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初二数学资料
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
学法导引
学习本节,首先经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程,了解利用拼图验证勾股定理的方法,抓住勾股定理的特征,并能运用勾股定理解决一些实际问题,体会数形结合的数学方法,本节是本章的重要内容.
Ⅱ 思维整合
解析重点 利用勾股定理求边长.
【例1】 在△ABC中,∠C=90°,若a=6,b=8,求c的值.
剖析难点 通过计算面积的方法探索勾股定理.并用有关知识解决实际问题.
【例2】如图1-1-1,分别以直角三角形三边为边长作正方形A,B,C.已知正方形A、B面积分别为81,225,求正方形C的面积.
解析 因为正方形A、B面积分别为81、225,所以直角三角形两直角边平方分别为81,225.由勾股定理可知斜边平方为81+225=306.故C的面积为306.
解 C的面积=81+225=306.
点拨 题目呈现形式虽然特殊,但仍然是勾股定理的应用.
点击易错点
【例3】 已知直角三角形两条边长分别为3、4,求第三边的长.
错解 5.
错解分析 题中给出的3和4错认为是两条直角边,实际题中并没有指明是哪两条边,应分情况讨论.
正解
当斜边为4,直角边为3时,另一直角边平方为7.在现有知识范围内,找不到一个数平方等于7,学完第二章,这个问题自然就会解决.
[想一想]
勾股定理是几何教学中的重要定理,重点是三边之间的平方关系,难点是勾股定理的综合应用,并能用勾股定理解决实际问题,在解题过程中要注意勾股定理的应用范围;分清直角边,斜边,避免发生一些解题错误.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 综合应用勾股定理及三角形面积公式.能够灵活运用所学知识,以提高应用数学的能力.
【例4】 如图1-1-3,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=7,BC=24,求斜边上的高CD.
解析 根据已知条件利用勾股定理求出斜边,再利用同一个三角形中面积的不同表示方法来解.
点拨 已知直角三角形两条边求斜边上的高时,往往采用面积相等来求,这种解题方法在以后解题过程中会经常遇到.
应用能力升级 把实际问题抽象出几何图形——直角三角形,然后用勾股定理解决问题,培养数学建模思想.
【例5】 一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面垂直高度为8米,梯子的顶端下滑2米后,底端水平滑动2米吗?
试说明理由.(如图1-1-4)
解析 梯子底端滑动距离AA′=A′C-AC,在Rt△ABC中,由勾股定理可求出AC,又BB′=2,∴ 可求出B′C,在Rt△A′B′C中可求出A′C.
∴ 梯子的顶端下滑2米后,底端将水平滑动2米.
点拨 本题由两次利用勾股定理,求出底端水平滑动仍然为2米.
[想一想] 在例5中当梯子顶端下滑1米后,底端水平滑动1米吗?
梯子顶端下滑距离与底端水平滑动距离一定相等吗?
创新能力升级 在飞机的飞行过程中,构造出直角三角形,从而求出飞机速度.
【例6】 飞机在空中飞行,某一时刻正好飞到学校上空4800米处,过了10秒,飞机距离学校5000米,飞机每小时飞行多少千米?
解析 飞机飞行过程中,正好构成直角三角形.利用勾股定理求出10秒钟走过的路程,然后再求速度.
点拨 注意在解题过程中单位的变化.1 探索勾股定理
【想一想】(教材第4页)
答:
售货员没有搞错.
【习题1.1】(教材第6页)
1.答:
A所代表的正方形的面积是625.
B所代表的正方形的面积是144.
2.答:
(1)x=10.
(2)x=12.
【习题1.2】(教材第9页)
2.答:
8米.
提示:
已知直角三角形斜边长为10米,一条直角边长为6米,根据勾股定理可求得另一条直角边长为8米,即是固定点到电线杆底部的距离.
