经典例题剖析一次函数.docx
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经典例题剖析一次函数
第十一章一次函数复习课
知识点1一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量),特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如:
y=2x+3,y=-x+2,y=
x等都是一次函数,y=
x,y=-x都是正比例函数.
【说明】
(1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.
(2)一次函数y=kx+b(k,b为常数,b≠0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量x的次数为1,一次项系数k必须是不为零的常数,b可为任意常数.
(3)当b=0,k≠0时,y=kx仍是一次函数.
(4)当b=0,k=0时,它不是一次函数.
知识点2函数的图象
把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.画函数图象一般分为三步:
列表、描点、连线.
知识点3一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象是一条直线,所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
由于两点确定一条直线,因此在今后作一次函数图象时,只要描出适合关系式的两点,再连成直线即可,一般选取两个特殊点:
直线与y轴的交点(0,b),直线与x轴的交点(-
,0).但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时,只要描出点(0,0),(1,k)即可.
知识点4一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的性质
(1)k的正负决定直线的倾斜方向;
①k>0时,y的值随x值的增大而增大;
②k﹤O时,y的值随x值的增大而减小.
(2)|k|大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x轴相交的锐角度数越大(直线陡),|k|越小,直线与x轴相交的锐角度数越小(直线缓);
(3)b的正、负决定直线与y轴交点的位置;
①当b>0时,直线与y轴交于正半轴上;
②当b<0时,直线与y轴交于负半轴上;
③当b=0时,直线经过原点,是正比例函数.
(4)由于k,b的符号不同,直线所经过的象限也不同;
①如图11-18(l)所示,当k>0,b>0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);
②如图11-18
(2)所示,当k>0,b﹥O时,直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限);
③如图11-18(3)所示,当k﹤O,b>0时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);
④如图11-18(4)所示,当k﹤O,b﹤O时,直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限).
(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小,k相同,说明这两个锐角的大小相等,且它们是同位角,因此,它们是平行的.另外,从平移的角度也可以分析,例如:
直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的.
知识点3正比例函数y=kx(k≠0)的性质
(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点;
(2)当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(3)当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
知识点4点P(x0,y0)与直线y=kx+b的图象的关系
(1)如果点P(x0,y0)在直线y=kx+b的图象上,那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b;
(2)如果x0,y0是满足函数解析式的一对对应值,那么以x0,y0为坐标的点P(1,2)必在函数的图象上.
例如:
点P(1,2)满足直线y=x+1,即x=1时,y=2,则点P(1,2)在直线y=x+l的图象上;点P′(2,1)不满足解析式y=x+1,因为当x=2时,y=3,所以点P′(2,1)不在直线y=x+l的图象上.
知识点5确定正比例函数及一次函数表达式的条件
(1)由于正比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k,故只需一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值.
(2)由于一次函数y=kx+b(k≠0)中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点或两对x,y的值.
知识点6待定系数法
先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数),再根据条件列出方程(或方程组),求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如:
函数y=kx+b中,k,b就是待定系数.
知识点7用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
(1)设函数表达式为y=kx+b;
(2)将已知点的坐标代入函数表达式,解方程(组);
(3)求出k与b的值,得到函数表达式.
例如:
已知一次函数的图象经过点(2,1)和(-1,-3)求此一次函数的关系式.
解:
设一次函数的关系式为y=kx+b(k≠0),
由题意可知,
解
∴此函数的关系式为y=
.
【说明】本题是用待定系数法求一次函数的关系式,具体步骤如下:
第一步,设(根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b,其中k,b是未知的常量,且k≠0);第二步,代(根据题目中的已知条件,列出方程(或方程组),解这个方程(或方程组),求出待定系数k,b);第三步,求(把求得的k,b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中);第四步,写(写出函数关系式).
思想方法小结
(1)函数方法.
函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系,抽象、升华为函数的模型,进而解决有关问题的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,灵活运用函数方法可以解决许多数学问题.
(2)数形结合法.
