天津大学最优化方法复习题.docx

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天津大学最优化方法复习题

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《最优化方法》复习题

第一章概述（包括凸规划）

判断与填空题

argmaxf（x）=arg口鬥[—f（x）]."

x#x*

max:

f（x）:

x•二D_Rn：

--min:

f（x）:

x•二D_RnZ

设f:

D_•Rn—；R.若x”•Rn,对于一切x•Rn恒有f（x”）冬f（x）,则称x”为最优化问题minf（x）的全局最优解•

xfD

设f:

DRn>R.若x”・D，存在x”的某邻域N；（x”）,使得对一切x•n（x）恒有f（x”）：

：

：

f（x），则称x”为最优化问题minf（x）的严格局部最优解.

给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值.V

非空集合DMRn为凸集当且仅当D中任意两点连线段上任一点属于D.V

非空集合D5Rn为凸集当且仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于D.V

任意两个凸集的并集为凸集.

函数f：

D冬Rn>R为凸集D上的凸函数当且仅当-f为D上的凹函数.V

设f：

D_・Rn—R为凸集D上的可微凸函数，x”・D.则对一D,有

f（X）—f（X*）兰W（xM）T（X—x\.x

若c（x）是凹函数，则D={X・Rnc（x）—0}是凸集。

V

设&k匚为由求解minf（x）的算法a产生的迭代序列，假设算法a为下降算法，

xZD

则对—k•‘0,1,2,…？

，恒有f（Xk1）乞f（Xk）.

13算法迭代时的终止准则（写出三种）

14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。

V

15函数f:

D5R在点xk沿着迭代方向dk•Rn{0}进行精确一维线搜索的

步长:

k，则其搜索公式为.

16函数f:

D5Rn—；R在点xk沿着迭代方向dk三Rn{0}进行精确一维线搜索的

步长用k，贝U：

：

卄（xk亠-：

:

kdk）丁dk=.

17设dk•Rn{0}为点xk•D5Rn处关于区域D的一个下降方向，则对于

.：

-〔＞■0，二很三（0,:

•）使得xA二dD.

简述题

1写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。

2怎样判断一个函数是否为凸函数.

（例如：

判断函数f（x）=x；2x!

x22x2-10x!

5x2是否为凸函数）

三、证明题

1证明一个优化问题是否为凸规划.（例如

1tt

minf（x）xGxcxb

2

判断s.t.Ax二b（其中G是正定矩阵）是凸规划

x-0

2熟练掌握凸规划的性质及其证明

其中,

、

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第二章线性规划

min

考虑线性规划问题:

（LP）

s.t.Ax二b,x_0,

c€Rn,AERm：

\b€Rm为给定的数据，且rankA=m,m兰n.

判断与选择题

（LP）的基解个数是有限的.V

若（LP）有最优解，则它一定有基可行解为最优解.V

（LP）的解集是凸的.V

对于标准型的（LP），设㈠［由单纯形算法产生，则对k・「0,1,2，…？

，有

TkTk：

：

1

cxcx.X

若x*为（LP）的最优解，y*为（DP）的可行解，则cTx*_bTy*.V

设x°是线性规划（LP）对应的基B=（巴，…，Pm）的基可行解，与基变量

X!

，…，Xm对应的规范式中，若存在匚k：

：

：

0，则线性规划（LP）没有最优解。

X

求解线性规划（LP）的初始基可行解的方法：

.

对于线性规划（LP），每次迭代都会使目标函数值下降.X

简述题

1将以下线性规划问题化为标准型：

maxf（x）=Xt_2x23x3

s.t.xx2x3_6,

X2x24x3_12,

x*X3_2,

x2_0,x3_0.

2写出以下线性规划的对偶线性规划：

maxf（x）=3Xt2x2x34x4

s.t.2xt4x23x3x4=6,

一2石4x23x3x4_3,

Xi,X2,X3,X4一0.

三、计算题

熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M法及二阶段

法）.

见书本：

例2.5.1（利用单纯形表求解）；

例2.6.1（利用大M法求解）;

例2.6.2（利用二阶段法求解）.

四、证明题

熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用对偶理论证明相关结论。

第二章无约束最优化方法

判断与选择题

1设G•Rnn为正定矩阵，则关于G共轭的任意n-1向量必线性相关.V

2在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向•X

3经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的.X

4PRP共轭梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法.X

5用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定线性无关•V

6FR共轭梯度法、PRP共轭梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收敛性.X

7共轭梯度法、共轭方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次终止性.V

8函数f:

Rn—；R在xk处的最速下降方向为.

