最新初中数学动态几何探究题汇总大全.docx
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最新初中数学动态几何探究题汇总大全
最新初中数学动态几何探究题汇总大全
【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,
以及特定图形的判定和性质•一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用•
【解题策略】解答几何综合题应注意:
(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助
线补全或构造基本图形.
(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解
决几何计算问题•还要灵活运用其他的数学思想方法等•
【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题•这类问题的主要特点是包含知识点多、
覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活•解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含
的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于
联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决•
【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目•值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综
合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势•
为了复习方便,我们将几何综合题分为:
以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.
类型1操作探究题
1.在Rt△ABC中,/C=90°,Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置,点E在斜边AB上,连接BD,过点D
作DF丄AC于点F.
(1)如图1,若点F与点A重合,求证:
AOBC;
⑵若/DAF=ZDBA.
1如图2,当点F在线段CA的延长线上时,判断线段AF与线段BE的数量关系,并说明理由;
2当点F在线段CA上时,设BE=x,请用含x的代数式表示线段AF.
解:
⑴证明:
由旋转得,/BAC=ZBAD
•/DF丄AC,
•••/CAD=90°.
•••/BAC=ZBAD=45°.
•••/ACB=90°,
•••/ABC=45°.
•AC=BC.
⑵①AF=BE.理由:
由旋转得AD=AB,「./ABD=ZADB.
•••/DAF=ZABDDAF=ZADB.
•AF//BD.aZBAC=ZABD.
•••/ABD=ZFAD由旋转得/BAC=ZBAD.
•••/FAD=ZBAC=ZBAD=1/3X180°=60°.
由旋转得,AB=AD.「.AABD是等边三角形.二AD=BD.
在厶AFD和厶BED中:
1./F=./BED=90;2.AD=BD3./FAD=ZEBDAFD^ABED(AAS).:
AF=BE.
②如图
由旋转得/BAC=ZBAD.
•••/ABD=ZFAD=ZBAOZBAD=2/BAD
由旋转得AD=AB,
•••/ABD=ZADB=2/BAD.
•••/BAD^ZABD^ZADB=180°,
•••/BAD^2ZBAD^2ZBAD=180°./-ZBAD=36°.
设BD=a,作BG平分ZABD
•ZBAD=ZGBD=36°.•AG=BG=BD=a.
•DG=AD-AG=AD-BG=AD-BD.
•••ZBDG=ZADBBD3AADB.
•BD/AD=DG/DB./.BD/AD=(AD-BD)/BD「.AD/B»(1+根号5)/2。
•ZFAD=ZEBDZAFD=ZBEDAFMABED.
•BD/AD=BE/AF.•AF=BD/AD-BE=(1+根号5)/2*x.
2.如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2ODOE=2OC然后以
OGOE为邻边作正方形OEFG连接AGDE.
G
图1E图2
(1)求证:
DELAQ
