正弦定理教案阿道巴巴.docx
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正弦定理教案阿道巴巴
正弦定理教案阿道巴巴
【篇一:
正弦定理精品教案详案】
正弦定理
一、教学内容分析:
本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中解斜三角形的第一课时,它是初中“解直角三角形”内容的直接延拓,是解决生产、生活实际问题的重要工具,正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系,它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本节课的主要任务是通过引入三角形新的面积公式,推导出正弦定理,并让学生初步掌握正弦定理的基本应用。
二、学情分析:
对高一的学生来说,一方面已经学习了平面几何、解直角三角形、任意角的三角比等知识,具有一定的观察分析、解决问题的能力;但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍,思维灵活性、深刻性受到制约,特别是对于本校的同学,这方面的能力比较薄弱。
根据以上特点,教师需要恰当引导,提高学生学习主动性,注意前后知识间的联系,引导学生直接参与分析问题、解决问题。
三、设计思路:
由于学生的总体基础比较薄弱,因此,在上课之前,针对《正弦定理》课内内容学生不太容易理解的地方,我作了一个学情调查,将其中的公式推导要应用的关键知识以题目的形式出给学生做,用以诊断学生学习正弦定理的知识方法基础,然后分析梳理为课堂教学服务。
在课堂教学方面,首先通过一个实际生活的例子引入,在现实的测绘工作中,经常会碰到解斜三角形的问题,那么,在斜三角形中,边和角之间有没有特殊的关系可以给我们利用呢?
借鉴前面利用坐标研究三角的方法,用坐标法来对任意三角形进行研究,得到三角形新的面积公式,通过对三角形面积公式的变形,得到正弦定理,但不对比值的意义作深入的探讨(放在第二节课进行)。
定理研究完毕以后,引导学生利用正弦定理来解决具体问题,并发现,正弦定理可以解决解三角形的两类问题:
(1)已知三角形两角和一边,求其它边和角;
(2)已知三角形两边和一边对角,求其它边和角。
四、教学目标:
一、知识与技能:
理解三角形的面积公式,初步掌握正弦定理及其证明;会初步运用正弦定理解三角形;培养数学应用意识。
二、过程与方法:
1、通过实际问题,激发学生的学习兴趣;
2、采用坐标法来研究任意三角形,并感受其解决问题的优越性,感受数学推理的严谨性;3、通过应用分析、问题解决来培养学生良好的学习思维习惯,增强学生学习的自信心。
三、情感、态度与价值观:
通过知识之间的联系与推理使学生明白事物之间的普遍联系与辩证统一性。
四、教学重点与难点
教学重点:
正弦定理的探索与证明;正弦定理的基本应用。
教学难点:
正弦定理的探索与证明;正弦定理在解三角形时的应用思路。
教学过程:
一、情景引入:
开场白:
今天我们来研究三角形。
初中我们曾经学习过解直角三角形,通常依据直角三角形中边角的特殊关系来求解。
但在解决实际问题中,往往会碰到关于解斜三角形的问题。
如:
某林场为了及时发现火情,在林场中设立了两个观测点a和b。
某日两个观测点的林场人员分别观测到c处出现火情。
在a处观测到火情发生在北偏西400方向,在b处观测到火情在北偏西600方向。
已知b在a的正东方向10千米处,请你帮忙确定火场c距离a、b多远?
这个实际问题可以转化为一个数学问题:
00在三角形abc中,已知ab=10,∠a=130,∠b=30,求ac和bc的长?
这就是一个解斜三角形的问题。
师:
思考一下,我们用以前的知识该怎么求呢?
生:
-------------------
师:
我们可以通过作垂线,构造直角三角形的问题来解。
但是,有没有更好的方法,可以直接求解呢?
这就是我们今天要研究的内容-------------正弦定理。
二、新授课
我们在角的范围扩大后,将角放在坐标系中进行研究,对任意角三角比重新进行了定义,奠定了整个三角内容的基础。
今天,我们同样将三角形放在坐标系中进行研究,看能否给我们一些惊喜?
如图所示建立直角坐标系:
我们先定一下点a、b、c的坐标.
si)na
aba(0,0)b(c,0)c(bcos,
问:
点c的坐标如何确定?
