河北省正定中学实验中学届高三质量检测 数学文word版.docx
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河北省正定中学实验中学届高三质量检测数学文word版
河北正定2020届高三质量检测
数学(文科)试卷
(时间120分钟,满分150分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题的答案后,用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题,写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。
不得用规定以外的笔和纸答题,不得在答题卡上做任何标记.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷选择题
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
N=
1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={x|-2 A.{0,1,2} B.{0,1} C.{0} D.{1} 2.设复数z满足(1+i)z=2,则复平面内z表示的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.已知向量a=(1,2),b=(x2+1,-x),则“x=1”是“a⊥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 ⎧2x-y≥0 ⎨ 4.已知实数x,y满足约束条件⎪x+2y≤2,则z=x+3y的最大值为() ⎩ ⎪x+y≥0 14 A.B.4C.2D.0 5 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知13a3+S13=52,则S9=()A.9B.18C.27D.36 2 6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0,f(x)=x3+3x, 3 b=f(log 1),c=f( )的大小关系为() 则a=f(22),327 A.a>b>c C.b>a>c B.a>c>b D.b>c>a 7.现有一组数据如茎叶图所示,若平均数为115,且方差达到最小,则mn的值是() A.27B.32C.35D.36 8.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,ϕ <π)的部分图象如图所示, 2 若f(a+x)+f(a-x)=0,则a的最小值为() ππ A.B. 126 x2y2 π5π C.D. 312 9.已知椭圆C: +=1的左焦点为F,点M在椭圆C上且位于第一象限, 94 O为坐标原点,若线段MF的中点N满足NF⋅NO=0,则直线MF的方程为() 5 5 A.3x-y+3=0B.2x-y+2=0 5 5 C.x-y+=0D.x-2y+=0 10.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,如图所示,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的边长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等 2 边体的棱长为,则该二十四等边体外接球的表面积为() A.4πB.6πC.8πD.12π11.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线,它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现,其作法是: 以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如 图中的两个勒洛三角形,它们所对应的等边三角形的边长比为1: 3,若从大的勒洛三角形中随机取一点,则此点取自小勒洛三角形内的概率为() 12 A.B. 99 11 C.D. 63 12.已知函数f(x)=2lnx(e-1≤x≤e2),g(x)=mx+1,若f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y=1对称的点,则实数m的取值范围是() 3 A.[-e-2,e] 3 B.[-2e-2,3e] C.[-e-3,e2]D.[-2e-3,3e2] 第II卷非选择题 二、填空题: 本大题共4小题,每题5分,共20分. 13.曲线y=ex(x2+2)在点(0,2)处的切线方程为. 14.执行如图所示的程序框图后,输出S的值为. 15.已知双曲线C: x 2y2 - =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F,F,直线l过点F交双 a2b2 122 曲线右支于P,Q两点,若PF1 =3PF2 ,PQ=4PF2 ,则双曲线C的离心率为. 5 16.如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,BD=,AB⊥AC,AC=2AB, 则CD的最小值为. 三、解答题: 共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题: 共60分 17.