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七年级数学
上册
培优训练
第1页共20页
第一讲有理数
(一)
一、【问题引入与归纳】
1、正负数,数轴,相反数,有理数等概念。
2、有理数的两种分类:
3、有理数的本质定义,能表成m(n0,m,n互质)。
n
4、性质:
①顺序性(可比较大小);
②四则运算的封闭性(0不作除数);
③稠密性:
任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质:
①|a|
a(a
0)
②非负性(|a|
0,a2
0)
a(a
0)
③非负数的性质:
i
)非负数的和仍为非负数。
ii)几个非负数的和为0,则他们都为0。
二、【典型例题解析】:
1、若abf0,则|a|
|b|
|ab|的值等于多少?
a
b
ab
2.如果m是大于1的有理数,那么m一定小于它的(
)
A.相反数B.
倒数
C.
绝对值
D.平方
3、已知两数
a、b互为相反数,
c、d互为倒数,
x的绝对值是
2,求
x2
(abcd)x(a
b)2006
(cd)2007的值。
4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置,如下图所
示,那么|ab|
|a
b|
化简的结果等于(
)
A.2aB.
2a
C.0
D.
2b
5、已知(a
3)2
|b
2|
0,求ab的值是(
)
A.2
B.3
C.9
D.6
6、有3个有理数a,b,c,两两不等,那么a
b,b
c,c
a中有几个负数?
b
cc
aa
b
第2页共20页
7、三个互不相等的有理数,既可表示
1,a
b,a的形式式,又可表示
0,
b,b的形式,求a2006
b2007。
a
8三个有理数
a,b,c的数,和正数,且
X
ab
c
|ab|
|bc|
|ac|ax3
bx2
cx1的是多少?
|a||b||c|
ab
bc
ac
9、若a,b,c整数,且|ab|2007|ca|20071,求|ca||ab||bc|的。
三、堂用。
1、算:
1+2-3-4+5+6-7-8+⋯+2005+2006
2、算:
1×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)
3、算:
5
9
17
33
65
12913
2
4
8
16
32
64
4、已知a,b非整数,且足|ab|ab1,求a,b的所有可能。
5、若三个有理数a,b,c足|a|
|b|
|c|
1,求|abc|的。
a
b
c
abc
第3页共20页
第二讲有理数
(二)
一、【能力训练点】:
1、绝对值的几何意义
①|a||a0|表示数a对应的点到原点的距离。
②|ab|表示数a、b对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】:
1、
(1)若2
a
0,化简|a
2|
|a
2|
(2)若xp0,化简
||x|
2x|
|x3|
|x|
2、设ap0,且x
a
,试化简|x
1|
|x
2|
|a|
3、a、b是有理数,下列各式对吗?
若不对,应附加什么条件?
(1)|ab||a||b|;
(2)|ab||a||b|;
(3)|ab||ba|;
(4)若|a|b则ab
(5)若|a|p|b|,则apb
(6)若afb,则|a|f|b|
4、若|x5||x2|7,求x的取值范围。
5、不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A、B、C,如果|ab||bc||ac|,那么B点在A、C的什么位置?
6、设apbpcpd,求|xa||xb||xc||xd|的最小值。
7、abcde是一个五位数,apbpcpdpe,求|ab||bc||cd||de|的
最大值。
8、设a1,a2,a3,L,a2006都是有理数,令M(a1a2a3La2005)
(a2a3a4La2006),N(a1a2a3La2006)(a2a3a4La2005),试比
较M、N的大小。
第4页共20页
三、【课堂备用练习题】:
1、已知f(x)|x1||x2||x3|L|x2002|求f(x)的最小值。
2、若|ab1|与(ab1)2互为相反数,求3a2b1的值。
3、如果abc
0,求|a|
|b|
|c|的值。
a
b
c
4、x是什么样的有理数时,下列等式成立?
