双曲线知识点及题型总结.docx
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双曲线知识点及题型总结
双曲线知识点及题型总结
1双曲线定义:
1到两个左点戸与鬥的距离之差的绝对值等于左长(<|鬥鬥|)的点的轨迹(||P用一|P创=2“v闪巧|(°为常数))'这两个左点叫双曲线的焦点.
要注意两点:
(1)距离之差的绝对值.
(2)2“<1凡鬥1,这两点与椭圆的立义有本质的不同.
当\MFi\-\MF2\=2u时,曲线仅表示焦点F?
所对应的一支:
当\MF}\-\MF2\=-2a时,曲线仅表示焦点戸所对应的一支:
当2t/=IFiF2l时,轨迹是一直线上以F2为端点向外的两条射线;
当2a>F左时,动点轨迹不存在.
2动点到一左点F的距离与它到一条圧直线/的距离之比是常数&>1)时,这个动点的轨迹是双曲线•这龙点叫做双曲线的焦点,左直线/叫做双曲线的准线
2•双曲线的标准方程:
2222
冷一、=1和二一二=1(a>0,b>0)•这里b2=c2-a\其中丨斤亿二2c・要a2b2a2b2
注意这里的a.b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3•双曲线的标准方程判别方法是:
如果,项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果十项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一泄大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4•求双曲线的标准方程,应注意两个问题:
(1)正确判断焦点的位置;
(2)设出标准方
程后,运用待上系数法求解.
5.曲线的简单几何性质
冷-寻=1(QO,Q0)
⑴范围:
LvlMsyGR
⑵对称性:
关于八y轴均对称,关于原点中心对称
⑶顶点:
轴端点儿(一⑺0),a2ao)
222
①若双曲线方程吟-汁0渐近线方程汁
⑷渐近线:
22
2若渐近线方程为y=±2天二>丄±上=0=>双曲线可设为二一二=入
aabcrZr
2222
3若双曲线与2-二=1有公共渐近线,可设为2-亠=九(九>0,焦点在X轴
crZrcrZr
上,入<0,焦点在y轴上)
4特別地当a=b时o离心率e=41O两渐近线互相垂直,分别为y=±x,此时双
曲线为等轴双曲线,可设为,一b=X;y^=-x9y=--x
aa
222
⑸准线:
/i:
x=-—./2:
a^—,两准线之距为K\K==2•二
ccc
⑹焦半径:
『片|=e(x+^)=ex+",(点P在双曲线的右支上x>a);
\PF,\=e(--x)=ex-a,(点P在双曲线的右支上x>a):
c
当焦点在y轴上时,标准方程及相应性质(略)•
2222
⑺与双曲线4-4=1共渐近线的双曲线系方程是匚-匚=久("0)’
cr『eVb・
x2v2x2v2
⑻与双曲线—=1共焦点的双曲线系方程是一-一=1b・cr+k次_k
6曲线的内外部
222
r-vr-v
⑴点Pg,儿)在双曲线一一「r=1(。
>>0)的内部o£•—>1・
crb・crb~
⑵点P(x^y0)在双曲线匚一匚=1(“>0,b>0)的外部o第一典v1.
a-b~a~b~
7曲线的方程与渐近线方程的关系
2222
(1)若双曲线方程为二一二=1二>渐近线方程:
二一.=0oy=±-x・
aZrcrb~a
(2)若渐近线方程为y=±-xO-±-=0=>双曲线可设为二—二=九.
aab/Zr
2222
⑶若双曲线与二一孚=1有公共渐近线,可设为二一匚=九(九>0,焦点在X
aZrcrZr
轴上,X<0,焦点在y轴上)・
8双曲线的切线方程
⑴双曲线4-4=1(«>0^>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是罟一嚳=1・矿Zrcr/r
X2y2
(2)过双曲线—=1(«>0,^>0)外一点P(x0,>'0)所引两条切线的切点弦方程是
兀兀Joy_1
22
(3)双曲线2-「=1@>0』>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是cr
A2a2一B2b2=c2.