数形结合法是指将数与形结合,分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合法在解决与函数有关的问题时,能起到事半功倍的作用.
知识规律小结
(1)常数k,b对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响.
①当b>0时,直线与y轴的正半轴相交;
当b=0时,直线经过原点;
当b﹤0时,直线与y轴的负半轴相交.
②当k,b异号时,即-
>0时,直线与x轴正半轴相交;
当b=0时,即-
=0时,直线经过原点;
当k,b同号时,即-
﹤0时,直线与x轴负半轴相交.
③当k>O,b>O时,图象经过第一、二、三象限;
当k>0,b=0时,图象经过第一、三象限;
当b>O,b<O时,图象经过第一、三、四象限;
当k﹤O,b>0时,图象经过第一、二、四象限;
当k﹤O,b=0时,图象经过第二、四象限;
当b<O,b<O时,图象经过第二、三、四象限.
(2)直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系.
直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)
当b>0时,把直线y=kx向上平移b个单位,可得直线y=kx+b;
当b﹤O时,把直线y=kx向下平移|b|个单位,可得直线y=kx+b.
(3)直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2(k1≠0,k2≠0)的位置关系.
①k1≠k2
y1与y2相交;
②
y1与y2相交于y轴上同一点(0,b1)或(0,b2);
③
y1与y2平行;
④
y1与y2重合.
典例剖析
基本概念题
本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系,以及构成一次函数及正比例函数的条件.
例1下列函数中,哪些是一次函数?
哪些是正比例函数?
(1)y=-
x;
(2)y=-
;(3)y=-3-5x;
(4)y=-5x2;(5)y=6x-
(6)y=x(x-4)-x2.
[分析]本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解.
解:
(1)(3)(5)(6)是一次函数,(l)(6)是正比例函数.
例2当m为何值时,函数y=-(m-2)x
+(m-4)是一次函数?
[分析]某函数是一次函数,除应符合y=kx+b外,还要注意条件k≠0.
解:
∵函数y=(m-2)x
+(m-4)是一次函数,
∴
∴m=-2.
∴当m=-2时,函数y=(m-2)x
+(m-4)是一次函数.
小结某函数是一次函数应满足的条件是:
一次项(或自变量)的指数为1,系数不为0.而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件:
常数项为0.
基础知识应用题
本节基础知识的应用主要包括:
(1)会确定函数关系式及求函数值;
(2)会画一次函数(正比例函数)图象及根据图象收集相关的信息;(3)利用一次函数的图象和性质解决实际问题;(4)利用待定系数法求函数的表达式.
例3一根弹簧长15cm,它所挂物体的质量不能超过18kg,并且每挂1kg的物体,弹簧就伸长0.5cm,写出挂上物体后,弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并判断y是否是x的一次函数.
[分析]
(1)弹簧每挂1kg的物体后,伸长0.5cm,则挂xkg的物体后,弹簧的长度y为(l5+0.5x)cm,即y=15+0.5x.
(2)自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的x的值,即0≤x≤18.
(3)由y=15+0.5x可知,y是x的一次函数.
解:
(l)y=15+0.5x.
(2)自变量x的取值范围是0≤x≤18.
(3)y是x的一次函数.
学生做一做乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米,火车从乌鲁木齐出发,其平均速度为58千米/时,则火车离库尔勒的距离s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系式是.
老师评一评研究本题可采用线段图示法,如图11-19所示.
火车从乌鲁木齐出发,t小时所走路程为58t千米,此时,距离库尔勒的距离为s千米,故有58t+s=600,所以,s=600-58t.
例4某物体从上午7时至下午4时的温度M(℃)是时间t(时)的函数:
M=t2-5t+100(其中t=0表示中午12时,t=1表示下午1时),则上午10时此物体的温度为℃.
[分析]本题给出了函数关系式,欲求函数值,但没有直接给出t的具体值.从题中可以知道,t=0表示中午12时,t=1表示下午1时,则上午10时应表示成t=-2,当t=-2时,M=(-2)3-5×(-2)+100=102(℃).