(1)|(x2)(x4)||x2||x4|
(2)|(7x6)(3x5)|(7x6)(3x5)
|x|x||
5、化简下式:
第5页共20页
第三讲有理数(三)
一、【能力训练点】:
1、运算的分级与运算顺序;
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
(1)加法法则:
同号相加取同号,并把绝对值相加;异号相加取绝对值较大数的符号,并用较大绝对值减较小绝对值;一个数同零相加得原数。
(2)减法法则:
减去一个数等于加上这个数的相反数。
(3)乘法法则:
几个有理数相乘,奇负得负,偶负得正,并把绝对值相乘。
(4)除法法则:
除以一个数,等于乘以这个数的倒数。
3、准确运用各种法则及运算顺序解题,养成良好思维习惯及解题习惯。
二、【典型例题解析】:
1、计算:
0.75
23
(0.125)
12
5
41
4
7
8
2、计算:
(1)、56
0.9
4.4
8.11
(2)、(-18.75)+(+6.25)+(-3.25)+18.25
(3)、(-42
)+31
61
21
3
3
2
4
3、计算:
①32
23
12
1.75
3
4
3
②
11
41
21
2
4
3
4、
化简:
计算:
(1)
7
1
1
1
4
5
4
3
8
2
4
8
(2)
3.75
3
5
1
42
0.125
8
6
2
3
(3)
01
1
3
5
4
4
7
7
(4)
72
13
35
3
4
6
第6页共20页
(5)-4.035×12+7.535×12-36×(7
5
7)
9
6
18
5、计算:
(1)2
3
31
2
1
4
(2)11998
10.5
1
33
2
3
(3)2
22
8
13
0.52
1
5
5
21
4
2
1
3
3
3
6、计算:
4
1
4
2
100.5
16
4
7、计算:
(
13
47
)[0.253
(
1
)3]
(5
1
1.25
4
1
)[(0.45)2
(2
3
)3]
(1)2002
81
63
4
2
4
2001
:
第7页共20页
第四讲有理数(四)
一、【能力训练点】:
1、运算的分级与运算顺序;
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
3、巧算的一般性技巧:
①凑整(凑0);
②巧用分配律
③去、添括号法则;
④裂项法
4、综合运用有理数的知识解有关问题。
二、【典型例题解析】:
1、计算:
0.7
12
6.6
3
2.2
7
0.7
9
3.3
7
11
7
3
11
8
2、(111L
1)(111L
1)(111L
1)
2
3
1996
2
3
4
1997
2
3
1997
(1
1
1L
1
)
2
3
4
1996
3、计算:
①22
(2)2|3.14|
(1)3
|3.14|
②5324[3
(2)2(4)
(1)3]7
4、化简:
(x
y)
(2x
1
1
y)
(3x
1
3
y)
L(9x
8
1
y)并求当x
2,
y
9时
2
2
9
的值。
2
2
2
2
5、计算:
Sn
2
2
1
3
2
1
4
2
1
L
n2
1
2
1
3
1
4
1
n
1
6、比较Sn
1
2
3
4
L
nn与2的大小。
2
4
8
16
2
7、计算:
13
47
)
[0.25
3
(
1
3
]
1
1.25
1
[(0.45)
2
(2
3
3
]
(
1)
2002
(
63
)
(5
4)
)
81
4
2
4
2001
8、已知a、b是有理数,且apb,含c
a
2b,x
a
2c,y
c
2b,请将
3
3
3
a,b,c,x,y按从小到大的顺序排列。
第8页共20页
三、【备用练习题】:
1、计算
(1)1
1
1
1
1
()2
2
L
2
4
28
70
130
208
2
3
3
5
101
1
99
2、计算:
20071
20061
20051
20041
L11
1
2
3
2
3
2
3
3、计算:
(11)
(11)
(11)L
(1
1)
2
3
4
2006
2
|b2|0,求代数式
(ba)2
(a
b)
2006
的值。
4、如果(a1)
2ab
(a
b)2005
5、若a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的绝对值为2,求
a2
b21
(12mm2)的值。
cd
第9页共20页
第五讲代数式
(一)
一、【能力训练点】:
(1)列代数式;
(2)代数式的意义;
(3)代数式的求值(整体代入法)
二、【典型例题解析】:
1、用代数式表示:
(1)比x与y的和的平方小x的数。
(2)比a与b的积的2倍大5的数。
(3)甲乙两数平方的和(差)。
(4)甲数与乙数的差的平方。
(5)甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。
(6)甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。
(7)比a的平方的2倍小1的数。
(8)任意一个偶数(奇数)
(9)能被5整除的数。
(10)任意一个三位数。
2、代数式的求值:
(1)已知2a
b
5,求代数式2(2a
b)
3(a
b)的值。
a
b
a
b
2a
b
(2)已知
x
2y
2
,求代数式
3x6y
2
4
的值。
5的值是7
(3)已知a
2b;c5a,求6a
2b
c的值(c
0)
a
4b
c
(4)已知1
1
3,求2a
2b
ab的值。
b
a
a
b2ab
(5)已知:
当x
1时,代数式
Px
3
qx
1
的值为
,求当
x
1
时,
2007
代数式Px3
qx1的值。
(6)已知等式(2A7B)x
(3A
8B)
8x
10对一切x都成立,求A、B
第10页共20页
的值。
(7)已知(1
x)2(1
x)
a
bx
cx2
dx3,求a
b
cd的值。
(8)当多项式m2
m1
0时,求多项式m3
2m2
2006的值。
3、找规律:
Ⅰ.
