数
,且,1使,OCOA,OB,等于已知A,B,C三点共线.
等于已知P,Q与AB的中点三点共线;(4)给出AP,AQBP,BQ,
,
(6)给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出MAMBm0,等于已知AMB是钝角,给出MAMBm0,等于已知AMB是锐角,
(8)
给出,MP,等于已知MP是AMB的平分线/
(9)在平行四边形ABCD中,给出(AB,AD)(AB,AD)0,等于已知ABCD是菱形;
|AB,AD||AB,AD|,等于已知ABCD是矩形;(10)在平行四边形ABCD中,给出
2
2
2
(11)在ABC中,给出OAOBOC,等于已知O是ABC的外心(三角形外接圆的圆
心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);(12)在ABC中,给出OA,OB,OC0,等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);(13)在ABC中,给出
OAOBOBOCOCOA,等于已知O是ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);
ABAC
(14)在ABC中,给出OPOA,(,)(R,)等于已知AP通过
ABC的内
|AB||AC|
心;
(15)在ABC中,给出aOA,bOB,cOC0,等于已知O是ABC的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);
1
(16)在ABC中,给出ADAB,AC,等于已知AD是ABC中BC边的中线;
2
2
(3)已知A,B为抛物线x=2py(p>0)上异于原点的两点,OAOB0,点C坐标为(0,2p)
(1)求证:
A,B,C三点共线;
(2)若AM,BM(R)且OMAB0试求点M的轨迹方程。
22x1x2
(1)证明:
设A(x1,),B(x2,),由OAOB0得
2p2p
22222x1x2x1x2,x12
x1x2,0,x1x2,4p,又AC(,x1,2p,),AB(x2,x1,)
2p2p2p2p222x2,x1x1
x1,(2p,)(x2,x1)0,AC//AB,即A,B,C三点共线。
2p2p
(2)由
(1)知直线AB过定点C,又由OMAB0及AM,BM(R)知OMAB,垂
222
足为M,所以点M的轨迹为以OC为直径的圆,除去坐标原点。
即点M的轨迹方程为x+(y-p)=p(x0,y0)。
13.圆锥曲线中线段的最值问题:
,
例1、
(1)抛物线C:
y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________
(2)抛物线C:
y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,分析:
(1)A在抛物线外,如图,连PF,则PHPF,当A、P、F三点共线时,距离和最小。
(2)B在抛物线内,如图,作QR?
l交于R,则当B、Q、R时,距离和最小。
解:
(1)(2,2)
(2)(
x
2
14
1)
1、已知椭圆C1的方程为
4
y
2
1,双曲线C2的左、右焦点分别为C1顶点分别是C1的左、右焦点。
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:
ykx,
2与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A
和B满足OAOB6(其中O为原点),求k的取值范围。
解:
(?
)设双曲线C2
x
2
的方程为x
a
22
yb
22
1,则a
2
4,13,再由a,b
2
22
c得b
22
1.
故C2的方程为
3
(II)将ykx,,y1.
2
2代入
x
4
y
2
1得(1,4k)x,82kx,40.
22
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
1(82)k
2
2
16(1,4k)16(4k
22
1)0,即k
2
14
.?
将ykx,2代入
x
2
3
y
2
1得(1,3k)x,62kx,90.由直线l与双曲线C2恒有两个不
22
2
11,3k0,22
即k且
k1.同的交点A,B
得
222
3(,),36(1,3k)36(1,k)0.2
设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA,xB
由OAOB6得xAxB,yAyB6,而xAxB,yAyBxAxB,(kxA,
1,3k
2
xAxB
91,3k
2
kxB,
(k,1)xAxB,
2
(xA,xB),2
2
(k2,1)
3k,73k,1
222
91,3k
1,3k
2
2
.
于是
3k,73k,1
2
2
6,即
15k,133k,1
14k
2
2
0.解此不等式得k
13
1315
2
1315
或k
2
13
.?
由?
、?
、?
得或k
2
1.