生:
点c在角a的终边上,根据任意角三角比的定义,cosa=x/b,sina=y/b所以:
x=bcosa,y=bsina
师:
从这里看一看出,不管角a
我们来看看点c的纵坐标,它的大小等于点c到x问:
大家发现没有,对于三角形abc来说,cd有没有什么几何含义?
生:
它是三角形abc边ab上的高。
师:
我们看一下,这个三角形的底边ab长为c,高可以表示成bsina,知道了三角形的底边和高,可
以求出什么?
生:
三角形的面积。
师:
请说出三角形的面积表达式:
生:
s?
abc=
1
b?
csina2
师:
(操作几何画板,变动三角形形状)我们来看一下,当三角形变化时,点c的纵坐标的形式会不
会发生变化?
生:
不会
师:
那就是说,这个面积公式可以适用于任意三角形。
师:
我们知道,一个三角形含有6个元素,三条边,三个角,这个表达式含有几个元素?
生:
三个,两条边,一个角。
师:
边和角有什么关系吗?
生:
角是两边的夹角。
师:
你能用一句话来表达一下这个面积公式吗?
生:
三角形的面积等于:
三角形的两边与它们的夹角的正弦值的乘积的一半。
师:
我们现在是用b,c,a这三个元素来表示的,那么,同样的,你还能用其他的边角来表示吗?
生:
s?
abc=
111
b?
csina=a?
csinb=a?
bsinc222
师:
用一句话来描述一下这个公式?
生:
三角形的面积=任意两边与他们夹角的正弦的积的一半
师:
这是一个非常漂亮的公式,我们看看,它将任意三角形的三条边,三个角和三角形的面积在一个式子里面联系在了一起。
从今以后,我们求三角形的面积又多了一个选择。
师:
我们通过这个公式还可以看出,任意三角形的边角之间有一种特殊的等量关系,我们把等式中的s和
1
去掉看看:
b?
csina=a?
csinb=a?
bsinc2
师:
我们看看这个式子,等式中每条边都出现了2次,每个角出现了1次,总的来说还是很复杂。
我
们能否将它们进行等价变形,让边角之间的关系变得更加明确、更加简单一点?
思路1:
等式的左、中、右同除以abc又会得到什么呢?
生:
sinasinbsinc
==abc
abc
==sinasinbsinc
我们把这个等式取倒数,可以写成:
思路2:
我们将这个连等式变化成2个等式:
bcsina=acsinb,acsinb=absinc
即:
bsina=asinb,csinb=bsinc,要使2个等式的形式完全相同,并且能够练习在一起。
再变形:
可以得到b/sinb=a/sina,c/sinc=bsinb
所以可以得到:
abc
==sinasinbsinc
我们来看一下,这个连等式将三角形的6个元素完美的结合在了一起,比起前面的表达式,它显得非常的简洁,非常的美。
为什么说它非常美呢?
大家看看它的结构,有什么特点?
生:
各边与其对角的正弦严格对应,体现了数学的对称美.问:
哪位同学能用文字语言把它描述一下?
生:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
师:
我们初中学过,在任意三角形abc中,大边对大角,这个两等式可以看做大边对大角的一个升级版,大边对大角的正弦,小边对小角的正弦,他们的比值相等。
不研究不知道,一研究吓一跳,小小的一个三角形蕴含了这么多的奥秘!
说明:
这就是我们今天要学的正弦定理。
为什么要写成这种形式呢?
因为这个比值是一个常数,有它特定的意义,我们在下一节课再进行研究。
师:
我们再来研究一下这个连等式。
我们可以将它分解成几个等式?
生:
三个:
abacbc
==,=sinasinbsinasincsinbsinc
师:
我们来看一下,每个
等式含有4个元素。
对于每个等式来说,如果用方程的观点来看,如果要求出其中一个元素,需要知道几个元素?
生:
知道三个。
师:
三个方程,每个含有四个量,知其三求其一。
练习:
(1)下列哪些三角形的x可以用正弦定理来求解?
如果可以,应该如何求?
(不必求出x的值)
b
b
b
(3)
b
c
b
(5)
b
(6)
(4)
由此,我们可以归纳出正弦定理可以解决某些三角形的求解问题:
(1)已知两角及任意一边;
(2)已知两边及其中一边的对角.