(1)
(1
2)
2
2
4(1
1)
;()
(2
2)
2
2
2
4(2
1)
1
2
(3)(3
2)2
32
4(3
1)
(4)(4
2)2
42
4(4
1)
第N个式子呢?
Ⅱ.已知
2
2
22
2;
3
3
32
3;
3
3
8
8
4
4
42
4;
若10
a
102
a
15
15
b
b
(a、b为正整数),求a
b
?
Ⅲ.
13
12;13
23
32;13
23
33
62;13
23
33
43
102;猜想:
13
23
33
43Ln3
?
三、【备用练习题】:
1、若(mn)个人完成一项工程需要m天,则n个人完成这项工程需要多少
天?
2、已知代数式3y22y6的值为8,求代数式3y2y1的值。
2
3、某同学到集贸市场买苹果,买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半,
而余下的钱都买了每千克2元的苹果,则该同学所买的苹果的平均价格是每千克
多少元?
4、已知an1
1
求当a1
1时,a1a2a2a3La2006a2007?
(n1,2,3,L,2006)
1
1
an
第11页共20页
第六讲代数式
(二)
一、【能力训练点】:
(1)同类项的合并法则;
(2)代数式的整体代入求值。
二、【典型例题解析】:
1、已知多项式2y5x29xy23x3nxy2my7经合并后,不含有y的项,
求2mn的值。
2、当50(2a
3b)2达到最大值时,求14a2
9b2
的值。
3、已知多项式
2a3
a2
a
5与多项式N的2倍之和是4a3
2a2
2a4,求N?
4、若a,b,c互异,且
x
y
,求x
y
Z的值。
a
b
b
cc
a
5、已知m2
m
1
0,求m3
2m2
2005的值。
6、已知m2
mn15,mn
n2
6,求3m2
mn
2n2的值。
7、已知a,b均为正整数,且ab
1,求a
b
1
的值。
a1
b
8、求证
111L1222L
2
等于两个连续自然数的积。
123
14243
2006个1
2006个2
9、已知abc
1,求
a
b
c
的值。
ab
a
1
bcb
1ac
c
1
10、一堆苹果,若干个人分,每人分4个,剩下9个,若每人分6个,最后一个
人分到的少于3个,问多少人分苹果?
三、【备用练习题】:
1、已知ab
1,比较M、N的大小。
M
1
1
1
,
N
a
b
。
a
1
b
1a
1
b
2、已知x2
x
1
0,求x3
2x
1的值。
3、已知
x
y
z
K
,求K的值。
y
z
x
z
x
y
4、a355,b
444,c
533,比较a,b,c的大小。
5、已知2a2
3a
5
0,求4a4
12a3
9a2
10的值。
第12页共20页
第七讲发现规律
一、【引入与】
我国著名数学家华罗庚先生曾经说过:
“先从少数的事例中摸索出规律来,再从理论
上来证明这一规律的一般性,这是人们认识客观法则的方法之一”。
这种以退为进,寻找规
律的方法,对我们解某些数学问题有重要指导作用,下面举例说明。
能力训练点:
观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。
二、【典型例解析】
1、察算式:
1
3
(13)2,135
(15)
3,1357(17)
4,13579
(19)5,L,
2
2
2
2
按律填空:
1+3+5+⋯+99=
?
,1+3+5+7+⋯
+(2n
1)
?
2、如是某同学在沙上用石子成的小房子。
察形的化律,写出第n
个小房子用了多少石子?
3、用黑、白两种色的正六形地面(如
所示)的律,拼成若干个案:
(1)第3个
案中有白色地面多少?
(
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