中考专题复习 二次函数的图象性质与应用.docx
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中考专题复习二次函数的图象性质与应用
专题二次函数图象性质与应用
一.选择题(共26小题)
1.(2020成都中考)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是( D )
A.图象的对称轴在y轴的右侧
B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)
C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)
D.y的最小值为-9
2.(2020温州中考)已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则( B )
A.y3 C.y2 3.已知A(0,2),B(2,5)是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的两点,若抛物线与x轴有两个交点,则该抛物线的对称轴不可能是( A ) A.x=1B.x=2 C.x=5D.x=-4 4.前瞻新题[2020咸宁中考]在平面直角坐标系xOy中,将横、纵坐标相等的点称为“好点”.下列函数的图象中不存在“好点”的是( B ) A.y=-xB.y=x+2 C.y= D.y=x2-2x 5.[2020杭州中考]设函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是实数,a≠0).当x=1时,y=1;当x=8时,y=8.( C ) A.若h=4,则a<0B.若h=5,则a>0 C.若h=6,则a<0D.若h=7,则a>0 6.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是( D ) A B C D 7.已知二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0),关于此函数的图象及性质,下列结论不一定成立的是( D ) A.该图象的顶点坐标为(1,-4a) B.该图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0) C.若该图象经过点(-2,5),则一定经过点(4,5) D.当x>1时,y随x的增大而增大 8.[2020株洲中考]二次函数y=ax2+bx+c,若ab<0,a-b2>0,点A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数的图象上,其中x1 A.y1=-y2B.y1>y2 C.y1 9.[2020襄阳中考]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论: ①ac<0;②3a+c=0;③4ac-b2<0;④当x>-1时,y随x的增大而减小.其中正确的有( B ) A.4个B.3个C.2个D.1个 10.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1,C2上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表: x … -1 0 1 2 2.5 3 4 … y1 … 0 m1 -8 n1 -8.75 -8 -5 … y2 … 5 m2 -11 n2 -12.5 -11 -5 … 下列结论正确的是( D ) A.抛物线C1,C2均开口向下 B.抛物线C1的顶点坐标为(2.5,-8.75) C.当x>4时,y1>y2 D.抛物线C1,C2必经过点(0,-5) 11.(2020•株洲)二次函数y=ax2+bx+c,若ab<0,a﹣b2>0,点A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数的图象上,其中x1<x2,x1+x2=0,则( B ) A.y1=﹣y2B.y1>y2 C.y1<y2D.y1、y2的大小无法确定 12.(2020•襄阳)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论: ①ac<0;②3a+c=0;③4ac﹣b2<0;④当x>﹣1时,y随x的增大而减小. 其中正确的有(B ) A.4个B.3个C.2个D.1个 13.(2020•齐齐哈尔)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0),其对称轴为直线x=l,结合图象给出下列结论: ①ac<0; ②4a﹣2b+c>0; ③当x>2时,y随x的增大而增大; ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根. 其中正确的结论有(C ) A.1个B.2个C.3个D.4个 14.(2020•泸州)已知二次函数y=x2﹣2bx+2b2﹣4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1﹣b,m),B(2b+c,m),且该二次函数的图象与x轴有公共点,则b+c的值为( C ) A.﹣1B.2C.3D.4 15.(2020•绥化)将抛物线y=2(x﹣3)2+2向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线的解析式是( C ) A.y=2(x﹣6)2B.y=2(x﹣6)2+4 C.y=2x2D.y=2x2+4 16.