江苏专用版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I23函数的奇偶性与周期性教师用书文.docx
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江苏专用版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I23函数的奇偶性与周期性教师用书文
2.3函数的奇偶性与周期性
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A
如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【知识拓展】
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:
奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=
,则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=-
,则T=2a(a>0).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( × )
(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( √ )
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.( √ )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( √ )
(5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( √ )
1.(教材改编)对于定义域是R的任意奇函数f(x),下列结论正确的有________.(填序号)
①f(x)-f(-x)>0; ②f(x)-f(-x)≤0;
③f(x)·f(-x)≤0;④f(x)·f(-x)>0.
答案 ③
解析 ①②显然不正确.对任意奇函数f(x),有f(-x)=-f(x),∴f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,故③正确,④不正确.
2.(教材改编)函数y=f(x)为(-∞,+∞)上的偶函数,且f(|a|)=3,则f(-a)=________.
答案 3
解析 若a≥0,则f(-a)=f(a)=f(|a|)=3;若a<0,则f(-a)=f(|a|)=3.故对a∈R,总有f(-a)=3.
3.(教材改编)若函数f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=________.
答案 1
解析 ∵f(x)=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a为偶函数,∴f(-x)=f(x)对任意x∈R恒成立,
∴(1-a)x=(a-1)x恒成立,
∴1-a=0,∴a=1.
4.(教材改编)设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图象如图所示,则它在[-1,0]上的解析式为________.
答案 f(x)=x+2
解析 由题意知f(x)在[-1,0]上为一条线段,
且过(-1,1)、(0,2),设f(x)=kx+b,
代入解得k=1,b=2.所以f(x)=x+2.
5.(2016·四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0 +f (2)=________. 答案 -2 解析 ∵f(x)为定义在R上的奇函数,∴f(0)=0, 又0 )= =2, ∴f +f (2) =-f +f (2) =-f +f(0) =-2+0=-2. 题型一 判断函数的奇偶性 例1 (1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是________. ①y= ;②y=x+ ; ③y=2x+ ;④y=x+ex. 答案 ④ 解析 ①中的函数是偶函数;②中的函数是奇函数;③中的函数是偶函数;只有④中的函数既不是奇函数也不是偶函数. (2)判断函数f(x)= 的奇偶性. 解 当x>0时,-x<0,f(x)=-x2+x, ∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x =-(-x2+x)=-f(x); 当x<0时,-x>0,f(x)=x2+x, ∴f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x =-(x2+x)=-f(x). ∴对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x). ∴函数f(x)为奇函数. 思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤 (2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断. (1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是________. ①y= ;②y=lg|x|; ③y=(x-1)2;④y=2x. (2)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g (1)=2,f (1)+g(-1)=4,则g (1)=________. 答案 (1)② (2)3 解析 (1)②中,函数y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}且lg|-x|=lg|x|, ∴函数y=lg|x|是偶函数. (2)∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(-1)+g (1)=2,f (1)+g(-1)=4,∴-f (1)+g (1)=2,f (1)+g (1)=4,得g (1)=3. 题型二 函数的周期性 例2 (1)(2016·淮安模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2017)+f(2019)=________. (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=- ,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=______. 答案 (1)0 (2)2.5 解析 (1)由题意,得g(-x)=f(-x-1), 又∵f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数, ∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为4, ∴f(2017)=f (1),f(2019)=f(3)=f(-1), 又∵f (1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2017)+f(2019)=0. (2)由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2] =- =- =f(x). 故函数的周期为4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5.∴f(105.5)=2.5. 引申探究 例2 (2)中,若将f(x+2)=- 改为f(x+2)=-f(x),其他条件不变,则f(105.5)的值为________. 答案 2.5 解析 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), ∴函数的周期为4(下同例题). 思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值. 定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f (1)+f (2)+f(3)+…+f(2018)=________. 答案 339 解析 ∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3时,f(x)=x, ∴f (1)=1,f (2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0, ∴f (1)+f (2)+…+f(6)=1, ∴f (1)+f (2)+f(3)+…+f(2015)+f(2016) =1× =336. 又f(2017)=f (1)=1,f(2018)=f (2)=2, ∴f (1)+f (2)+f(3)+…+f(2018)=339. 题型三 函数性质的综合应用 命题点1 解不等式问题 例3 (1)(2016·南通模拟)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1) )的x的取值范围是____________. (2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f (1)<1,f(5)= ,则实数a的取值范围为______. 答案 (1)( , ) (2)(-1,4) 解析
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