内蒙古赤峰市宁城县届高三第三次模拟考试数学理附答案.docx
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内蒙古赤峰市宁城县届高三第三次模拟考试数学理附答案
2015年宁城县高三年级统一考试(5.20)
数学试卷(理科)
注意事项:
1、本试卷本分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第(22)~(24)题为选考题,其它题为必考题.
2、考生作答时,将答案答在答题卡上,写在本试卷上无效.
3、考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合,,则(∁U)
(A)(B)(C)(D)
2.双曲线的渐近线方程为
(A)(B)(C)(D)
3.二项式的展开式中,常数项的值是
(A)(B)(C)(D)
4.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是
(A)(B)
(C)(D)
5.表示不重合的两个平面,,表示不重合的两条直线.若,,,则“∥”是“∥且∥”的
(A)充分且不必要条件(B)必要且不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
6.若,则常数a的值为
(A)1(B)2(C)-1(D)0
7.在中,,,则等于
(A)(B)(C)(D)或
8.设函数,且其图像关于轴对称,则函数的一个单调递减区间是
9.在如图所示的空间直角坐标系中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为
10.已知分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,且垂直于轴.若,则该椭圆的离心率为
(A)(B)(C)(D)
11.在△ABC中,AB=1,AC=2,,点O是△ABC的外心,存在实数,使,则
(A)(B)(C)(D)
12.已知函数,对于任意的,存在实数使得,则的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
2015年宁城县高三年级统一考试(5.20)
数学试卷(理科)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题〜第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题〜第:
24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题共4小题,每小题5分,共20分.
13.是虚数单位,复数,则.
14.某校举行的数学建模比赛,全体参赛学生的比赛成绩近似服从正态分布,,参赛学生共600名.若在内的取值概率为0.48,那么90分以上(含90分)的学生人数为.
15.设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一点M,则点M落在圆内的概率为___________.
16.设是函数的图像上任意一点,过点分别向直线和轴作垂线,垂足分别为,则=___________.
三、解答题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
17.(本小题满分12分)
已知数列{}满足
(I)求{}的通项公式;
(II)设{}的前项和为,证明:
.
18.(本小题满分12分)
一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(Ⅰ)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;
(Ⅱ)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望及方差.
日销售量(个)
19.(本小题满分12分)
己知三棱柱,在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,,,又知
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知直线的方程是和抛物线,自上任意一点作抛物线的两条切线,设切点分别为,
(Ⅰ)求证:
直线恒过定点.
(Ⅱ)求△PAB面积的最小值.
21.(本小题满分12分)
已知.记的导函数是.
(Ⅰ)若,函数在其定义域内是增函数,求的取值范围;
(Ⅱ)的图象与轴交于)两点,中点为,求证:
.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,内接于圆,平分交圆于点,过点作圆的切线交直线于点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求证:
.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
(Ⅰ)写出的极坐标方程和的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点、的极坐标分别为和,直线与曲线相交于两点,射线与曲线相交于点,射线与曲线相交于点,求的值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)当时,恒成立,求的取值范围.
2015年宁城县高三年级统一考试(5.20)
数学试卷(理科)参考答案
一、选择题:
BAADCABCDABC
二、填空题:
13、1;14、12;15、;16、.
三、解答题:
17.(Ⅰ)解:
-------------------5分
(Ⅱ)
设
二式相减得
所以-----------------8分
因为,所以时,(直接写不扣分)
所以---------------10分
所以-----12分
(当且仅当时等号“=”成立)
18.解
(1)设
里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个.所以----------------------------------------4分
(2)X可能的取值为0,1,2,3,相应的概率为
---------------------------------------6分
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
分布列为:
-----------8分
---------------------------------------12分
19.解(Ⅰ)得,
因为底,所以
又,所以面,
所以
因为,,
所以底……………………4分
(Ⅱ)以C为坐标原点,射线CA,CB为别为轴,过C垂直于底面ABC的直线为轴建立空间直线坐标系(如图),---------------5分
由(Ⅰ)知平面的法向量为,-----6分,
设平面的法向量为,则
即,从而--------------------------9分
---------------------11分
因为均指向外部,所以二面角的余弦为-----12分
20.(Ⅰ)证明:
设
因为,所以切线PA的方程是
即①,同理切线PB的方程是②--------3分
由①②得,显然直线AB存在斜率.
设直线AB的方程是,代入得
所以,即,③
代入得-------------------------------------------5分
即直线AB的方程是,恒过定点-------------6分
(Ⅱ)解:
--------------------9分
点P到直线AB的距离是-----10分
△PAB的面积
当时△PAB的面积取得最小值-----------------------12分
21解
(1)依题意:
.∴
∵在上递增,∴对恒成立,
即对恒成立,只需.----------3分
∵,∴,当且仅当时取“=”,
∴,∴b的取值范围为.-------------------5分
(2)由已知得两式相减,得.
由及,得
------------8分
令.
∵,∴在上递减,---------10分
∴.又,-------------12分
22.
(1)∵BE为圆O的切线,∴∠EBD=∠BAD………………2分
又∵AD平分∠BAC∴∠EBD=∠CAD………………4分
又∵∠CBD=∠CAD∴∠EBD=∠CBD…………5分
(2)在△EBD和△EAB中,∠E=∠E,∠EBD=∠EAB
∴△EBD∽△EAB………………7分
∴∴AB•BE=AE•BD………9分
又∵AD平分∠BAC∴BD=DC
故AB•BE=AE•DC………………10分
23.解:
(1)曲线的普通方程为,
化成极坐标方程为-----------3分
曲线的直角坐标方程为……………5分
(2)在直角坐标系下,,,线段是圆的直径
由得
是椭圆上的两点,在极坐标下,设
分别代入中,
有和
则,即.……………10分
24.解:
(1)……………………2分
……………………6分
(2)恒成立
即……………10分
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