答案:
102
例5已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=4时,求y的值;
(3)当y=4时,求x的值.
[分析]由y-3与x成正比例,则可设y-3=kx,由x=2,y=7,可求出k,则可以写出关系式.
解:
(1)由于y-3与x成正比例,所以设y-3=kx.
把x=2,y=7代入y-3=kx中,得
7-3=2k,
∴k=2.
∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x,即y=2x+3.
(2)当x=4时,y=2×4+3=11.
(3)当y=4时,4=2x+3,∴x=
.
学生做一做已知y与x+1成正比例,当x=5时,y=12,则y关于x的函数关系式是.
老师评一评由y与x+1成正比例,可设y与x的函数关系式为y=k(x+1).
再把x=5,y=12代入,求出k的值,即可得出y关于x的函数关系式.
设y关于x的函数关系式为y=k(x+1).
∵当x=5时,y=12,
∴12=(5+1)k,∴k=2.
∴y关于x的函数关系式为y=2x+2.
【注意】y与x+1成正比例,表示y=k(x+1),不要误认为y=kx+1.
例6若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1﹤x2时,y1>y2,则m的取值范围是()
A.m﹤OB.m>0
C.m﹤
D.m>M
[分析]本题考查正比例函数的图象和性质,因为当x1<x2时,y1>y2,说明y随x的增大而减小,所以1-2m﹤O,∴m>
,故正确答案为D项.
学生做一做某校办工厂现在的年产值是15万元,计划今后每年增加2万元.
(1)写出年产值y(万元)与年数x(年)之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;
(3)求5年后的产值.
老师评一评
(1)年产值y(万元)与年数x(年)之间的函数关系式为y=15+2x.
(2)画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x≥0,因此,函数y=15+2x的图象应为一条射线.
画函数y=12+5x的图象如图11-21所示.
(3)当x=5时,y=15+2×5=25(万元)
∴5年后的产值是25万元.
例7已知一次函数y=kx+b的图象如图11-22所示,求函数表达式.
[分析]从图象上可以看出,它与x轴交于点(-1,0),与y轴交于点(0,-3),代入关系式中,求出k为即可.
解:
由图象可知,图象经过点(-1,0)和(0,-3)两点,
代入到y=kx+b中,得
∴
∴此函数的表达式为y=-3x-3.
例8求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式.
[分析]图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2,则可设此表达式为y=2x+b,再将点(2,-1)代入,求出b即可.
解:
由题意可设所求函数表达式为y=2x+b,
∴图象经过点(2,-1),
∴-l=2×2+b.
∴b=-5,
∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.
综合应用题
本节知识的综合应用包括:
(1)与方程知识的综合应用;
(2)与不等式知识的综合应用;(3)与实际生活相联系,通过函数解决生活中的实际问题.
例8已知y+a与x+b(a,b为是常数)成正比例.
(1)y是x的一次函数吗?
请说明理由;
(2)在什么条件下,y是x的正比例函数?
[分析]判断某函数是一次函数,只要符合y=kx+b(k,b中为常数,且k≠0)即可;判断某函数是正比例函数,只要符合y=kx(k为常数,且k≠0)即可.
解:
(1)y是x的一次函数.
∵y+a与x+b是正比例函数,
∴设y+a=k(x+b)(k为常数,且k≠0)
整理得y=kx+(kb-a).
∵k≠0,k,a,b为常数,
∴y=kx+(kb-a)是一次函数.
(2)当kb-a=0,即a=kb时,
y是x的正比例函数.
例9某移动通讯公司开设了两种通讯业务:
“全球通”使用者先交50元月租费,然后每通话1分,再付电话费0.4元;“神州行”使用者不交月租费,每通话1分,付话费0.6元(均指市内通话)若1个月内通话x分,两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元.
(1)写出y1,y2与x之间的关系;
(2)一个月内通话多少分时,两种通讯方式的费用相同?
(3)某人预计一个月内使用话费200元,则选择哪种通讯方式较合算?