(2)应用正弦定理解决引例问题;
4、归纳小结
请大家梳理一下我们今天学的内容:
生:
我们今天利用坐标系对三角形进行研究,发现了:
1、三角形面积公式:
s?
abc=
111
b?
csina=a?
csinb=a?
bsinc222
即:
三角形的面积等于三角形任意两条边与它夹角的正弦的积的一半。
2、正弦定理
abc
==,它是解三角形的工具之一。
sinasinbsinc
即:
在三角形中,各边与它所对角的正弦的比相等。
3、正弦定理可以解决以下两种类型的三角形:
(1)已知两角及任意一边;
(2)已知两边及其中一边的对角.
5、作业:
练习卷
【篇二:
正弦定理教学设计】
《正弦定理》教学设计
颍上一中施培松
一、教材分析
本节课的主要内容是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用,在实际教学中,正弦定理这部分内容被分成了三个层次:
第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索,并大胆提出猜想;第二层次由猜想入手,带着疑问,以及特殊三角形中边角的关系的验证,通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、等多种方法证明正弦定理,验证猜想的正确性,并得到三角形面积公式;第三层次利用正弦定理解决引例,最后进行简单的应用。
学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明,感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法,养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
二、学情分析
对我们高二的学生来说,已学的平面几何,解直角三角形,三角函数,向量等知识,有一定观察分析、解决问题的能力,但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度,因此思维灵活性受到制约。
根据以上特点,教师恰当引导,提高学生学习主动性,多加以前后知识间的联系,带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
学生通过对定理证明的探究和讨论,体验到数学理论发现和发展的过程,进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
三、设计思想:
培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面,也是高中新课程改革的主要任务。
如何培养学生学会学习、学会探究呢?
这就要求在教学过程中以学生为主体,充分的发挥学生的主观能动性,也就是使学生在教师的指导下,自主进行思考和探究活动。
本节课采用的是探究式课堂教学模式,即在教师的启发引导下,以学生独立自主和合作交流为主,以问题为导向设计教学情境,以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
四、教学目标:
1.在创设日常生活的问题情境中,让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发,由简单到复杂,步步推进,探索和证明正弦定理。
2.通过对实际问题的探索,培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,增强学生的协作能力和交流能力,发展学生的创新意识,培养创造性思维的能力。
3.认识数学知识之间的相互联系,体会数学知识的不断探索和发展的过程,同时培养学生严谨的数学思维。
4.培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法,通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
五、教学重点与难点
教学重点:
正弦定理的探索与证明;正弦定理的基本应用。
教学难点:
正弦定理的探索与证明。
六、教学过程:
(一)创立情景,导入新课
师生活动:
b教师:
展示情景图如图1,船从港口b
航行到港口c,测得bc的距离为600m,
船在港口c卸货后继续向港口a航行,由
于船员的疏忽没有测得ca距离,如果船
上有测角仪我们能否计算出a、b的距离?
学生:
思考提出测量角a,a教师:
若已知测得∠bac=75?
,∠acb=45?
,要计算a、b两地距离,你
(图1)
有办法解决吗?
学生:
思考交流,画一个三角形abc,使得bc为6cm,∠bac=75?
,∠acb=45?
,量得ab距离约为4.9cm,利用三角形相似性质可知ab约为490m。
老师:
对,很好,在初中,我们学过相似三角形,也学过解直角三角形,大家还记得吗?
师生:
共同回忆解直角三角形,①直角三角形中,已知两边,可以求第三边及两个角。
②直角三角形中,已知一边和一角,可以求另两边及第三个角。
。
教师:
引导,?
abc是斜三角形,能否利用解直角三角形,精确计算ab呢?
学生:
思考,交流,得出过a作ad⊥bc于d如图2,把?
abc分为两个直角三角形,解题过程,学生阐述,教师板书。
解:
过a作ad⊥bc于d
ada在rt?
acd中,sin∠acb=
ac
∴ad=acsin∠acb=600=cd
(图2)∠acb=45?
,∠bac=75?
∴∠abc=180-∠acb-∠acb=60b
在rt?
abd中,sin∠abc=
adab
∴ab=ad==sin∠abc
教师:
表示对学生赞赏,那么刚才解决问题的过程中,若ac=b,ab=c,能否用b、b、c表示c呢?