9线与椭圆相交的弦长公式网=J(西-曲+⑶-沙
若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点分别为A(xuyi).
B(X2,y2),则弦长卜科=Jl+疋.卜三-x(|=/1+川)[(坷+勺)2—4兀兀]
=—川=j(i+g)・[(x+儿尸一4“儿],这里体现了解析几何“设而不
求”的解题思想;
高考题型解析
题型一:
双曲线定义问题
1•“ab<099是“曲线(用"宀1为双曲线”的()
A.充分不必要条件B.必要•不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
2•若RwR,则“心3”是“方程壬一£=i表示双曲线”的()
k_3£+3
A.充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D•既不充分也不必要条件.
22
3•给出问题:
0、&是双曲线匚—=1的焦点,点P在双曲线上•若点P到焦点Fi1620
的距离等于9,求点P到焦点F?
的距离•某学生的解答如下:
双曲线的实轴长为8,由
IIPFiI-IPF2II=8,即19-IPFi11=8>得IPF2I=1或17.
该学生的解答是否正确?
若正确,请将他的解题依据填在下而横线上;若不正确,
将正确结果填在下而横线上.・
4•过双曲线x:
-y:
=8的左焦点&有一条弦PQ在左支上,若|PQ|二7,&是双曲线的右焦点,则APFg的周长是・题型二:
双曲线的渐近线问题
2
1•双曲线:
£
4
2±詐
2
一宁=1的渐近线方程是()
29
B.y=±-xC・v=±-x
34
D.尸土-x
9
2.过点(2,
—2)且与双曲线工一』1有公共渐近线的双曲线方程是()
22
222
32
•>
心一二
=1B丄一「1cX-
—=1D.—
一「1
24
424
22
4
题型二:
双曲线的离心率问题
22
1已知双曲线为一方=1(Q0.b>0)的左右焦点分别为Fi、Fi.点P在双曲线的右支上,且丨PFi|=4|PF2I,则此双曲线的离心率£的最大值为()
457
A.亍B.亍C・2D・〒
线分别相交于B、C,且IABITBCI,则双曲线M的离心率是()
1■■厂>/i()•>/?
A.V10B・(5C.~^~D~
4.在给左双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为、於,焦点到相应准线的距离为亍,则该双曲线的离心率为()
A.匹B.2C.a/2D.2V2
2
22
5••已知双曲线亠-二=l(a>0・b<0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。
的直线与crZr
双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2)B.(1,2)C・[2,+8)D・(2,+8)
题型四:
双曲线的距离问题
1•设P是双曲线4-—=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x—2v=0,F】、尺分cr9
别是双曲线的左、右焦点•若IPF43,则PFT等于()
A」或5B.6C.7D.9
22
2•已知双曲线匚-二=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一
124
个交点,则此直线斜率的取值范围是
A-(~T'T)込D-[-V3.V3]
3•已知圆C过双曲线二二=1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆916
心到双曲线中心的距离是•
题型五:
轨迹问题
1.已知椭圆F+2J2=8的两焦点分别为Fl、F2,A为椭圆上任一点。
AP是JAF1F2的外
角平分线,且乔•乔=0•则点P的轨迹方程是.
2.双曲线.2—>2=4的两焦点分别为F「F2,A为双曲线上任一点。
AP是ZFjAF2的
平分线,且乔•可7=0.则点P的轨迹是()
A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.圆的一部分D.抛物线的一部分
3求与圆(x-3)2+b=1及(兀+3尸+于=9都外切的动圆圆心的轨迹方程.
高考例题解析
1.已知片,F?
是双曲线^-y2=1的左、右焦点.P、Q为右支上的两点,直线PQ过耳,
2
且倾斜角为a,则『可+1。
用一|PQ|的值为()
A.4迈B8C2V2D随a的大小变化
答案:
A,解析:
用双曲线定义列方程可解
2•过双曲线2,_y2-2=0的右焦点作直线/交曲线于A、B两点,若困=4则这样的直线存在()
A0条B1条C,2条D3条
答案:
D.解析:
/丄x轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条;过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条.