(本小题满分12分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,a1=2,且a1,a2,a4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn; 11 (2)记bn=+a,求数列{bn}的前n项和Tn. Sn2n-1 如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,四边形ABB1A1为正方形,且AC=AA1=4,∠CAB=∠CAA1=60︒. (1)求证: 平面AB1C⊥平面ABB1A1; (2)求点A到平面A1B1C的距离. 19.(本小题满分12分) 已知A,B是抛物线C: y2=4x上两点,线段AB的垂直平分线与x轴有唯一的交点P(x,0). 0 (1)求证: x0>2; (2)若直线AB过抛物线C的焦点F,且AB=10,求PF. 20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=axlnx+2x+a+1(a∈R). (1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围; (2)若对∀x∈(1,+∞),f(x)+x2>0恒成立,求a的取值范围. 某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金,需了解每投入2千万资金后,工人人数x(单位: 百.人.)对年产能y(单位: 千万元)的影响,对投入的人力和年产能的数据作了初步处理,得到散点图和统计量表. x y lny 1 x n ∑(xi-x) 2 i=1 n11 ∑(-)2 i=1xix n ∑(xi-x)(yi-y) i=1 n11 ∑(x-x)(lnyi-lny) i=1i n ∑(xi-x)(lnyi-lny) i=1 5.825 3.612 -0.154 1.077 328 27.87 150.80 -55.74 126.56 y=ex (1)根据散点图判断: y=a+blnx与b+a 哪一个适宜 作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型? 并说明理由? (2)根据 (1)的判断结果及相关的计算数据,建立y关于x 的回归方程; (3)现该企业共有2000名生产工人,资金非常充足,为了使得人均年产能达到最大值,则下一年度共需投入多少资金 (单位: 千万元)? 附注: 对于一组数据(s1,t1),(s2,t2),…,(sn,tn),其回归 n ∑(si-s)(ti-t) n 直线t=bs+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1,a=t-bs,(说明: f(x)=e b+ax ∑ i=1 (si -s)2 的导函数为f '(x)= -b⋅ b+a ex) x2 (二)选考题: 共10分,请考生从第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分. 22.[选修4-4: 坐标系与参数方程](本小题满分10分) ⎧x=1+cosα ⎪ 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为⎨ ⎪y= ⎪⎩ 1-cosα 2sinα1-cosα (α为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为θ=θ0(θ0∈(0,π)),将曲线C1向左平移2个单位长度得到曲线C. OB (1)求曲线C的普通方程和极坐标方程; OA (2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求 1+1的取值范围. 23.[选修4-5: 不等式选讲](本小题满分10分)已知函数f(x)=x2-x+1,且m,n∈R. (1)若m+2n=2,求f(m)+2f(n)的最小值,并求此时m,n的值; (2)若|m-n|<1,求证: |f(m)-f(n)|<2(|m|+1). 2020届高三下学期第三次阶段质量检测 数学(文)答案及评分标准 一、单选题 1.B解: M={0,1,2,3,4},N={x|-2 B. 2.D解: 因为(1+i)z=2,所以z=2= 2(1-i) =1-i, 1+i(1+i)(1-i) 则复平面内表示z的点位于第四象限.选D. 3.C解: ∵a⊥b⇔x2+1-2x=0⇔x=1, ∴“x=1”是“a⊥b”的充要条件.故选: C. ⎧2x-y≥0 4.A解: 如图,作出可行域,由⎨ ⎛24⎫ 得A,, 55 ⎝⎭ ⎩x+2y≤2ç⎪ 当直线l: x+3y=0平移至经过点A(2,4)时, 55 z=x+3y取得最大值14,故选: A. 5 13⨯(a1+a13) 13⨯2a7 5.B解: 因为S13= ==13a7所以 22 13a3+S13=13a3+13a7=52,∴a3+a7=4, a3+a7 9(a1+a9) 9⨯2a5 ∴a5==2,∴S9===9a5=9⨯2=18,故选: B 222 6.C解: 函数f(x)是定义在R上的偶函数, ∴b=f(log 1)=f(-3)=f(3), 327 3 2 0<2<22=2 <3, 当x≥0,f'(x)=3x2+3>0恒成立, ∴f(x)=x3+3x在[0,+∞)上单调递增, 2 13 ∴f(log3)>f(22)>f( 27 ),即b>a>c.