教师:
引导学生再观察刚才解题过程。
adad学生:
发现sinc=,sinb=bc
∴ad=bsinc=csinb
bsinc∴c=sinb
教师:
引导,在刚才的推理过程中,你能想到什么?
你能发现什么?
bsincasincbsina学生:
发现即然有c=,那么也有c=,a=。
sinbsinasinb
bsincasincbsina教师:
引导c=,c=,a=,我们习惯写成对称形式sinbsinasinb
cbcaab===,,,因此我们可以发现sincsinbsincsinasinasinb
abc==,是否任意三角形都有这种边角关系呢?
sianbsisnicn
设计意图:
兴趣是最好的老师。
如果一节课有良好的开头,那就意味着成功的一半。
因此,我通过从学生日常生活中的实际问题引入,激发学生思维,激发学生的求知欲,引导学生转化为解直角三角形的问题,在解决问题后,对特殊问题一般化,得出一个猜测性的结论——猜想,培养学生从特殊到一般思想意识,培养学生创造性思维能力。
(二)数学实验,验证猜想
教师:
给学生指明一个方向,我们先通过特殊例子检验
abc==是否成立,举出特例。
sinasinbsinc
(1)在△abc中,∠a,∠b,∠c分别为60?
,60?
,60?
,对应
的边长a:
b:
c为1:
1:
1,对应角的正弦值分别为
引导学生考察,,,222abc,,的关系。
(学生回答它们相等)sinasinbsinc
(2)、在△abc中,∠a,∠b,∠c分别为45?
,45?
,90?
,对应
的边长a:
b:
c为1:
1:
2,对应角的正弦值分别为22,,1;22
(学生回答它们相等)
(3)、在△abc中,∠a,∠b,∠c分别为30?
,60?
,90?
,对
应的边长a:
b:
c为1:
:
2,对应角的正弦值分别为
(学生回答它们相等)(图3)1,,1。
22
bcb
(图3)
教师:
对于rt?
abc呢?
学生:
思考交流得出,如图4,在rt?
abc中,设bc=a,ac=b,ab=c,
abca则有sina=,sinb=,又sinc=1=,cc
abcc===c则bsinasinbsinc
abc从而在直角三角形abc中,==csinasinbsincab
(图4)abc==教师:
那么任意三角形是否有呢?
学生按事先安排sinasinbsinc
分组,出示实验报告单,让学生阅读实验报告单,质疑提问:
有什么不明白的地方或者有什么问题吗?
(如果学生没有问题,教师让学生动手计算,附实验报告单。
)
学生:
分组互动,每组画一个三角形,度量出三边和三个角度数值,通过实
abc验数据计算,比较、、的近似值。
sinasinbsinc
abc教师:
借助多媒体演示随着三角形任意变换,、、值仍然sinasinbsinc
保持相等。
abc我们猜想:
==sinasinbsinc
设计意图:
让学生体验数学实验,激起学生的好奇心和求知欲望。
学生自己进行实验,体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。
(三)证明猜想,得出定理
师生活动:
教师:
我们虽然经历了数学实验,多媒体技术支持,对任意的三角形,如何
abc==用数学的思想方法证明呢?
前面探索过程对我们有没有启sinasinbsinc
发?
学生分组讨论,每组派一个代表总结。
(以下证明过程,根据学生回答情况进行叙述)
学生:
思考得出
①在rt?
abc中,成立,如前面检验。
②在锐角三角形中,如图5设bc=a,ca=b,ab=c
作:
ad⊥bc,垂足为d
ad在rt?
abd中,sinb=ab
∴ad=ab?
sinb=c?
sinbaad在rt?
adc中,sinc=ac
∴ad=ac?
sinc=b?
sinc
∴csinb=bsinc
cb∴=sincsinb
ac=同理,在?
abc中,cbdsinasinc(图5)abc∴==sinasinbsinc
③在钝角三角形中,如图6设∠c为钝角,bc=a,ca=b,ab=c作ad⊥bc交bc的延长线于d
ada在rt?
adb中,sinb=ab
∴ad=ab?
sinb=c?
sinb
ad在rt?
adc中,sin∠acd=ac
∴ad=ac?
sin∠acd=b?
sin∠acb
∴c?
sinb=b?
sin∠acb
cbb=∴dcsin∠acbsinb(图6)ac=同锐角三角形证明可知sinasinc
abc==∴sinasinbsin∠acb
教师:
我们把这条性质称为正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
abc==sinasinbsinc
还有其它证明方法吗?
