概率论习题解答第4章.docx
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概率论习题解答第4章
概率论习题解答(第4章)
第4章习题答案
三、解答题
1.设随机变量的分布律为
X
–2
0
2
pi
求,,.
解:
E(X)==+0+2
E(X2)==4+0+4
E(3X+5)=3E(X)+5=3
2.同时掷八颗骰子,求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望.
解:
记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi,则Xi的分布律为
记掷8颗骰子所掷出的点数为X,同时掷8颗骰子,相当于作了8次独立重复的试验,
E(Xi)=1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6
E(X)=8×21/3=28
3.某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1,借阅乙种图书的概率为p2,设每人借阅甲乙图书的行为相互独立,读者之间的行为也是相互独立的.
(1)某天恰有n个读者,求借阅甲种图书的人数的数学期望.
(2)某天恰有n个读者,求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望.
解:
(1)设借阅甲种图书的人数为X,则X~B(n,p1),所以E(X)=np1
(2)设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y,则Y~B(n,p),
记A={借甲种图书},B={借乙种图书},则p={A∪B}=p1+p2-p1p2
所以E(Y)=n(p1+p2-p1p2)
4.将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封,在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出,用X表示n个考生中收到自己通知书的人数,求E(X).
解:
依题意,X~B(n,1/n),所以E(X)=1.
5.设,且,求E(X).
解:
由题意知X~P(),则X的分布律P=,k=1,2,...
又P=P,所以
解得,所以E(X)=6.
6.设随机变量X的分布律为问X的数学期望是否存在?
解:
因为级数,而
发散,所以X的数学期望不存在.
7.某城市一天的用电量X(十万度计)是一个随机变量,其概率密度为
求一天的平均耗电量.
解:
E(X)==6.
8.设某种家电的寿命X(以年计)是一个随机变量,其分布函数为
求这种家电的平均寿命E(X).
解:
由题意知,随机变量X的概率密度为
当>5时,,当≤5时,0.
E(X)=
所以这种家电的平均寿命E(X)=10年.
9.在制作某种食品时,面粉所占的比例X的概率密度为
求X的数学期望E(X).
解:
E(X)==1/4
10.设随机变量X的概率密度如下,求E(X).
解:
.
11.设,求数学期望.
解:
X的分布律为,k=0,1,2,3,4,
X取值为0,1,2,3,4时,相应的取值为0,1,0,-1,0,所以
12.设风速V在(0,a)上服从均匀分布,飞机机翼受到的正压力W是V的函数:
,(k>0,常数),求W的数学期望.
解:
V的分布律为,所以
13.设随机变量(X,Y)的分布律为
YX
0
1
2
0
3/28
9/28
3/28
1
3/14
3/14
0
2
1/28
0
0
求E(X),E(Y),E(X–Y).
解:
E(X)=0×(3/28+9/28+3/28)+1×(3/14+3/14+0)+2×(1/28+0+0)=7/14=1/2
E(Y)=0×(3/28+3/14+1/28)+1×(9/28+3/14+0)+2×(3/28+0+0)=21/28=3/4
E(X-Y)=E(X)-E(Y)=1/2-3/4=-1/4.
14.设随机变量(X,Y)具有概率密度,求E(X),E(Y),E(XY)
解:
E(X)=
15.某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量,具有分布律
X
1011121314
pi
所得利润(以元计)为,求E(Y),D(Y).
解:
E(Y)=E[1000(12-X)]
=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×+(12-13)×0.1+(12-14)×]=400
E(Y2)=E[10002(12-X)2]
=10002[(12-10)2×0.2+(12-11)2×0.3+(12-12)2×+(12-13)2×
+(12-14)2×]=1.6×106
D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=×106-4002=1.44×106
16.设随机变量X服从几何分布,其分布律为
其中0
解:
令q=1-p,则
D(X)=E(X2)-E(X)=2q/p2+1/p-1/p2=(1-p)/p2
17.设随机变量X的概率密度为,试求E(X),D(X).
解:
E(X)=
D(X)=E(X2)=
18.设随机变量(X,Y)具有D(X)=9,D(Y)=4,,求,.
解:
因为,所以
=-1/6×3×2=-1,
19.在题13中求Cov(X,Y),ρXY.