[分析]这是一道实际生活中的应用题,解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算,方可得出正确结论.
解:
(1)y1=50+0.4x(其中x≥0,且x是整数)
y2=0.6x(其中x≥0,且x是整数)
(2)∵两种通讯费用相同,
∴y1=y2,
即50+0.4x=0.6x.
∴x=250.
∴一个月内通话250分时,两种通讯方式的费用相同.
(3)当y1=200时,有200=50+0.4x,
∴x=375(分).
∴“全球通”可通话375分.
当y2=200时,有200=0.6x,
∴x=333
(分).
∴“神州行”可通话333
分.
∵375>333
,
∴选择“全球通”较合算.
例10已知y+2与x成正比例,且x=-2时,y=0.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;
(3)观察图象,当x取何值时,y≥0?
(4)若点(m,6)在该函数的图象上,求m的值;
(5)设点P在y轴负半轴上,
(2)中的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且S△ABP=4,求P点的坐标.
[分析]由已知y+2与x成正比例,可设y+2=kx,把x=-2,y=0代入,可求出k,这样即可得到y与x之间的函数关系式,再根据函数图象及其性质进行分析,点(m,6)在该函数的图象上,把x=m,y=6代入即可求出m的值.
解:
(1)∵y+2与x成正比例,
∴设y+2=kx(k是常数,且k≠0)
∵当x=-2时,y=0.
∴0+2=k·(-2),∴k=-1.
∴函数关系式为x+2=-x,
即y=-x-2.
(2)列表;
x
0
-2
y
-2
0
描点、连线,图象如图11-23所示.
(3)由函数图象可知,当x≤-2时,y≥0.
∴当x≤-2时,y≥0.
(4)∵点(m,6)在该函数的图象上,
∴6=-m-2,
∴m=-8.
(5)函数y=-x-2分别交x轴、y轴于A,B两点,
∴A(-2,0),B(0,-2).
∵S△ABP=
·|AP|·|OA|=4,
∴|BP|=
.
∴点P与点B的距离为4.
又∵B点坐标为(0,-2),且P在y轴负半轴上,
∴P点坐标为(0,-6).
例11已知一次函数y=(3-k)x-2k2+18.
(1)k为何值时,它的图象经过原点?
(2)k为何值时,它的图象经过点(0,-2)?
(3)k为何值时,它的图象平行于直线y=-x?
(4)k为何值时,y随x的增大而减小?
[分析]函数图象经过某点,说明该点坐标适合方程;图象与y轴的交点在y轴上方,说明常数项b>O;两函数图象平行,说明一次项系数相等;y随x的增大而减小,说明一次项系数小于0.
解:
(1)图象经过原点,则它是正比例函数.
∴
∴k=-2.
∴当k=-3时,它的图象经过原点.
(2)该一次函数的图象经过点(0,-2).
∴-2=-2k2+18,且3-k≠0,
∴k=±
∴当k=±
时,它的图象经过点(0,-2)
(3)函数图象平行于直线y=-x,
∴3-k=-1,
∴k=4.
∴当k=4时,它的图象平行于直线x=-x.
(4)∵随x的增大而减小,
∴3-k﹤O.
∴k>3.
∴当k>3时,y随x的增大而减小.
例12判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一条直线上.
[分析]由于两点确定一条直线,故选取其中两点,求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中,若成立,说明在此直线上;若不成立,说明不在此直线上.
解:
设过A,B两点的直线的表达式为y=kx+b.
由题意可知,
∴
∴过A,B两点的直线的表达式为y=x-2.
∴当x=4时,y=4-2=2.
∴点C(4,2)在直线y=x-2上.
∴三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)在同一条直线上.
学生做一做判断三点A(3,5),B(0,-1),C(1,3)是否在同一条直线上.
探索与创新题
主要考查学生运用知识的灵活性和创新性,体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用.
例13老师讲完“一次函数”这节课后,让同学们讨论下列问题:
(1)x从0开始逐渐增大时,y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30?