(2020•滨州)对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)如图所示,小明同学得出了以下结论: ①abc<0,②b2>4ac,③4a+2b+c>0,④3a+c>0,⑤a+b≤m(am+b)(m为任意实数),⑥当x<﹣1时,y随x的增大而增大.其中结论正确的个数为( A ) A.3B.4C.5D.6 17.(2020•德州)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则下列选项错误的是( D ) A.若(﹣2,y1),(5,y2)是图象上的两点,则y1>y2 B.3a+c=0 C.方程ax2+bx+c=﹣2有两个不相等的实数根 D.当x≥0时,y随x的增大而减小 18.(2020•成都)关于二次函数y=x2+2x﹣8,下列说法正确的是( D ) A.图象的对称轴在y轴的右侧 B.图象与y轴的交点坐标为(0,8) C.图象与x轴的交点坐标为(﹣2,0)和(4,0) D.y的最小值为﹣9 19.(2020•哈尔滨)将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的拋物线为( D ) A.y=(x+3)2+5B.y=(x﹣3)2+5C.y=(x+5)2+3D.y=(x﹣5)2+3 20.(2020•南充)关于二次函数y=ax2﹣4ax﹣5(a≠0)的三个结论: ①对任意实数m,都有x1=2+m与x2=2﹣m对应的函数值相等;②若3≤x≤4,对应的y的整数值有4个,则 a≤﹣1或1≤a ;③若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6,则a 或a≥1.其中正确的结论是( D ) A.①②B.①③C.②③D.①②③ 21.抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点,则k的取值范围是 k≤ 且k≠1 . 22.[2020温州中考]已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1,-2),(-2,13). (1)求a,b的值; (2)若(5,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且y2=12-y1,求m的值. 解: (1)把(1,-2),(-2,13)分别代入y=ax2+bx+1, 得 解得 (2)由 (1)得抛物线的解析式为y=x2-4x+1, 把x=5代入y=x2-4x+1,得y1=6, ∴y2=12-y1=6, ∴y1=y2. 又抛物线的对称轴为直线x=- =2, ∴ =2, ∴m=-1. 23.[2020黄石中考]若二次函数y=a2x2-bx-c的图象,过不同的六点A(-1,n),B(5,n-1),C(6,n+1),D( y1),E(2,y2),F(4,y3),则y1,y2,y3的大小关系是( D ) A.y1 C.y2 24.[2020临沂中考]已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴; (2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式; (3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1 解: (1)抛物线的对称轴为直线x=- =1. (2)∵抛物线的顶点在x轴上,且抛物线的对称轴为直线x=1, ∴抛物线的顶点坐标是(1,0). 将(1,0)代入y=ax2-2ax-3+2a2, 得0=a-2a-3+2a2,即2a2-a-3=0, 解得a=-1或a= . 当a=-1时,抛物线的解析式为y=-x2+2x-1; 当a= 时,抛物线的解析式为y= x2-3x+ . (3)由 (1)知抛物线的对称轴为直线x=1. 设点Q(3,y2)关于对称轴对称的点为点M,则M(-1,y2). ①当a>0时,抛物线开口向上. ∵点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,y1 ∴-1 ②当a<0时,抛物线开口向下. ∵点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,y1 ∴m>3或m<-1. 25.[2020南充中考节选]已知二次函数图象过点A(-2,0),B(4,0),C(0,4). (1)求二次函数的解析式. (2)如图,当点P为AC的中点时,在线段PB上是否存在点M,使得∠BMC=90°? 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1)∵二次函数的图象过点A(-2,0),B(4,0), ∴可设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4), 将C(0,4)代入,得-8a=4,∴a=- . 故二次函数的解析式为y=- x2+x+4. (2)存在. 设BC的中点为Q,点M的横坐标为m. 易知点Q的坐标为(2,2),BC=4 . 若∠BMC=90°,则MQ= BC=2 . ∵A(-2,0),C(0,4), ∴AC的中点P的坐标为(-1,2). 