⑵正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转a角(0° 1在旋转过程中,当ZOAG是直角时,求a的度数; 2若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF'长的最大值和此时a的度数,直接写出结果不必说明理由. 解: (1)证明: 延长ED交AG于点H, ••点O是正方形ABCD两对角线的交点, •OA=ODOALOD. 在厶AOG^D^DOE中,1.OA=OD2.ZAOG=ZDOE=90°;3.OG=OE •△AOG^ADOE.: /AGO=ZDEO. •••/AGO/GAO=90°,「./GAO/DEO=90°. •••/AHE=90°,即卩DE丄AG. (2)①在旋转过程中,/OAG成为直角有两种情况: (I)a由0°增大到90°过程中,当/OAG=90°时, OA=OD=1/2*OG=1/2*OG', •••在Rt△OAG中,sin/AGO=OA/OG=1/2 •/AGO=30°. •/OALODOALAG',•OD//AG. •/DOG=/AGO=30°,即a=30°. (n)a由90°增大到180°过程中,当/OAG=90°时, 同理可求/BOG=30°,「.a=180°-30°=150°. 综上所述,当/OAG=90°时,a=30°或150°. ②AF'的最大值为2分子根号2+2,此时a=315°. 提示: 如图 I Ifq'jI //辿"I 当旋转到A,O,F'在一条直线上时,AF的长最大, •••正方形ABCD的边长为1, •OA=OD=OC=OB=2分子根号2. •/OG=2OD•-OG=OG=.•OF'=2. •AF'=AO^OF=2分子根号2+2.v/COE=45°,二此时a=315°. 3.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM. (1)当AN平分/MAB寸,求DM的长; ⑵连接BN当Dg1时,求△ABN的面积; ⑶当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值. 丁 n d a .J 解: (1)由折叠可知△ADM •••/MAN=ZDAM. •/AN平分/MAB •••/MAN=ZNAB. •••/DAM=ZMAN=ZNAB. •••四边形ABCD是矩形, •••/DAB=90°.DAM=30°. •DM=AD-tan/DAM=3X3分子根号3=根号3。 ⑵如图1,延长MN交AB延长线于点Q. •••四边形ABCD是矩形,•AB//DC. •••/DMAfZmaq. 由折叠可知△ANN^AADM •••/DMAfZAMQAN=AD=3,MN=MD=1. •••/MAQ=ZAMQ. •mqfaq. 设NQ=x,贝yAQ=MQ=1+x. 在Rt△ANQ中,AQ2=AN平方+NQ平方, •(x+1)平方=3的平方+x的平方.解得x=4. NQ^=4,A(Q=5. TAB=4,AQ=5, •••SANAB=4/5*S,△NAQ=4/5•1/2•AN-NQ=24/5. (3)如图2,过点A作AFUBF于点九则厶ABHTABFC•BH/AH=CF/BC. AHKANh3,AB=4, •当点N,H重合(即AH=AN)时,DF最大.(AH最大,BH最小,CF最小,DF最大) 此时MF重合,B,N,M三点共线,△ABH^ABFC(如图3), •DF的最大值为4—根号7 类型2动态探究题 4. (2016•自贡)已知矩形ABCD勺一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处. ⑵如图2,在 (1)的条件下,擦去折痕AO线段OP连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P,A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BNhPM连接MN交PB于点F,作ME! BP于点E.试问当动点MN在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化? 若变化,说明变化规律•若不变,求出线段EF的长度. 解: (1)•••四边形ABCD是矩形,•••/C=Z»90° •••/APD^ZDAP=90°. •••由折叠可得/APO=ZB=90°, •ZAPD^ZCPO=90°.•••/CPO=ZDAP. 又tZ»ZC,「.AOCMAPDA.tAOCPM^PDA的面积比为1: 4, 设OP=x,贝UCO=8-x.在Rt△PCO中,ZC=90°, 由勾股定理得 B的坐标是(5,2),点P E,交CB边于点M且Z x'=(8-xy+4- (1)当x为何值时,OPLAP? (2)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围; (3)在点P的运动过程中,是否存在x,使△OCM勺面积与△ABP的面积之和等于厶EMP的面积.若存在,请求值;若不存在,请说明理由. 解: (1)由题意知OA=BC=5,AB=OC=2,ZB=ZOC申90°,BC//OA. •/OPLAP, •••/OPCFZAPB=ZAPB^ZPAB=90°. •••/OPC=ZPAB. •••△OPSAPAB. *CP_OCsnx_2 '^AB^PB即厂匚? 解得x1=4,x2=1(不合题意,舍去). .•.当x=4时,OPLAP. (2)TBC//OACPO=ZAOP. •••/AOP=ZCOI\/I./COW/CPO. •••/OCI^ZPCO•△OCMhAPCO. ”CNLCO rC^~CP •y=x—4/x(2 ⑶存在x符合题意•过点E作ED丄OA于点D,交MP于点F,贝UDF=AB=2. •/△OCMffAABP面积之和等于△EMP的面积, •••§△EOA=S矩形OABC=2X5=1/2•5ED. ED=4,EF=2. •/PM//OA•△EMP^EOA. …EDOA即43、 解得y=5/2. 二由 (2)y=L*'得兀一厶壬. xx2 解得耳尸害,血二近画不合题意舍去〕. 