9求解minf（x）的经典Newton法在xk处的迭代方向为pk=.

X衮

10若f（x）在x*的邻域内具有一阶连续的偏导数且\f（x*）=0，则x*为的局部极小点•X

11若f（x）在x*的某邻域内具有二阶连续的偏导数且x*为f（x）的严格局部

极小点，则G*八2f（x*）正定.X

12求解minf（x）的最速下降法在xk处的迭代方向为pk=.

x誉

13求解minf（x）的阻尼Newton法在xk处的迭代方向为pk=.

xWRn

14用牛顿法求解min1xTG^bTx（b^Rn，G^R比）时，至多迭代一次X®2

可达其极小点•X

15牛顿法具有二阶收敛性•V

16二次函数的共轭方向法具有二次终止性•X

17共轭梯度法的迭代方向为:

证明题

1设f:

Rn>R为一阶连续可微的凸函数，x”•Rn且f（x）=0，则x”为minf（x）的全局极小点.

x尹n

2给定b€Rn和正定矩阵G€Rnxn.如果x^Rn为求解

minf（x）JxTGxbTx的迭代点，d—Rn心为其迭代方向，且

x.Rn2

ktk

•[o,■：

：

）为由精确一维搜索所的步长，则-xkTk.

（dk）TGdk

3试证：

Newton法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点

四、简述题

1简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点.

2简述共轭梯度法的基本思想.

五、计算题

1利用最优性条件求解无约束最优化问题.

31

例如：

求解minf（x）x；x；-Xtx2-2Xt

22

2用FR共轭梯度法无约束最优化问题.

见书本：

例3.4.1.

3用PRP共轭梯度法无约束最优化问题.

见书本：

例3.4.1.

31

例如：

minf（x）x12x；-x1x^-2x1其中x0=（0,0）T,;=0.01

22

第四章约束最优化方法

考虑约束最优化问题：

（NLP）minf（x）

s.t.°（x）=0,iE=：

1,2,,I

Ci（x）_0,iI1,I2,,m]

其中，f,Ci（i=1,2,…，m）:

Rn>R.

-、判断与选择题

1外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于SUMT.X

2使用外罚函数法和内罚函数法求解（NLP）时，得到的近似最优解往往不是（NLP）的可行解.X

3在求解（NLP）的外罚函数法中，所解无约束问题的目标函数为.

4在（NLP）中l=0，则在求解该问题的内罚函数法中，常使用的罚函数

为.

5在（NLP）中l=0，贝U在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为

（■k-1）i=，对iT,…，ml

6在（NLP）中m=丨，则在求解该问题的乘子法中，增广的Lagrange函数为：

7对于（NLP）的KT条件为：

二、计算题

1利用最优性条件（KT条件）求解约束最优化问题.

2用外罚函数法求解约束最优化问题.

见书本：

例421;

例422.

3用内罚函数法求解约束最优化问题.

见书本：

例423.

4用乘子法求解约束最优化问题.

见书本：

例4.2.7;

例4.2.8.

三、简述题

1简述SUMT外点法的优缺点.

2简述SUMT内点法的优缺点.

四、证明题

利用最优性条件证明相关问题.

例如：

Q设为正定矩阵，A为列满秩矩阵.试求规划

（P）minf（x）=1xQxcxa

2

s.t.Axb

的最优解，并证明解是唯一的.

第五章多目标最优化方法

一、判断与选择题

1求解多目标最优化问题的评价函数法包括.

2通过使用评价函数，多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题.V

3设F:

DRn>Rm，则F在D上的一般多目标最优化问题的数学形式

为.

4对于规划v-minf（X）二（fi（x）,…，j（X））T，设x”•d,若不存在x•D

x.DRn

使得F（x）乞F（x”）且F（x）=F（x），则x”为该最优化问题的有效解.V

5一般多目标最优化问题的绝对最优解必是有效解.V

fi（i=1,2,…，m）的权系数，则求解以上问题的线性加权和法中所求解优

化的目标函数为.

解，或者为原问题的有效解，或者为原问题的弱有效解•V

、简述题

1简单证明题

☆绝对最优解、有效解、及弱有效解之间的关系.

第5.2节中几个主要结论的证明.

2简单叙述题

★简述求解一般多目标规划的评价函数法的基本思想.

简述求解一般多目标规划的线性加权和法的基本思想.

★简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想.简述在求解一般多目标规划的评价函数法中，确定权系数方法的基本思想.