设直线PB的解析式为y=kx+b, 则 解得 故直线PB的解析式为y=- x+ . ∵点M在线段PB上, ∴点M的坐标为(m,- m+ )(-1≤m<4), ∴MQ2=(m-2)2+(- m+ -2)2=8, 即(m-2)2+( m+ )2=8, 整理,得29m2-92m-96=0,解得m=- 或m=4(舍去), ∴点M的坐标为(- ). 26.[2020河北中考]如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下, 甲: 若b=5,则点P的个数为0; 乙: 若b=4,则点P的个数为1; 丙: 若b=3,则点P的个数为1. 下列判断正确的是( C ) A.乙错,丙对B.甲和乙都错 C.乙对,丙错D.甲错,丙对 27.(2020•临沂)已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3+2a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴; (2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其解析式; (3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1<y2,求m的取值范围. 【解析】 (1)∵抛物线y=ax2﹣2ax﹣3+2a2=a(x﹣1)2+2a2﹣a﹣3. ∴抛物线的对称轴为直线x=1; (2)∵抛物线的顶点在x轴上, ∴2a2﹣a﹣3=0, 解得a 或a=﹣1, ∴抛物线为y x2﹣3x 或y=﹣x2+2x﹣1; (3)∵抛物线的对称轴为x=1, 则Q(3,y2)关于x=1对称点的坐标为(﹣1,y2), ∴当a ,﹣1<m<3时,y1<y2;当a=﹣1,m<﹣1或m>3时,y1<y2. 28.(2020•衡阳)在平面直角坐标系xOy中,关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(﹣1,0),(2,0). (1)求这个二次函数的表达式; (2)求当﹣2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差; (3)一次函数y=(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b,且a<3<b,求m的取值范围. 【解析】 (1)由二次函数y=x2+px+q的图象经过(﹣1,0)和(2,0)两点, ∴ ,解得 , ∴此二次函数的表达式y=x2﹣x﹣2; (2)∵抛物线开口向上,对称轴为直线x , ∴在﹣2≤x≤1范围内,当x=﹣2,函数有最大值为: y=4+2﹣2=4;当x 是函数有最小值: y 2 , ∴的最大值与最小值的差为: 4﹣( ) ; (3)∵y=(2﹣m)x+2﹣m与二次函数y=x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b, ∴x2﹣x﹣2=(2﹣m)x+2﹣m,整理得 x2+(m﹣3)x+m﹣4=0 ∵a<3<b ∴a≠b ∴△=(m﹣3)2﹣4×(m﹣4)=(m﹣5)2>0 ∴m≠5 ∵a<3<b 当x=3时,(2﹣m)x+2﹣m>x2﹣x﹣2, 把x=3代入(2﹣m)x+2﹣m>x2﹣x﹣2,解得m ∴m的取值范围为m . 29.(2020•滨州)某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元,则月销售量就减少10千克. (1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克? (2)当月利润为8750元时,每千克水果售价为多少元? (3)当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润最大? 【解析】 (1)当售价为55元/千克时,每月销售水果=500﹣10×(55﹣50)=450千克; (2)设每千克水果售价为x元, 由题意可得: 8750=(x﹣40)[500﹣10(x﹣50)], 解得: x1=65,x2=75, 答: 每千克水果售价为65元或75元; (3)设每千克水果售价为m元,获得的月利润为y元, 由题意可得: y=(m﹣40)[500﹣10(m﹣50)]=﹣10(m﹣70)2+9000, ∴当m=70时,y有最大值为9000元, 答: 当每千克水果售价为70元时,获得的月利润最大值为9000元. 30.(2020•甘孜州)某商品的进价为每件40元,在销售过程中发现,每周的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看作一次函数y=kx+b,且当售价定为50元/件时,每周销售30件,当售价定为70元/件时,每周销售10件. (1)求k,b的值; (2)求销售该商品每周的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式,并求出销售该商品每周可获得的最大利润. 【解析】 (1)由题意可得: , ∴ , 答: k=﹣1,b=80; (2)∵w=(x﹣40)y=(x﹣40)(﹣x+80)=﹣(x﹣60)2+400, ∴当x=60时,w有最大值为400元, 答: 销售该商品每周可获得的最大利润为400元.
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