2 能得到直角三角形吗
Ⅰ 学法导引
本节在上一节基础上,掌握直角三角形的判别条件,熟记一些勾股数,能对直角三角形判别条件进行一些综合应用,继续培养数形结合思想,培养学生大胆猜想,勇于探索的创新精神.
Ⅱ 思维整合
解析重点 给出已知三角形三边,判定这个三角形是否是直角三角形.
【例1】 一块三角形板的三边长分别是25,7,24,这块铁板是直角三角形铁板吗?
剖析难点 综合应用直角三角形的知识解题,先利用勾股定理再利用逆定理解例2的实际问题.
【例2】 如图1-2-1,一块四边形菜地ABCD,∠B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,DA=13m.求四边形的面积.
点拨 对于不规则四边形求面积时,一般把四边形分成两个三角形再求面积.
点击易错点 在用勾股定理的逆定理时,分不清用哪一条边作斜边,易产生错误.
【例3】 以线段a、b、c为边组成三角形是不是直角三角形.其中a=0.3,b=0.5,c=0.4.
错解分析 本题是没有辨清哪条边是斜边而导致错误,验证时应找最大边平方等于其他两边平方和.
弄清直角三角形的判别条件以及勾股数概念,并能进行简单的应用,注意勾股定理及勾股定理逆定理的联系与区别,为以后的几何学习打下坚实的基础.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 利用已知条件判定三角形形状,把代数知识和几何知识综合起来应用.
应用能力升级 根据已知条件,将已知条件进行适当变形,得到相关的结论来判定三角形形状.
点拨 以上两个例题给出的已知条件都是一个含有多个未知数的等式,常常采用分解因式或配方法,
创新能力升级 勾股定理及逆定理综合应用.还和三角形中线及面积综合起来.
【例6】 在△ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.
解析 因为AD是中线,∴ BD=CD=5.在△ABD中三边长度均有,可根据勾股定理逆定理判定△ABD为直角三角形,再利用面积公式求解.2 能得到直角三角形吗
【随堂练习】(课本第11页)
答:
(1)、
(2)可以作为直角三角形的三边长.
【习题1.3】(课本第12页)
2.答:
仍然是直角三角形.
3 蚂蚁怎样走最近
Ⅰ 学法导引
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单实际问题,并将空间想像、动手操作和思考结合起来,将实际问题抽象成几何图形过程中,提高分析问题、解决问题能力及形成数学建模的思想.
Ⅱ 思维整合
解析重点 用勾股定理及逆定理,解决实际生活问题,体验数学学习的实用性.
【例1】 某人欲渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B240米,结果他在水中实际游了510米,求该河的宽度.(如图1-3-1)
解 在Rt△ABC中,将BC,AC长度同时缩小30倍后得8,17.
若na,nb,nc为勾股数,则a,b,c也为勾股数,所以在实际问题计算时,由于数据较大,可以采用以上方法.
剖析难点 路程最短问题利用数学中建模思想构成直角三角形,利用勾股定理解决.
【例2】 如图1-3-2,
解析 将圆柱侧面剪开展成一个长方形,利用两点之间线段最短,构成直角三角形,利用勾股定理来解.
点拨 蚂蚁从圆柱下底面一点爬到上底面一点,且要求路线最短,看上去是一个曲面上路线问题,实际上通过圆柱侧面展开而转化成为平面上路线问题,再利用勾股定理求解.
点击易错点 实际应用问题考虑不全.
【例3】 有一个长为12cm,宽4cm,高3cm的长方体铁盒,在其内部要放一根笔直的铁丝,则铁丝最长是多少?
(如图1-3-3)
错解 3cm.
错解分析 铁丝垂直放置是一种形式,而斜放铁丝要比垂直放置长一些,斜放时放在BC位置最长.
在原有平面图形的基础上,把一个曲面图形首先展成一个平面图形,然后构造出直角三角形,体现转化的数学思想,再次展现两点间线段最短这个公理,解题时要把问题考虑全面,以免出错.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 勾股定理及逆定理综合应用.
