高考数学人教A版理一轮复习配套讲义第2篇 第7讲 函数的图象.docx
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高考数学人教A版理一轮复习配套讲义第2篇第7讲函数的图象
第7讲 函数的图象
[考纲]
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式的解的问题.
知识梳理
1.函数的图象及作法
2.图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y=f(x)
y=-f(x);
②y=f(x)
y=f(-x);
③y=f(x)
y=-f(-x);
④y=ax(a>0且a≠1)
y=logax(a>0且a≠1).
(3)翻折变换
①y=f(x)
y=|f(x)|.
②y=f(x)
y=f(|x|).
(4)伸缩变换
①y=f(x)
y=
af(x)(a>0)
②y=f(x)
y=f(ax)(a>0)
辨析感悟
1.图象变换问题
(1)为了得到函数y=lg
的图象,只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.()
(2)若函数y=f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()
(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.()
(4)函数y=2|x-1|的图象关于直线x=1对称.()
(5)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到函数y=f(-x-1)的图象.()
2.图象应用问题
(6)(2013·汉中模拟改编)方程|x|=cosx在(-∞,+∞)内有且仅有两个根.()(√)
(7)(2013·洛阳调研改编)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点P
所在的象限为第二象限.()
[感悟·提升]
三个防范 一是函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”,但要注意加、减指的是自变量,如(5);
二是注意含绝对值符号的函数的对称性,如y=f(|x|)与y=|f(x)|的图象是不同的,如(3);
三是混淆条件“f(x+1)=f(x-1)”与“f(x+1)=f(1-x)”的区别,前者告诉周期为2,后者告诉图象关于直线x=1对称,如
(2).
考点一 函数图象的辨识
【例1】(2013·山东卷)函数y=xcosx+sinx的图象大致为( ).
规律方法函数图象的识辨可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.
【训练1】
(1)(2014·潍坊模拟)函数y=xsinx在[-π,π]上的图象是( ).
(2)函数y=x+cosx的大致图象是( ).
考点二 函数图象的变换
【例2】函数f(x)=
则y=f(1-x)的图象是( ).
规律方法作图象平移时,要注意不要弄错平移的方向,必要时,取特殊点进行验证;平移变换只改变图象的位置,不改变图象的形状.
【训练2】(2013·江南十校联考)函数y=log2(|x|+1)的图象大致是( ).
考点三 函数图象的应用
【例3】
(1)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有( ).
A.10个B.9个C.8个D.1个
(2)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是________.
规律方法
(1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断方程是否有解,有多少个解.数形结合是常用的思想方法.
(2)利用图象,可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质.
【训练3】已知函数f(x)=|x2-4x+3|.
(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;
(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.
1.掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧,来帮助我们简化作图过程.
2.识图的要点:
重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x、y轴的交点,最高、最低点等).
3.识图的方法
(1)定性分析法:
对函数进行定性分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决;
(2)定量计算法:
通过定量的计算来分析解决;
(3)排除法:
利用本身的性能或特殊点进行排除验证.
4.研究函数性质时一般要借助于函数图象,体现了数形结合思想;
5.方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决.
营养餐
利用数形结合思想求参数的范围
【典例】已知不等式x2-logax<0,当x∈
时恒成立,求实数a的取值范围.
[反思感悟]
(1)“以形助数”是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法,解决此类问题的关键在于准确作出不含参数的函数的图象,并标清一些关键点,对于含参数的函数图象要注意结合条件去作出符合题意的图形.
(2)当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.
【自主体验】
(2014·黄冈调研)设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是________.
自助餐
基础巩固题组
一、选择题
1.(2013·青岛一模)函数y=21-x的大致图象为( ).
2.(2013·福建卷)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( ).
3.(2014·日照一模)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( ).
4.(2013·东营模拟)已知函数y=f(x)的大致图象如图所示,
则函数y=f(x)的解析式可以为( ).
A.f(x)=exlnxB.f(x)=e-xln(|x|)
C.f(x)=exln(|x|)D.f(x)=e|x|ln(|x|)
5.已知函数f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1),f(2011)·g(-2012)<0,则y=f(x),y=g(x)在同一坐标系内的大致图象是( ).
二、填空题
6.函数y=(x-1)3+1的图象的对称中心是________.
7.若方程|ax|=x+a(a>0)有两个解,则a的取值范围是________.
8.(2013·长沙模拟)已知函数f(x)=
且关于x的方程f(x)-a=0有两个实根,则实数a的范围是________.
三、解答题
9.已知函数f(x)=
.
(1)画出f(x)的草图;
(2)指出f(x)的单调区间.
10.设函数f(x)=x+
的图象为C1,C1关于点A(2,1)对称的图象为C2,C2对应的函数为g(x).
(1)求g(x)的解析式;
(2)若直线y=m与C2只有一个交点,求m的值和交点坐标.
能力提升题组
一、选择题
1.(2014·济南4月模拟)函数y=x2+
的图象大致为( ).
2.函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式
<0的解集为( ).
A.
B.
C.
D.{x|-1<x<1}
二、填空题
3.(2013·广州模拟)已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则k的取值范围是________.
三、解答题
4.已知函数f(x)=|x2-4x+3|.若关于x的方程f(x)-a=x至少有三个不相等的实数根,求实数a的取值范围.
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