学生:
思考得出,分析图形(图7),对于任意△abc,由初中所学过的面积公式
111可以得出:
s?
abc=ac?
bd=cb?
ae=ba?
cf,222
bdae而由图中可以看出:
sin∠bac=,sin∠acb=,abac
cfsin∠abc=bc
∴bd=ab?
sin∠bac,ae=ac?
sin∠acb,cf=bc?
sin∠abc
111ac?
bd=cb?
ae=ba?
cf222
111=ac?
ab?
sin∠bac=cb?
ca?
sin∠acb=ba?
bc?
sin∠abc222∴s?
abc=
【篇三:
正弦定理教案全】
1.1.1正弦定理
教学要求:
通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点:
正弦定理的探索和证明及其基本应用.
教学难点:
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程:
一、复习引入:
1.在任意三角形行中有大边对大角,小边对小角的边角关系?
是否可以把边、角关系准确量化?
2.在?
abc中,角a、b、c的正弦对边分别是a,b,c,你能发现它们之间有什么关系吗?
结论★:
。
二、讲授新课:
探究一:
在直角三角形中,你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗?
abcab
直角三角形中的正弦定理:
sina=sinb=sinc=1即c=.==
ccsinasinbsinc
探究二:
能否推广到斜三角形?
(先研究锐角三角形,再探究钝角三角形)
当?
abc是锐角三角形时,设边ab上的高是cd,根据三角函数的定义,有cd=asinb=bsina,则
acab
.同理,(思考如何作高?
),从而==
sinasincsinasinb
abc
.==
sinasinbsinc
探究三:
你能用其他方法证明吗?
1.证明一:
(等积法)在任意斜△abc当中
111
s△abc=absinc=acsinb=bcsina.
222
1abc
两边同除以abc即得:
==.
2sinasinbsinc
2.证明二:
(外接圆法)如图所示,∠a=∠d,∴同理
aa
==cd=2r,sinasind
bc=2r,=2r.sinbsinc3.证明三:
(向量法)过a作单位向量j垂直于ac,由ac+cb=ab边同乘以单位向量j
得…..
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
a
sina
=
b
sinb
=
c
sinc
=2r
[理解定理]1公式的变形:
(1)a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc(3)a:
b:
c=sina:
sinb:
sinc
(2)sina=(4)
abc,sinb=,sinc=,2r2r2r
abaccb=,=,=
sinasinbsinasincsincsinb
2.正弦定理的基本作用为:
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如a=
bsina
;sin②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sina=sinb。
一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形.3.利用正弦定理解三角形使,经常用到:
ab
1
absinc2
例1已知在?
abc中,c=10,a=450,c=300,求a,b和b.
分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结:
已知两角一边解:
c=10,a=450,c=300∴b=1800-(a+c)=1050
accsina10?
sin450
===102由得a=0
sinasincsincsin30
bccsinb10?
sin1050
=由得b===20sin750=5+520
sinbsincsincsin30
例2?
abc中,c=6,a=450,a=2,求b和b,c
accsina6?
sin450解:
=,∴sinc===
sinasinca22
0?
c180?
∴c=600或1200
csinb6sin750
∴当c=60时,b=75,b===3+1,0
sincsin60
csinb6sin150
∴当c=120时,b=15,b===-1
sincsin600
∴b=+1,b=750,c=600或b=-1,b=150,c=1200练习:
p4——1.2题
例3在?
abc中,b=3,b=600,c=1,求a和a,c
bccsinb1?
sin6001
解:
∵=,∴sinc===
sinbsincb23
bc,b=600,∴cb,c为锐角,∴c=300,b=900∴a=b2+c2=2
【变式】
?
abc中,a=a=1350,b=求b四、小结:
五、课后作业
abc
===k,则k为(2a)sinasinbsinc
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- 正弦 定理 教案 巴巴
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