点拨 注意勾股定理及逆定理的区别.
应用能力升级 勾股定理与台风问题是近年中考常见题型,重点是选定问题中的直角三角形.
【例5】 如图1-3-5,某沿海城市A的正南方向的B处有一台风中心,沿BC方向以15千米/时速度行驶6小时到达D,已知A距台风中心最短距离AD=120千米,求AB的值.
解析 由A距台风中心最短距离可知AD⊥BC,所以△ABD为直角三角形再根据已知条件求出BD,利用勾股定理即可.
点拨 把实际问题抽象成数学问题,建立数学模型是解此类题的关键.
创新能力升级 把有趣的生活问题,变成数学问题,抽象出几何图形,用数学知识来解决.
【例6】 在一棵桃树10米高处有两只猴子,其中一只猴子爬下树去走向离树20m处的水塘,而另一只猴子爬到树顶后直扑水塘,如果两只猴子经过的路程相等,问这棵树有多高?
解析 两只猴子运动的路线与桃树正好构成直角三角形.利用勾股定理建立方程来解.
第二章 实数
1 数怎么又不够用了
Ⅰ 学法导引
本节是在有理数的基础上把数再一次进行了扩充,引入一种既不能用整数表示,也不能用分数表示的数.即它不是有理数,但它确实存在,我们称它为无理数.学习本节的关键是能利用无限逼近的思想去理解无理数是无限不循环小数;利用对比的方法体会有理数和无理数的区别.
Ⅱ 思维整合
解析重点 1.体会无理数的存在及无理数的概念.
【例1】 边长为1的正方形对角线长为x,那么x的整数部分是几?
十分位是几?
百分位呢?
千分位呢?
判断x是有理数吗?
∴ x的整数部分是1,十分位是4,百分位是1,千分位是4;x是无理数,因为它是无限不循环小数.
点拨 此题是在探索什么叫无理数,采用了无限逼近的思想,即将x的范围逐渐缩小,
2.能判断一个数是有理数还是无理数.
【例2】 长方形的长为3,宽为2,设对角线长为a,a可能是整数吗?
可能为分数吗?
可能为有理数吗?
又因为两个相同的最简分数的乘积仍为分数,所以a不可能为分数;a既不是整数也不是分数,所以a不是有理数.
点拨 这类题目是说明一个数不是有理数,从而引出无理数的概念,既不是整数,又不是分数的数不是有理数.
剖析难点 对无理数概念的理解.理解无理数概念应从以下两点入手:
(1)无理数必须是无限小数;
(2)无理数必须是不循环小数,两个条件缺一不可.
【例3】 下列说法中,正确的个数是 ()
(1)无限小数都是无理数
(2)不循环小数都是无理数
(3)无理数都是无限小数
(4)0既是有理数也是无理数
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解 A
点击易错点 对“无限不循环小数”和“无限小数”理解错误.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
错解 C
错解分析 “无限不循环小数”不能化成分数,是无理数,“无限小数”即可以是“无限不循环小数”,也可以是“无限循环小数”,即可以是无理数或有理数.
π是无限不循环小数,是无理数,错认为是有理数.
正解 B
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 无限逼近思想与勾股定理相结合,应用勾股定理求得的结果可能不是某一个数的平方,此时可用无限逼近的思想求出结果.
E、F、G、H分别是正方形四条边的中点,依次连结E、F、G、H得一个正方形,求这个正方形的边长(结果保留两个有效数字).
解析 利用勾股定理求出正方形EFGH的一个边长的平方,再利用无限逼近的方法求出其边长.
∴ 其边长为4cm.
又∵ E、F、G、H分别为各边的中点,
点拨 利用小学所学的正方形的性质,即四条边相等,四个角都是直角,再利用勾股定理及无限逼近的思想求出正方形EFGH的边长.
创新能力升级 把实际问题转化为数学问题,认真体会转化的思想.
