上海市春沪教版数学八年级下册《四边形》练习题有答案.docx
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上海市春沪教版数学八年级下册《四边形》练习题有答案
四边形证明题及综合题
1已知:
如图,在正方形ABCDK点E、F分别在边BC和CD上,/BAE=/DAF
(1)求证:
BE=DF;
(2)联结AC交EF于点O延长0C至点M使0M=OA联结EMFM
求证:
四边形AEMF1菱形.
2、如图8,已知梯形ABCD中,AD//BC,
1
边BC上,且BF(ADBC).
(1)求证:
四边形AEFG是平行四边形;
(2)联结AF,若AG平分FAD,
求证:
四边形AEFG是矩形.
E、G分别是AB、CD的中点,点F在
A
3、如图,在等腰梯形ABCD中,/C=60°,AD//BC且AD=AB=DCE、F分别在ADDC的延
长线上,且DE=CFAFBE交于点P。
(1)求证:
AF=BE
(2)请猜测/BPF的度数,并证明你的结论。
4、如图,在矩形ABCDKBMLACDNLACMN是垂足.
(1)求证:
AN=CM
(2)如果AN=MN2,求矩形ABC啲面积•
5.如图.在平行四边形ABCD中,0为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点,
1
且CEBC.过点E作EF//CA,交CD于点F,联结OF.2
(1)求证:
OF/BC;
(2)如果梯形OBEF是等腰梯形,判断四边形
并给出证明.
(图5)
6、如图,在正方形ABCDK点E、F分别是边ABAD的中点,DE与CF相交于GDECB
的延长线相交于点H点M是CG的中点.
求证:
(1)BM//GHJ
(2)BMLCF.
D
C
7.已知:
如图,AE//BF,AC平分/BAD交BF于点C,BD平分/ABC交AE于点D联结
CD求证:
四边形ABCD1菱形.
第21题图
&如图,在正方形ABCD中,点E、
F分别是边AB、AD的中点,
DE与CF相交于G,
DE、CB的延长线相交于点H,点M是CG的中点.
11•已知:
如图,在梯形ABCD中,AD/BCBC=2ADAC丄AB点E是AC的中点,DE的延
9.已知:
如图,在梯形ABCDKAD/BCAB=CQ点E、F在边BC上,BE=CF,EF=AD求证:
四边形AEFD是矩形.
且四边形AEFD是平行四边形.
(1)试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系?
并证明你的结论;
(2)
(第12题图)
现有三个论断:
①AD=AB②/B+/C=90°③/B=2/C.请从上述三个论断中选择一个论断作为条件,证明四边形AEFD是菱形.
13•已知:
如图,矩形纸片ABCD勺边AD=3,Ct=2,点P是边CD上的一个动点(不与点C重合,把这张矩形纸片折叠,使点B落在点P的位置上,折痕交边AD与点M折痕交边BC于点N.
(1)写出图中的全等三角形•设CP=x,AM=y,写出y与x的函数关系式;
(2)试判断/BMP是否可能等于90°.如果可能,请求出此时CP的长;如果不可能,请说明理由•
14、已知边长为1的正方形ABCDhP是对角线AC上的一个动点(与点A、C不重合),过点P作PE丄PB,PE交射线DC于点E,过点E作EF丄AC垂足为点F.
(1)当点E落在线段CD上时(如图10),
1求证:
PB=PE
2在点P的运动过程中,PF的长度是否发生变化?
若不变,试求出这个不变的值,若变化,试说明理由;
(2)当点E落在线段DC的延长线上时,在备用图上画出符合要求的大致图形,并判断
上述
(1)中的结论是否仍然成立(只需写出结论,不需要证明);
(3)在点P的运动过程中,"PEC能否为等腰三角形?
如果能,试求出AP的长,如果不能,试说明理由.
15、如图,直线y3x43与x轴相交于点A,与直线y、3x相交于点P.
(1)求点P的坐标.