解:
E(X)=1/2,E(Y)=3/4,
E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28)+1×3/14+2×0+4×0=3/14,
E(X2)=02×(3/28+9/28+3/28)+12×(3/14+3/14+0)+22×(1/28+0+0)=4/7,
E(Y2)=02×(3/28+3/14+1/28)+12×(9/28+3/14+0)+22×(3/28+0+0)=27/28,
D(X)=E(X2)-[E(X)]2=4/7-(1/2)2=9/28,
D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=27/28-(3/4)2=45/112,
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=3/14-(1/2)×(3/4)=-9/56,
ρXY=Cov(X,Y)/()=-9/56÷()=-/5
20.在题14中求Cov(X,Y),ρXY,D(X+Y).
解:
21.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
试验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.
解:
,
所以Cov(X,Y)=0,ρXY=0,即X和Y是不相关.
当x2+y2≤1时,f(x,y)≠fX(x)fY(y),所以X和Y不是相互独立的
22.设随机变量(X,Y)的概率密度为
验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.
解:
由于f(x,y)的非零区域为D:
0 所以Cov(X,Y)=0,从而 ,因此X与Y不相关. 所以,当0 四、应用题 .1.某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定该产品的产量,他们估计出售一件产品可获利m元,而积压一件产品导致n元的损失,再者,他们预测销售量Y(件)服从参数的指数分布,问若要获利的数学期望最大,应该生产多少件产品? (设m,n,均为已知). 解: 设生产x件产品时,获利Q为销售量Y的函数y 0 x 2.设卖报人每日的潜在卖报数为X服从参数为的泊松分布,如果每日卖出一份报可获报酬m元,卖不掉而退回则每日赔偿n元,若每日卖报人买进r份报,求其期望所得及最佳卖报数。 解: 设真正卖报数为Y,则 ,Y的分布为 设卖报所得为Z,则Z与Y的关系为 当给定m,n,λ之后,求r,使得E(g(Y))达到最大. (B)组题 1.已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品,从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数X的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 解: (1)X的可能取值为0,1,2,3,X的概率分布律为 ,k=0,1,2,3. 即X0123 pi 因此 (2)设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”,由于,,,构成完备事件组,因此根据全概率公式,有 = = 2.随机变量X的概率密度为,对X独立重复观察4次,用Y表示观察值大于的次数,求Y2的数学期望 解: 依题意,Y~B(4,p), p=P{X>}= 所以E(Y)=4p=2,D(Y)=4p(1-p)=1,E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=1+4=5 3.设随机变量U在区间(-2,2)上服从均匀分布,随机变量 试求: (1)和的联合分布律; (2). 解: (1) P{X=-1,Y=-1}=P{U≤-1且U≤1}=P{U≤-1}=, P{X=-1,Y=1}=P{U≤-1且U>1}=0, P{X=1,Y=-1}=P{-1 P{X=1,Y=1}=P{U>-1且U>1}=P{U>1}=, 所以和的联合分布律为 XY -1 1 -1 1/4 1/2 1 0 1/4 (2)和的边缘分布律分别为 X –1 1 pi 1/4 3/4 Y –1 1 pi 3/4 1/4 所以E(X)=-1/4+3/4=1/2,E(Y)=-3/4+1/4=-1/2,E(XY)=1/4-1/2+1/4=0, E(X2)=1/4+3/4=1,E(Y2)=1,D(X)=1-1/4=3/4,D(Y)=1-1/4=3/4, Cov(X,Y)=1/4,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=3/4+3/4+2/4=2 4.设随机变量X的期望E(X)与方差存在,且有,,证明. 证明: 首先证明E(Y)存在 (1)若随机变量X为离散型随机变量,分布律为: 则由E(X)存在知,绝对收敛,且 记,则绝对收敛, 所以E(Y)存在,, (2)若X为连续型随机变量,其概率密度为f(x),则: 5.设离散型随机变量X的分布律为,且E(X),E(X2),D(X)都存在,试证明: 函数在时取得最小值,且最小值为D(X). 证明: 令, 则, ,所以, 又,所以时,取得最小值,此时 6.随机变量X与Y独立同分布,且X的分布律为 X 1 2 pi 2/3 1/3 记, (1)求(U,V)的分布律; (2)求U与V的协方差Cov(U,V). 解: (1)(X,Y)的分布律 YX 1 2 1 4/9 2/9 2 2/9 1/9 (X,Y) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) pij 4/9 2/9 2/9 1/9 U 1 2 2 2 V 1 1 1 2 VU 1 2 1 4/9 0 2 4/9 1/9 (2)E(U)=4/9+2×5/9=14/9, E(V)=(4/9+2/9+2/9)+2×1/9=10/9, E(UV)=4/9+2×4/9+4×1/9=16/9, Cov(U,V)=16/9-140/81=4/81
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