44 二在点P的运动过程中‘存在%=-—-‘使△OCX1与△ABF面积之乐皓于AEAIP的面积. 4 6.如图1,矩形ABCD的两条边在坐标轴上,点D与坐标原点O重合,且AD=8,AB=6.如图2,矩形ABCD沿O B方向以每秒1个单位长度的速度运动,同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD勺边AB经 过点B向点C运动,当点P到达点C时,矩形ABCD和点P同时停止运动,设点P的运动时间为t秒. (1)当t=5时,请直接写出点D,点P的坐标; (2)当点P在线段AB或线段BC上运动时,求出△PBD的面积S关于t的函数关系式,并写出相应t的取值范围; (3)点P在线段AB或线段BC上运动时,作 PE±x轴,垂足为点巳当厶BCD相似时,求出相应的t值. 解: (1)D(-4,3),P(-12,8). ⑵当点P在边AB上时,BP=6-t. •S=0.5BP•AD=0.5(6-t)•8=-4t+24. 当点P在边BC上时,BP=t-6. •••S=0.5BP•AB=0.5(t—6)•6=3t—18. AS= -41+24(0^fS6>, 册巩予扣当点P在边AB上时*汁孕产二=女? 解得t=6 ^4-S 5 当等浄寸’十|「解得WgtS~L■B 5 时点P不在边上‘不合题意当点? 在边BC上时宀一冷+新分6)■ 4+6 ,——-、解得E一若匹 17S°E 5 T(5WtW14‘寸,点P不在边BC±,不合题意.二当1=(5时■△卩己^与厶BCD相佩. 类型3类比探究题 7.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F. (1)求证: PC=PE; ⑵求/CPE的度数; ⑶如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD其他条件不变,当/ABC=120°时,连接CE试探究线段AP与线段CE 的数量关系,并说明理由. 解: (1)证明: 在正方形ABCD中AB=BC,/ABP=ZCBP=45在厶ABP和厶CBP中,1.AB=BC;2.PB=PB;3./ABP=ZCBP •△ABP^ACBP(SAS).•PA=PC. 又•••PA=PE二PC=PE. (2)由 (1)知,△ABP^ACBP •••/BAP=ZBCP.aZDAP=ZDCP. •/PA=PE,: /DAP=ZE. •••/DCP=/E. •••/CFP=/EFD(对顶角相等), •180°—/PFOZPCF=180°-/DFE-/E, 即/CPF=/EDF=90°. (3)在菱形ABCD中,AB=BC,/ABP=/CBP=60°, 在厶ABP和厶CBP中,1.AB=BC;2.PB=PB;3./ABP=/CBP •△ABP^ACBP(SAS). •PA=PC,/BAP=/BCP. •/PA=PE,: PC=PE.: /DAP=/DCP. •/PA=PE,: /DAP=/AEP. •/DCP=/AEP. •••/CFP=/EFD(对顶角相等), •••180°—/PFC-/PCF=180°—/DFE-/AEP 即/CPF=/EDF=180°—/ADC=180°—120°=60°. •△EPC是等边三角形.•••PC=CE. •AP=CE. 8.已知AC,EC分别为四边形ABCD和EFCG勺对角线,点E在厶ABC内,/CA冉/CBE=90 (1)如图1,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF. ①求证: △CAE^ACBF; ②若BE=1,AE=2,求CE的长; 解: ⑴证明: ①•••四边形ABCD和EFCG匀为正方形, •••/ACB=45°,/ECF=45°. •△CAE^ACBF. ②•••△CAE^ACBF,CAE=/CBF,AE/BF=根号2. •BF=根号2. 又/CAE^ZCBE=90°, •••/CBF^ZCBE=90°,即ZEBF=90°. \CE: =2EF-=2tBE: +37^—6. 解得CE=根号6. ⑵连接BF, •/AB/BC=EF/FC=k,ZCFE=ZCBA •△CFE^ACBA. •ZECF=ZACBCE/CF=AC/BC. •••/ACE^ZBCF.•••△AC0ABCF.a/CAB/CBF. •••/CA冉ZCBB90°,•/CBF^ZCBB90°, 即ZERF=9L,.'.BC: AB: AC=1: k: 冷十j, CF: EF: E81: k: 停TL二乎=鉉=停TL ~y-.B? ,bF=^^.\CF=^±_1eF1=^±-1(BE2+BF^.0+10k;17 P+Mv).解得k=4^.(3](P-ii=(2+^)m 解: ⑴证明: TZABC=90°,「.ZABD=90°—ZDBC. •/DE是直径, •ZDBE=90°. •ZE=90°—ZBDE. •/BC=CD,•••/DBC=ZBDE. •ZABD=ZE. vZBAD=ZDAB•△ABD^AAEB. ⑵TAB: BC=4: 3, 二设AB二牡,BC=3k./,AC-^AB: +BC=-5k//BC-CD=3k, .\AD-AC-CD=2k.'? AABD^AAEB, /.^=^=~/.AB;=ADAE./.(4k^=2kAE..