(2)请判断△OPA的形状并说明理由•
(3)动点E从原点O出发,以每秒1个单位的速度沿着OPA的路线向点A匀速运
动(E不与点O、A重合),过点E分别作EFx轴于F,EBy轴于B.设运动
t秒时,矩形EBOF与厶OPA重叠部分的面积为S.求S与t之间的函数关系式
16•已知:
如图,梯形ABCD中,AD//BC,A90,C45,ABAD4.E是直线AD上一点,联结BE,过点E作EFBE交直线CD于点F•联结BF.
(1)若点E是线段AD上一点(与点A、D不重合),(如图1所示)
1求证:
BEEF.
2设DEx,△BEF的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出此函数的定义域.
(2)直线AD上是否存在一点E,使△BEF是厶ABE面积的3倍,若存在,直接写出DE的长,若不存在,请说明理由.
17•已知:
0为正方形ABCD寸角线的交点,点E在边CB的延长线上,联结EQ0吐0E交BA延长线于点F,联结EF(如图4)。
(1)求证:
E(=FQ
(2)若正方形的边长为2,QE=2QA求BE的长;
(3)
当QE=2QA时,将△FQE绕点Q逆时针旋转到△FiQE,使得/BQE=30时,试猜想并
D
C
(图4)
18.(本题满分10分,第
(1)小题3分,第
(2)小题4分,第(3)小题3分)
如图,在正方形ABC[中,点E、F分别在BCAD的延长线上,且EA1CF垂足为H
AE与CD相交于点G
(1)求证:
A(=CF;
(2)当点G为CD的中点时(如图1),求证:
FC=FE
(3)如果正方形ABCD勺边长为2,当EF=EC时(如图2),求DG的长.
图1图2
答案
1证明:
(1)V正方形ABCD「.AB=AD/B=ZD=90°(2分)
•••/BAE=/DAF
•••△ABE^AADF(1分)
•••BE=DF(2分)
(2)v正方形ABCD^ZBAC=ZDAC(1分)
•••/BAE=ZDAF•••/EAO=ZFAO(1分)
•/△ABE^AADF•AE=AF(1分)
•EO=FQACLEF(2分)
•/OM=QA•四边形AEMF是平行四边形(1分)
•••ACLEF•四边形AEMF1菱形(1分)
2.
(1)证明:
联结EG
•••梯形ABCD中,AD//BC,且E、G分别是AB、CD的中点,
•E@BC,且EG-(ADBC),(2分)
2
又•••bfRadBC)
2
•EGBF.(1分)
•四边形AEFG是平行四边形.(2分)
(2)证明:
设AF与EG交于点Q
•/EG/ADDAG/AGE
•/AG平分FAD,•/DAG/GAO
GAO/AGE
•AO=GO(2分)•••四边形AEFG是平行四边形,
•AF=EG四边形AEFG是矩形(2分)
3.证明:
(1)•••梯形ABCD1等腰梯形,AD//BC
•/BAE/ADF(1分)
•••AD=DC•AE=DF(1分)
•/BA=AD•△BAE^AADF(1分)
•BE=AF(1分)
(2)猜想/BPF=20°.(1分)
•••由
(1)知厶BAE^AADF•/ABE/DAF.(1分)
•/BPF/ABE/BAP/BAE(1分)
而AD//BC/C=ZABC=0°•=120°.
•/BPF/BAE=120°(1分)
4、证:
(1)v四边形ABCD1矩形,
•AD//BCAD=BC
•/DAC/BCA
又•••DNLACBMLAC
•/DNA/BMC
(3分)
•••"DAN2"BCM-
AN=CM
(1分)
(2)联结BD交AC于点O
•/AN=NM=2,
••AC=BD=6,
又•••四边形ABCD1矩形,
:
.AODO3,
在"ODN中,0D3,0N=1,/OND90,
(2
•-DN=OD2ON222,
分)
(1分)
•矩形ABCD勺面积=ACDN12•.一2.
5.解:
(1)方法1:
延长EF交AD于G
在平行四边形ABCD中,AD//BC,
•/EF//CA,EG//CA,
•四边形ACEG是平行四边形.