故k
的取值范围为(,1,(,
3
,
1
1)(,223在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足MB//OA,MA•AB=MB•BA,M点的轨迹为曲线C。
(?
)求C的方程;(?
)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。
(?
)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=(-x,-1-y),MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).再
由愿意得知(MA+MB)•AB=0,即(-x,-4-2y)•(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=以l的斜率为
12
14
x2-2.(?
)设P(x0,y0)为曲线C:
y=
12
14
x2-2上一点,因为y'=
2
12
x,所
x0因此直线l的方程为y,y0x0(x,x0),即x0x,2y,2y0,x0。
1
则O点到l
的距离d
2又y0
14
2
x0,
2,所以dx0,42
12
2,
当x02=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2.
xa
22
设双曲线,
yb
22
1(a,0,b,0)的渐近线与抛物线y=x+1相切,则该双曲线的离心率等
于()
2
设双曲线
xa
22
22
yb
22
22
1的一条渐近线,则双曲线的离心率为().
过椭圆
xa
yb
1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若
F1PF260,则椭圆的离心率为
已知双曲线
x
2
2
yb
22
1(b0)的左、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为yx,点
P(3,y0)在双曲线上.则PF1?
PF2,()0
2
已知直线yk,x,2,,k0,与抛物线C:
y8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若
k()|FA|2|FB,则|
2
已知直线l1:
4x,3y,60和直线l2:
x,1,抛物线y4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之
和的最小值是()
设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点。
若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_____________.
椭圆
x
2
9
y
2
2
1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|4,则|PF2|;F1PF2
的大
小为.
过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、
B两点,若线段AB的长为8,则p________________【解析】设切点
P(x0,y0),则切线的斜率为
y|xx02x0
'
.由题意有
y0x0
2x0又y0x0,1解得
:
2
x01,
2
ba
2,e
双曲线
xa
22
yb
22
byxb2
消去y,得1的一条渐近线为yx,由方程组x,x,10有唯一解,所
以?
a
aayx2,1
b
=(
ba
),40,所以
2
ba
2,e
ca
a
2
由渐近线方程为yx知双曲线是等轴双曲线,?
双曲线方程是x
2
y
2
2,于是两焦点坐标分别是(,2,0)和
(2,0),且P(3,1)或P(3,,1).不妨去P(3,1),则
PF1(,2,
?
3,,1),PF2(2,PF1
?
3,,1).
PF2
3)(2,
3),10
(,2,3,,1)(2,3,,1),(2,
2
【解析】设抛物线C:
y8x的准线为l:
x,2直线
yk,x,2,,k0,恒过定点P,,2,0,.如图过A、B分别作
AMl于M
④最值:
若a>0,则当x=时,;若a<0,则当x=时,,BNl于N
由|FA|2|FB|,则
3.确定二次函数的表达式:
(待定系数法)|AM|2|BN|,点B为AP的中点.连结OB,则|OB|
|OB||BF|点B的横坐标为1,故点B的坐标为
12
|AF|,
一年级有学生人,通过师生一学期的共同努力,绝大部分部分上课能够专心听讲,积极思考并回答老师提出的问题,下课能够按要求完成作业,具有一定基础的学习习惯,但是也有一部分学生的学习习惯较差,学生上课纪律松懈,精力不集中,思想经常开小差,喜欢随意讲话,作业不能及时完成,经常拖拉作业,以致学习成绩较差,还需要在新学期里多和家长取得联系,共同做好这部分学生行为习惯的培养工作。
(1,k
7.同角的三角函数间的关系:
01,(,2)
3
(1)二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应一,故选D
2y14x1
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
A,x1,y1,,B,x2,y2,,则有x1x2,2
y24x2
两式相减得,y1,y24,x1,x2,,
圆内接四边形的性质:
圆内接四边形的对角互补;2
2
在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有y1,y2x1,x2
4y1,y2
3、学习并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法,并能正确计算;能根据具体问题,估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题,感受加减法与日常生活的密切联系。
1
推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等。
直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
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