【例6】 如图2-1-2所示,要从离地面6m的电线杆上的A处向地面B处拉一条钢丝绳来固定电线杆,要固定点B到C处的距离为5m.求钢丝绳AB的长度.(精确到十分位)
点拨 此类问题在实际生活中应用较为广泛,主要考查学生对勾股定理和无限逼近思想的应用能力.
2 平方根
Ⅰ 学法导引
学习本节的关键是要认真体会各个知识点之间的联系及应用.认真分析平方根和算术平方根的概念,理解它们的联系与区别,利用对比的方法体会开方运算和乘方运算互为逆运算.
Ⅱ 思维整合
解析重点 1.正确理解平方根和算术平方根的意义及概念.
解 ±2;16
点拨 这两道题的条件和结论互换了位置,但都考查的是平方根和算术平方根的意义.
2.理解开平方与平方互为逆运算.
求一个数的平方根的运算叫开平方,开平方与平方运算就如加法与减法,乘法与除法互为逆运算类似.
解 2,5
点拨 这两题的运算互换了顺序,一个是先平方再开方,一个是先开方再平方,但都考查的是开方与乘方互为逆运算的关系.
3.会用开平方运算,求某些非负数的平方根和算术平方根.
求一个非负数的平方根的一般步骤是:
求一个非负数的算术平方根的过程,类似于求平方根的过程,只是算术平方根取单值,即正值(或0),而平方根取双值,且互为相反数.
剖析难点 正确理解算术平方根和平方根的联系与区别.
联系:
①一个正数的算术平方根是它的平方根中的一个.
②只有非负数才有平方根及算术平方根.(即a≥0)
区别:
正数的算术平方根只有1个,但平方根有两个,且它们互为相反数.
【例4】 下列语句中正确的是 ()
解 D
点拨 解答此题的关键是正确分清平方根与算术平方根的联系与区别.
点击易错点 1.平方根与算术平方根两概念混淆.
3.对算术平方根的非负性理解不足.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 算术平方根常与绝对值,平方运算相结合.考查对算术平方根、绝对值、平方的结果的非负性的理解.
解析 根据绝对值、算术平方根、平方根的意义,求x、y、z的值.
解 由题意得,
x-3=0,y+1=0,z+2=0.
∴ x=3,y=-1,z=-2.
∴ xyz=3·(-1)·(-2)=6.
点拨 平方、绝对值及算术平方根的运算结果都是非负数.当几个非负数之和为0时,只有每个加数都为0时才成立.
应用能力升级 平方根在实际生活中应用较广,尤其是算术平方根的应用.
【例9】 盖房时,在墙上留出1.44平方米的正方形空间预留安装窗户用,求正方形窗户的边长.
∴ x=±1.2(x=-1.2不合题意舍去).
∴ x=1.2.
答:
正方形窗户的边长是1.2米.
创新能力升级 在学习中不断地学会总结、归纳知识点,掌握知识的多层应用.
【例10】 若对于正数x和y,有下列命题:
根据以上三个命题所提供的规律猜想:
点拨 在学习的过程中,进行大胆地猜想是很有必要的,猜想的结论要经过适当的方法(如举例,归纳等)去验证其正确性,这就需要我们积累丰富的知识.
3 立方根
Ⅰ 学法导引
本节通过探究式的学习方法,了解立方根的概念和性质,并要熟练地求出一个数的立方根,理解开立方与立方互为逆运算.在此基础上关键是搞清平方根与立方根的联系与区别.
Ⅱ 思维整合
解析重点 立方根的意义和性质.
②性质:
正数的立方根是正数且只有一个;0的立方根是0;负数的立方根是负数且只有一个.
【例1】 求下列各数的立方根.
点拨 运用立方运算求一个数的立方根是常用的方法.求带分数的立方根,先将带分数化为假分数.
剖析难点 立方根与平方根的联系与区别.
联系:
(1)都与相应的乘方运算互为逆运算.即开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算.
(2)0的立方根与平方根都是它本身.