•AGCE1分
1
又•••CEBC,ADBC,
2
11
•
1分
AGCEBCADGD.
22
•/AD//BC,•ADCECF.
在厶CEF和△DGF中,
CFEDFG,ADC
ECF,CEDG,
△CEF△DGF(A.A.S).
•CEDF
1分
四边形ABCD是平行四边形,•
OBOD.
OF//BE.
.…1分
方法2:
将线段BC的中点记为
G,联结0G(如图2)
•••四边形ABCD是平行四边形,•OBOD.
•OG//CD.
•OGCFCE.
•••EF//CA,•OCGFEC.
11
•••GC-BC,CE-BC,
22
•••GCCE.
在厶OGC和厶FCE中,
•/OCGFEC,GCCE,OGCFCE,
••△OGC◎△FCE(A.S.A).1分
•OGFC.
又OG//CF,
•四边形OGCF是平行四边形•1分
•OF//GC.1分
其他方法,请参照上述标准酌情评分.
(2)如果梯形OBEF是等腰梯形,那么四边形ABCD是矩形•1分
•/OF//CE,EF//CO,•四边形OCEF是平行四边形•
•EFOC.1分
又•••梯形OBEF是等腰梯形,•BOEF.
•OBOC.
(备注:
使用方法2的同学也可能由△OGC◎△FCE找到解题方法;使用方法1的同学
也可能由四边形ACEG是平行四边形找到解题方法).
•••四边形ABCD是平行四边形,•AC2OC,BD2BO.
•ACBD.1分
•平行四边形ABCD是矩形1分
6.证明:
(1)v在正方形ABC[中,AD/BC•/A=ZHBE/ADE/H,•••(1分)
•/AE=BE•△ADE2ABHE(1分)
•BH=AD=BC(1分)
•••CMGM:
BM/GH(1分)
(2)v在正方形ABCDhAB=AD=CD/A=/ADC90o,
11
22
•/ADE/DCF(1分)
又•••DF=-ADAE^-AB•AE=DF.•△AED^ADFC(1分)
•//ADE/GDC90o,•/DCF+/GDC90o.「./DGC90o.…(1分)•••BM/GH•/BMG/DGC90o,即卩BMLCF(1分)
7、证明:
•••AC平分/BADBACMCAD
又•/AE//BF,•••/BCAhCAD1
•••/BAC=/BCA
•AB=BC1
同理可证AB=AD
•AD=BC1
又AD/BC,
9.证法一:
•在梯形ABCD中,AD/BC,又tEF=AD
•四边形AEFD是平行四边形.(1分)
•AD/DF,•/AEF=ZDFC(1分)
•/AB=CD•/B=ZC.(1分)
1分)
又•••BE=CF,•△ABE^ADCF
•/AEB/DFC(1分)
•/AEB/AEF(1分)
•//AEB/AEF=180o,•/AEF=90o.(1分)
1分)
•四边形AEFD是矩形.
证法二:
联结AF、DE(1分)
•••在梯形ABCD^,AD/BC又TEF=AD
•四边形AEFD是平行四边形.(1分)
•/AB=CD•••/B=ZC.(1分)
•/BE=CF•BEfEF=CF+EF,即BF=CE(1分)
•••△abf^aDCE(1分)
•AF=DE(2分)
•四边形aefd是矩形.(1分)
10、证明:
(1)•••□ABCD,•••AB//CDAB=CD-1
分
•/E、F分别为ABCD的中点,•DF=1dCBE=2-AB
df//be,df
be1分
•四边形debf为平行四边形
de//
BF
1分
(2)证明:
•••AG//BD•••/G=zDBC=90°,二DBC为直角三角形---1分
1
又•••F为边CD的中点.•BF=2DC=df1
分
又•••四边形debf为平行四边形,•四边形debf是菱形1分
11.证明:
•••在梯形ABCD中,AD/BC•••/DAEZFAE/ADE:
/CFE……(1分)
又•••ae=ecade^acfe(1分)
•AD=FC(1分)
•四边形AFCD是平行四边形.(1分)
1
•••BO2AD•-FC=AD=—BC(1分)
2
1
•/ACLAB•-AF=^BC(1分)
2
•af=fc,(1分)
•四边形AFCD是菱形.(1分)
12.