这说明了什么?
(2)直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何?
甲生说:
“y=6x的函数值先达到30,说明y=6x比y=2x+8的值增长得快.”
乙生说:
“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的.”
你认为这两个同学的说法正确吗?
[分析]
(1)可先画出这两个函数的图象,从图象中发现,当x>2时,6x>2x+8,所以,y=6x的函数值先达到30.
(2)直线y=-x与y=-x+6中的一次项系数相同,都是-1,故它们是平行的,所以这两位同学的说法都是正确的.
解:
这两位同学的说法都正确.
例14某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游,用旅行社说:
“如果老师买全票,其他人全部半价优惠.”乙旅行社说:
“所有人按全票价的6折优惠.”已知全票价为240元.
(1)设学生人数为x,甲旅行社的收费为y甲元,乙旅行社的收费为y乙元,分别表示两家旅行社的收费;
(2)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠.
[分析]先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式,再通过比较,探究结论.
解:
(1)甲旅行社的收费y甲(元)与学生人数x之间的函数关系式为
y甲=240+
×240x=240+120x.
乙旅行社的收费y乙(元)与学生人数x之间的函数关系式为
y乙=240×60%×(x+1)=144x+144.
(2)①当y甲=y乙时,有240+120x=144x+144,
∴24x=96,∴x=4.
∴当x=4时,两家旅行社的收费相同,去哪家都可以.
②当y甲>y乙时,240+120x>144x+144,
∴24x<96,∴x<4.
∴当x﹤4时,去乙旅行社更优惠.
③当y甲﹤y乙时,有240+120x﹤140x+144,
∴24x>96,∴x>4.
∴当x>4时,去甲旅行社更优惠.
小结此题的创新之处在于先通过计算进行讨论,再作出决策,另外,这两个函数都是一次函数,利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法.
学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案.甲方案:
每千克9元,由基地送货上门;乙方案:
每千克8元,由顾客自己租车运回,已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.
(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式,并写出自变量X的取值范围;
(2)当购买量在什么范围时,选择哪种购买方案付款少?
并说明理由.
老师评一评先求出两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式,再通过比较,探索出结论.
(1)甲方案的付款y甲(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式为
y甲=9x(x≥3000);
乙方案的付款y乙(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式为
y乙=8x+500O(x≥3000).
(2)有两种解法:
解法1:
①当y甲=y乙时,有9x=8x+5000,
∴x=5000.
∴当x=5000时,两种方案付款一样,按哪种方案都可以.
②当y甲﹤y乙时,有9x﹤8x+5000,
∴x<5000.
又∵x≥3000,
∴当3000≤x≤5000时,甲方案付款少,故采用甲方案.
③当y甲>y乙时,有9x>8x+5000,
∴x>5000.
∴.当x>500O时,乙方案付款少,故采用乙方案.
解法2:
图象法,作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函数图象,如图11-24所示,由图象可得:
当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时,y甲﹤y乙,即选择甲方案付款少;当购买量为5000千克时,y甲﹥y乙即两种方案付款一样;当购买量大于5000千克时,y甲>y乙,即选择乙方案付款最少.
【说明】图象法是解决问题的重要方法,也是考查学生读图能力的有效途径.
例15一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6,相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2,则这个函数的解析式为.
[分析]本题分两种情况讨论:
①当k>0时,y随x的增大而增大,则有:
当x=-3,y=-5;当x=6时,y=-2,把它们代入y=kx+b中可得
∴
∴函数解析式为y=-
x-4.
②当k﹤O时则随x的增大而减小,则有:
当x=-3时,y=-2;当x=6时,y=-5,把它们代入y=kx+b中可得
∴
∴函数解析式为y=-
x-3.
∴函数解析式为y=
x-4,或y=-
x-3.
答案:
y=
x-4或y=-
x-3.
【注意】本题充分体现了分类讨论思想,方程思想在一次函数中的应用,切忌考虑问题不
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- 经典 例题 剖析 一次 函数
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