区别:
(1)在用符号表示平方根时,根指数2可省略,而用符号表示立方根时,根指数3不能省略.
(2)只有非负数才有平方根,而任何数都有立方根.
(3)正数的平方根有两个,而正数的立方根只有一个.
【例2】 下列说法正确的是 ()
点拨 A中正数1的立方根只有1个是1,而1的平方根才是±1;
点拨 这两道题是把条件和结论互换了位置,但都考查的是立方根与平方根的概念.
点击易错点 1.易把平方根与立方根的概念混淆,在计算时出错.
【例4】 64的立方根是__;-27的立方根是__.
错解 ±4;没有
错解分析 错解是把平方根与立方根的概念混淆了,错认为正数的立方根有两个,而负数没有立方根,这只是平方根的性质,而对于立方根来说,不管是正数还是负数都只有一个立方根.
正解 4;-3
点拨 正数、负数、零均有立方根,且立方根的符号与被开方数的符号一致.
2.审题不清.
错解 4.
错解分析 错解是由于知识掌握不清楚,没有理解题意,而导致错误的.
而直接对64进行了立方根的运算,以致出现了错误.
正解 2.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 立方根常与平方根、立方、相反数相结合,应用彼此的不同性质解题.
【例6】 若a、b互为相反数,c、d互为负倒数,
解析 根据相反数、倒数、立方根、平方根的意义求解.
解
点拨 学会不断地积累知识,归纳相关的知识点.
应用能力升级 平方根与立方根在实际中的应用都较为广泛,它使我们能更熟练地应用各自的性质去解题.
【例7】 某商品的价格逐年上涨,到第四年销售价已变成了原来的3.375倍.假设每年的上涨率是相同的,试求该商品每年的上涨率.
解 设该商品的原价格为a元,每年的上涨率为x,根据题意,得
答:
该商品的上涨率为50%.
创新能力升级 立方根知识与新思维方式的结合应用.
【例8】
点拨 本题引入一个新元,通过代换,使两个条件得以沟通.
4 公园有多宽
Ⅰ 学法导引
学习本节关键是掌握估算的方法,形成估算的意识,利用估算检验计算结果的合理性,通过练习来估算无理数的大致范围,并通过估算比较两个数的大小.
Ⅱ 思维整合
解析重点 1.能通过估算检验结果的合理性,能估计一个无理数的大致范围,并能通过估算比较两个数的大小.
【例1】 下列结果估算正确的是 ()
解 C
点拨 选项A、D均属于数量级错误,选项B正确结果为2.2,故选C.
2.掌握估算的方法,形成估算的意识,培养学生数感理念,发展学生数感思想.
点拨 在比较实数的大小时,若能用推理的方法,显得较简单,若不能用推理,可先将无理数取近似值,再进行比较.
剖析难点 估算无理数的近似值时,确定某一位上的数字.
但确定十分位时要进行尝试,为减小盲目性,可以看出,6小于4和9的平均数6.5,
但6较接近6.5,故可对2.4或2.5进行平方,看是否非常逼近6.
∴当误差小于0.1时,a的值约为2.4或2.5.
点击易错点 对无理数进行估算时,结果的数量级最易出错.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 本节内容常与平方、平方根、立方根及勾股定理等知识相结合应用.
点拨 综合应用了完全平方及算术平方根的意义与开立方的知识.
应用能力升级 把生活中的典型例子转化为数学问题,培养我们联系实际,应用知识的能力.
【例7】 生活经验表明,靠墙摆放梯子时,
则梯子比较稳定,现有一长度为9米的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到8.5米高的墙头吗?
答:
梯子稳定摆放时,它的顶端不能够达到8.5米高的墙头.
创新能力升级 在发现中归纳,在归纳中创新.
解析 因A是x+3的算术平方根,则指数2x+y=2;又因B是2y-8的立方根,则指数3x-2y=3,且本题中还要注意有一个隐含条件x+3≥0,而2y-8可取任何值.由上可组成方程组,从而求出x,y的值.