1xLv|v2
3•,直线『=一丄x+5与曲线丄1+二=1的交点个数是()
29
A0个B:
1个C,2个D:
3个。
答案:
D,解析:
(0.5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交于两点.
兀22
4.P为双曲线—--^=1上一点,仟为一个焦点,以PF】为直径的圆与圆疋+y2=/crb・
的位置关系为()
A,内切B外切C内切或外切D.无公共点或相交.
答案:
C解析:
用两圆内切或外切的条件判断
工2
5•设片,厲是双曲线—~y2=\的两个焦点,点P在双曲线上且满足ZFfF?
=90°,
则'PF'F?
的而积为()
A,1B;—C,2D.a/5
2
答案:
A:
解析:
勾股泄理,双曲线泄义联立方程组h或而积公式
&设心只是双曲线一-尸=1的左、右焦点.P在双曲线上当M\P几的面积为1
3时,岳•两的值为()
A,0B,1C-D.2
2
答案:
A解析:
不妨设xp,yp>0,由g•2c•儿=1=寺,
P習,爭,.丽丽誓爭,丽(炉辱爭阿•丽07•,过点A(0,2)可以作—条直线与双曲线^2-—=1有且只有一个公共点,
4
答案:
4,解析:
数形结合,两切线.两交线,
过点P(4,4)且与双曲线話一备=1只有一个交点的直线有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
解析:
如图所示,满足条件的直线共有3条・
8.已知A(3,2),M是双曲线H:
宀才“上的动点,理是H的右焦点,求
\AM\+丄|M场|的最小值及此时M的坐标。
2
解:
由€=2,则|AM|+||MF2|=|AM|+i^J
=\AM\+|MA/J>|AA|=3--=-此时M的坐标(—,2)
223
2
9.已知双曲线C:
X2-—=l(x>l),一条长为8的弦AB两端在C上运动,
3
AB中点为则距y轴最近的M点的坐标为c
y
A,
/
—M
X
、
\1一B
/
Bi
\\
/
、
解:
2IMM.|=|AA|+|=1(|AF|+\BF\)
又—2=2,贝
2b2
当且仅^F^AB时.取“,由逆径=——=6v8,故可取“二”
a
xo=|MMJ+㊁=2+空=才乂由kOM'kFM=—^=3
即号•畧=
22
/0.P为双曲线”一台=1右支上一点,M、N分别是圆(x+4)2+y2=4和(兀一4尸+
尸=1上的点,则PM\-\PM的最大值为・
解析:
双曲线的两个焦点为斤(一4,0)、尺(4,0),为两个圆的圆心,半径分别为n=2,2-=b/胡*=PF—+2、PN\^=啟一1,故\PM-|^\1的最大值为(曲+2)—(啟-1)=朋—啟+3=5.答案:
5
•直线/:
y=kx+1与双曲线C:
2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B。
(I)求实数比的取值范用:
(II)是否存在实数£,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?