(1)解:
线段AD与BC的长度之间的数量为:
BC3AD.(1分)
证明:
•/AD//BCDE//AB•四边形ABED是平行四边形.
•AD=BE.(2分)
同理可证,四边形AFCD1平行四边形•即得AD=FC.……(1分)
又•••四边形AEFD是平行四边形,•AD=EF.(1分)
•AD=BE=EF=FC
BC3AD.(1分)
(2)解:
选择论断②作为条件.(1分)
证明:
•••DE//AB•••/B=/DEC(1分)
/B+/C=90°•/DEC+ZC=90°
即得ZEDC=90°(2分)
又•/EF=FC•DF=EF.(1分)
•••四边形AEFD是平行四边形,
•四边形AEFD是菱形.(1分)
13.
(1)"MBN2"MPN
•••"MBN2"MPN
•MB=MP,
22
•-MBMP
•/矩形ABCD
•AD=CD(矩形的对边相等)
•ZA=ZD=90°矩形四个内角都是直角)1
•/AD=3,CD=2,CP=x,AM=y
•DP=2-x,MD=3-y1
Rt"ABM中,
•••正方形ABCD•PM=AMMN=AB
从而MB=PN(2分)
•△PMB^PNE从而PB=PE(2分)
②解:
PF的长度不会发生变化,
设O为AC中点,联结PO
•(1分)
(1分)
(2分)
设AP=X则PC2x,cfpfPCx
1'
1
•••正方形ABCD•••BO丄AC,
从而/PB(=ZEPF
•••△POHPEF从而PF=BOJ2
2
•VPOA是等边三角形
(3)当Ovtw4时,
S^OFgEF
1'
当4vtv8时,
4、、3t8^3
16.
(1)①
证明:
在AB上截取AGAE,联结EG.
•AGEAEG.
又•••/A=90°,/A+ZAGE"/AEG=180°•••/AGE=45°.
•ZBGE=135°.
•/AD//BC.
•••/C+ZD=180°又•••/C=45°.
••ZD=135°.
•ZBGE=ZD.
•-ABAD,AGAE.••BGDE
EFBE.
••ZBEF=90°.
•ZA+ZABE^ZAEB=180°,
ZAEB^ZBEI+ZDEF=180°,
ZA=90°.
•ZABE=ZDEF
•-BEEF.
(1)②
2
y关于x的函数解析式为:
yX8X32
此函数的定义域为:
0x4.
(2)存在
I当点E在线段AD上时,DE225(负值舍去).1分
n当点E在线段AD延长线上时,DE22...5(负值舍去).1分
川当点E在线段DA延长线上时,DE102..5.1分
•DE的长为2.52、2、-52或102.5.
17、
(1)证明:
TABCD是正方形,对角线交于点O,
AO=BO,AC丄BD,
1分
•ZOABZOBA,「.ZOAF玄OBE1分
•••AC丄BD,OFLOE•ZAOF=90AOE=ZBOE1分
•△AOF^ABOE
EO=FO.
1分
(2)解:
TABCD是正方形,边长为2,•AO=2,•OE=2OA2、2
•/OFLOEEO=FO•EF=41
分
•/△AOF^ABOE•AF=BE1
分
设AF=BE=x在Rt△EFB中,EF2EB2BF2,即16X2(2x)2
解得x1、、7,:
x>0,.・.x1,即BE=71
3)△AOE是直角
1
证明:
取0E中点M,则OM=EM=OE,分2
即厶AOE为直角三角形。
设DF=D(=x,贝UGF=CG=2-x,
(1分)
222222
YDFDGFG,•xx(2x),
(1分)
•x222(负值舍去),•DF=2..22.
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