点拨 应用平方根和立方根的性质.
5 用计算器开方
Ⅰ 学法导引
利用计算器会进行开平方运算和开立方运算.通过练习学生应自觉探索计算器的用法,能用计算器探索一些数学规律.
Ⅱ 思维整合
解析重点 1.会求一个非负数的平方根及一个数的立方根.
【例1】 用计算器求下列各式的值.
点拨 注意计算器的按键顺序.
2.会利用计算器探索数学规律.
【例2】 利用计算器探讨下列各组数的算术平方根有什么规律.
(1)0.0144,1.44,144,14400;
(2)78000,780,7.8,0.078,0.00078.
规律:
被开方数的小数点向右(或向左)每移动两位,它的算术平方根的小数点相应的向右(或向左)移动一位.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 把动脑和动手操作结果结合起来解决实际问题,培养学生的综合素质.
【例3】 已知一个正方体的棱长为10cm,再做一个正方体,使它的体积是原来的3倍,求所做的正方体的棱长.(精确到0.1cm)
答:
所做的正方体的棱长为14.4cm.
应用能力升级 利用计算器求值,会给结果带来很大的方便,且会更加准确.
【例4】 利用计算器计算(结果精确到0.01).
点拨 结果精确到0.01时,计算的中间过程要精确到0.001.
6 实数
Ⅰ 学法导引
实数这一节内容是对所认识的数的范围的再一次扩充,它和以前由自然数扩充到整数,由整数扩充到有理数一样,是我们认识数的范围的一次大的跨越.新加入的无理数也是数,以前学习的一些关于数的运算公式仍然成立,但新加的数有其自身的特点,这些特点决定了它有一些独特的性质.
Ⅱ 思维整合
解析重点 对实数的理解.
有理数和无理数统称为实数.实数若按定义分,可分为:
若按数性分类,可分为:
【例1】 在下列数中,选择合适的数填入相应的集合中:
有理数集合:
{};
无理数集合:
{};
正实数集合:
{};
负实数集合:
{}.
解
点拨 无理数是无限不循环小数,它包括三种:
②有特定结构的数,如0.1010010001…;③有特定意义的数,如π.
2.对实数运算的理解.
在实数范围内,可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算和它们间的混合运算;有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用.
剖析难点 对“实数与数轴上的点一一对应”的理解.
【例3】 下列说法正确的是 ()
A.每一个整数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个整数
B.每一个有理数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个有理数
C.每一个无理数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个无理数
D.每一个实数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数
解 D
点拨 D答案正好说明了实数与数轴上的点是一一对应的,这两个条件缺一不可.
点击易错点 1.对“一一对应”理解不够清楚.如[剖析难点]中的例3,有的同学会选B,错认为只有有理数才能在数轴上表示.
2.对实数的运算结果不能化到最简.
点拨 最简结果是被开方数不应该含分母及开尽方的因数,整个结果中的分母应为有理数.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 把平方、平方根、绝对值相结合,利用它们的共性解决问题.
解析 应用算术平方根的性质去掉括号;绝对值的化简,需先确定绝对值符号内的实数的符号,以便顺利去掉绝对值符号.
点拨 应用算术平方根,绝对值的意义,这两种运算的结果都是非负数.
应用能力升级 数从有理数扩大到实数后,应用更为广泛.
【例6】 如图2-6-1所示是一条隧道的横截面,上方是一个半圆,下半部分是一个长方形.一辆货车装满货物后,高4m,宽2.8m.请计算说明这辆装满货物的货车能否顺利通过这条隧道.
解析 如图2-6-1中只要AB的长达到4m,货车便能顺利通过隧道.
故这辆货车能顺利通过.
创新能力升级 实数在勾股定理,体积,面积的计算中的应用可培养学生的归纳能力,总结能力,创新能力.
【例7】 图2-6-2是三个周长
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