若存在,求出k的值。
若不存在,说明理由。
解:
(I)将直
/的方程y=心+1代入双曲线C的方程2,_b=1后,整理得
伙2一2)/+2心+2=0.……①
依题意,直线/与双曲线C的右支交于不同两点,故
宀2工0,
△=(2好_8仗2_2)>0,
<_-2L.〉0解得R的取值范围是-2 2 -3->o. 1疋-2 假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c0).则由FA丄FB得: (“-c)(x2一c)+y』2=°・ 即(X]—C)(x2一c)+伙X]+1)伙吃+1)=0・ 整理得 伙'+l)XjX2+(k-C)(X]+x2)+c2+\=0.③ 把②式及C=虫代入③式化简得 2 5/+2危-6=0. 解得p=_匕亠[或鸟=二11e(—2,-血)(舍去) 可知R=—二^使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点. (四川卷)9.已知两左点斤(一运,0),鬥(、伍,0),满足条n\PFi\-\PFy\=2的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-l与曲线E交于A、B两点。 (I)求k的取值范围: (H)如果\AB\=6^3,且曲线E上存在点C,使OA+OB=mOC.求创的值和AA3OK面积S° 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。 满分14分。 解: (I)由双曲线的左义可知,曲线E是以/•(-V2,0),f;(72,0)为焦点的双曲线的左支, 且c=y/2,a=l,易知b=\ 故曲线£的方程为x2-y2=l(x<0) 设由题意建立方程组]);=乌_1 消去y,得(1一疋)/+2匕一2=0 又已知直线与双曲线左支交于两点A.B,有 1一宀0 •/\AB\=>/\+k2-|xj-x2\=Jl+£‘・J(£+£)_4為兀2=时』炒J®忌 (1+,)(2一,) 0-^2)2 依题意得2卩冲2一/)=6运V(皿『 整理后得28/-55k2+25=0 ・・.疋=丄或疋=? 74 但-血vkv-1・・.*=一遁 2 故直线AB的方程为fx+y+1=0 2 设C(心y()),由已知OA+OB=mOC,得(易」)+(吃』2)=(〃%"$()): (mxojny())=土匕.,21^21],(加工0) Vmni) 2厂2k22 又召+心=p7^=-4岳,“+北=*(州+吃)一2=^j—2=p^j=8・••点d虫上]mm、 将点C的坐标代入曲线E的方程,得竺-绞=1得〃7=±4, 但当m=_4时,所得的点在双曲线的右支上,不合题总 ・••加=4,点C的坐标为(―点2) C到AB的距离为£><(-踮)+2+1i •••MBC的而积S=丄x6y[3x-=J亍 23 练习题 1•已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(JT・0),直线y=x—l与其相交于卜1、N两 2 点,MN中点的横坐标为・一,则此双曲线的方程是() 3 A.兰B・^1-21=1C・兰_£二1D・£-21=1 TT435225 2•双曲线虚轴的一个端点为M.两个焦点为F八5,ZF/MF2=120°,则双曲线的离心率为() A.V3B.色C•鱼D. 233 3、已知双曲线=1(">0,〃>0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点 a1h' A,AOAF的而积为尤(0为原点),则两条渐近线的夹角为() 2 A・30°B.45。 C・60°D.90° 4、已知双曲线的两个焦点为F,(-V5,0),F2(V5,0),P是此双曲线上的一点,且 P片丄PF“IPFJ"PFJ=2,则该双曲线的方程是 5、已知F】、F? 是双曲线£l-Z=i(t/>oj7>O)的两焦点,以线段FR为边作正三角a2b2 形MFiF? 若边MF】的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是() A.4+2巧B.>/3-1C.~~1D.V3+1 2 6•直线尸卄3与曲线-出+22=1的交点的个数是() 44 (A)0个(B)1个(02个(D)3个 7.若双曲线*一尸=1右支上一点P(“,b)到直线y=x的距离是迈,则“+b的值为 ()O (A)--(B)-(C)一丄或丄(D)2或一2 2222 r2v2 8•已知点F是双曲线~p=\(a>0.b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于X轴的直线与双曲线交于A、B两点,若ZkABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率£的取值范围是() A・(1,4-00)B・(1,2)C・(1.1+V2)D・(2,1+迈) 9•设P为双曲线S-y: =l上一动点,0为坐标原点,H为线段0P的中点,则点M的轨 4 迹方程是・ 10•求与圆A: (a+5)2+^=49和圆B: (x—5)2+^=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为> 11.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(V3,0) (1)求双曲线C的方程: (2)若直线/: y=kx+JI与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OAOB>2(其中O为原点)•求k的取值范用. 12•已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(萌,0). (1)求双曲线C的方程; (2)若直线: mHO)与双曲线C交于不同的两点MA;且线段血•的垂直平分线过点川0,—1),求实数山的取值范国. 2•已知匚竹是双曲线2L->L=i«>”>())的左、右焦点,过仟且垂直于x轴的直a2b2 线与双曲线的左支交于A、B两点,若^ABF2是正三角形,那么双曲线的离心率为() A.41B.y/3C.2D.3 F上=1 3•过双曲线M: X的左顶点A作斜率为1的直线匚若/与双曲线M的两条渐近
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