\AE=SL AEABBE 在松DBE中,砸二警瞥診》 (3泡点F作FM丄AE于点M 由(2渕,AB=4k,BC=3k,AD=2k,AC=5k,刚AE=8k‘DE=6k.? AF平分ZBAC, SzjtEEEFAE ■;眶经'聪」,.仏E=^伽E=适二归座 EFSk2255DE5 二BE二业区二EF=^BE=^k“)f证=逻=逅 535EF5 丁㈱rE=g、二'怔二2\IF=¥kJ.从仁AE-'IE二 10.如图,在Rt△ABC中,/ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F.OO是△BEF的外接圆,/EBF的平分线交EF于点G,交OO于点H,连接BD,FH. (1)试判断BD与O0的位置关系,并说明理由; ⑵当AB=BE=1时,求OO的面积; ⑶在⑵的条件下,求HG・HB的值. 解: ⑴直线BD与OO 相切.理由: 连接OB. •/BD是Rt△ABC斜边上的中线,•••DB=DC. •••/DBC=ZC. •/OB=OE : 丄OBIOEB. 又•••/OEB=ZCED•••/OBE=ZCED. •/DF丄AC,CDE=90°. •••/C+ZCED=90°. •••/DBC+ZOBE=90°. •BD与OO相切. ⑵连接AE. 在Rt△ABE中,AB=BE=1,•AE=根号2. •/DF垂直平分AC,•CE=AE=根号2.•BC=1+根号2. •/ZC+ZCAB=90°,ZDFA+ZCAB=90°,「・ZACB=ZDFA.又ZCBA=ZFBE=90°,A B=BE,「.ACAB^AFEB. .\BF-BC=1+P+(1+^)—4+2^. (3)/AB=BEZABE=90°, •ZAEB=45°. •/EA=EC,•••/C=22.5°. •ZH=ZBEG=ZCED=90°-22.5°=67.5 •/BH平分ZCBF, •ZEBG=ZHBF=45°. •ZBGE=ZBFH=67.5°. ABG=BE=1BH=BF=l+#2. 二HB-HG=a/2X(1+^)=2+a/5. 11.如图,在△ACE中,CA=CE/CAE=30°,OO经过点C,且圆的直径AB在线段AE上. (1)试说明CE是OO的切线; ⑵若厶ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示OO的直径AB (3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点 解: ⑴证明: 连接OC. •/CA=CE,/CAE=30°, •••/E=ZCAE=30。 ,/COE=2/A=60°. •••/OCE=90° •CE是OO的切线. t驸乍OF平分ZAOC'交00于点「连接AF,CF、DP 则ZAOT=ZC0F=^ZA0C^ix(18a*-60Q)=60*. 22 ■/OA=OF=OC,.\AAOF? ACOFS等边三角形. 「・AF=mO=OC=FCI*四边形AOCF是菱形* 二根抿对称悝可猜DF=DO过岂D作ELLOC于点M“ VOA=OC•;.ZOCA=ZOAC=30°. .\DM=DCj^ZDCM=DCj^30*=|d€: .^D+OD=DM+FD 根据两点之廉疼殳最短可得: 当P・D“三点共綁扌DM+FD(即知40D蜃小址閃FM=OFj^ZFOM=^OF=6•则0F=4j5AB=2OF=s£「苗|CD+OD的最小值対S时•00的直径AB的长为曲. EP= 12.如图,已知AB是OO的直径,BP是OO的弦,弦CD±AB于点F,交BP于点G,E在CD的反向延长线上, EG (1)求证: 直线EP为OO的切线; ⑵点P在劣弧AC上运动,其他条件不变,若BG2=BF•BO试证明BdPG ⑶在满足⑵的条件下,已知OO的半径为3,sinB=根号3/3.求弦CD的长. 解: ⑴证明: 连接OP. •/EP=EG •••/EGP=ZEGP•又•••/EGP=ZBGF •••/EPG^ZBGF.tOP=OB •••/OPB=ZOBP.vCDLAB,: /BGF^ZOBP=90°. •••/EPG^ZOP=90°,即/EPO=90°.•直线EP为OO的切线. ⑵证明: 连接OGAP.•/BG2=BF•BQ•BG/BC=BF/BG 又•••/GB1OBGBF3ABGO. •••/BGF=ZBOG/BGO=ZBFG=90°. •••/APB=ZOGB=90°,「.OGIAP.又;AO=BQ•BG=PG. (3旌接AC、BC. \£汨=鱼,二^=d.T0B=「3,「・OG=$ 3OB3 由 (2){§ZEPG+ZOPB=90ZB4-ZBGF=ZOGF+ZBC*G=90°、 R';ZBGF=ZBOG/-ZB^ZOGE J.s;>: ZOGF=y=^-J.OF=l./.BF=BO-OF=3-1=2•FA=OF+OA=1+3=4. 在中,CF2=BFFA>.\CF=-^FFA=^X4=2-^.;,CD=2CF=4-^. 13.如图,在△AOB中,/AOB为直角,OA=6,OB=8,半径为2的动圆圆心Q从点O出发,沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点A出发,沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0vt<5)以P为圆心,PA长为半径的OP与AB,OA的交
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