故选: C. 7.D解: 数据的平均数为 1⨯(6+4+9+9+m+n+2+1+5+2+200+660+240)=115, 10 ∴m+n=12,要使方差最小, 2 则(110+m-115)2+(110+n-115)2=(m-5)2+(n-5)2≥(m-5+n-5) 2 =2, ϕ <π2 当且仅当m-5=n-5,即m=n=6时取等号,此时方差最小,mn=36.故选: D.8.A解: 由图象易知A=2,f(0)=1,即2sinϕ=1, ,∴ϕ=π, 6 11ππ 由图可知⋅ω+=2kπ(k∈N*), 126 ∴ω=24k-2, ⎧11π ⎪ T> ⎪12 ⎨ ,又T=2π(ω>0),∴18<ω<24, 11⎪3T<11πω ⎪⎩412 1111 ∴由k=1得ω=2, ∴f(x)=2sin(2x+π), 6 f(a+x )+f(a-x)=0,∴f(x)关于点(a,0)对称, πkππ 即有2a+=kπ,a=-,k∈Z, 6 ∴a的最小值为π 12 212 ,故选: A. 9.D解: 设椭圆C的右焦点为F1,M(x,y)(x>0,y>0), NF⋅NO=0 ,∴NF⊥NO, N,O 5 分别是MF和FF1的中点, 5 ∴MF⊥MF1,由已知可得F(- 0),F1( 0), 5 ∴(x+ y)⋅(x- y)=0,即x2+y2=5, 5 ⎧x2 ⎪ y2 35 45 +=1 由⎨94 ⎩ ⎪x2+y2=5 得M(,), 55 45 MF ∴k=5=1, 5 35+2 5 5 5 ∴直线MF的方程为y=1(x+ 2 ),即x-2y+=0.故选: D. 2 10.C解: 由已知根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为, 2 2 侧棱长为2的正四棱柱的外接球, 2 ∴(2R)2=( )2+( )2+22,∴R=, 2 ∴该二十四等边体的外接球的表面积S=4πR2=4π⨯()2=8π.故选: C. 11.A解: 设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a, 22 则小勒洛三角形的面积S =3⨯πa -2⨯ 3a2=(π- 3)a, 1642 因为大小两个勒洛三角形,它们所对应的等边三角形的边长比为1: 3, (π-3)(3a)2 9(π-3)a2 所以大勒洛三角形的面积S2==, 22 若从大的勒洛三角形中随机取一点,则此点取自小勒洛三角形内的概率P=S1=1. 故选A. 12.B解: g(x)=mx+1关于直线y=1对称的直线为y=h(x)=1-mx, ∴直线y=1-mx与y=2lnx在[1,e2]上有交点. e 作出y=1-mx与y=2lnx的函数图象,如图所示: 若直线y=1-mx经过点(1,-2), e S29 则m=3e, 若直线y=1-mx与y=2lnx相切, 设切点为(x,y). ⎧⎧3 ⎪y=1-mx ⎨ 则⎪y=2lnx ⎪ ⎪x=e2 ⎨ ,解得⎪y=3. - ⎪3 ⎪2=-m ⎩x ⎪⎩m=-2e2 -3 2 m3e ∴-2e f'(x)= 二、填空题 .故选B. 13.y=2x+2 解: 令f(x)=ex(x2+2), ex(x2+2x+2),所以f'(0)=2, 又f(0)=2,∴所求切线方程为y-2=2x,即y=2x+2. 故答案为: y=2x+2. +2n=2(1-2) 1-2 n 14.126解: 由图可知S=2+22+=2n+1-2, S≥63 10 ,∴S=126.故答案为: 126 15. 2 解: 设PF2 =m,则PF1 =3m,PQ=4m, ∴QF2 ⎧⎪PF1-PF2 =3m,由双曲线的定义,得⎨ =2m=2a ⇒⎧QF1 =5a , ⎨ 11 则此时满足PF2+PQ2=QF2, ⎪⎩QF1-QF2 =QF1-3m=2a ⎩m=a 10 10 ∴∆PQF1是直角三角形,且∠QPF1=90︒, 222 222 ∴PF1 + PF2 =F1F2 ⇒(3a)+a =(2c) ,得e=.故答案为: . 22 5 16. 解: 设∠ADB=θ,在∆ABD中, 由正弦定理得 AB=BD,即 AB sinθ sinθ =5 sin∠BAD sin∠BAD ⇒AB⋅sin∠BAD= 5 sinθ,由余弦定理得 5 AB2=AD2+BD2-2⋅AD⋅BD⋅cosθ=6-2 ∵AB⊥AC,∴∠BAD=π+∠DAC, 2 cosθ, 在∆ACD中,由余弦定理得 CD2=AD2+AC2-2AD⋅ACcos∠DAC=1+4AB2-4ABsin∠BAD 5 =25-8 cosθ-4 sinθ 5 =25-20sin(θ+ϕ), 5 5 ∴当sin(θ+ϕ)=1时,CDmin=.故答案为: 三、解答题 17.解: (1) a1=2 2 a1,a2,a4成等比数列,∴a2=a1⋅a4,, ∴(2+d)2=2(2+3d),解得d=2或d=0(舍去),…………………2分 ∴an=2+(n-1)⨯2=2n,………………………4分 S=n(2+2n)=n(n+1)………………6分 n2 1=1 =1-1 111 n 2n-1 (2)由 (1)得Sn(n+1) nn+1,a ==, 2⋅2n-12n b=1- 1+1 ,………………8分 nnn+12n +(1- 1 nn+1 1(1-1) ∴Tn =(1-1)+(1-1)+ 223 )+22n 1-1 2 =1- 1+1- 1=2-1 -1………………12分 A1B=O n+12nn+12n 18.解: (1)连接A1B,设AB1 ,连接CO,AC=AC,∠CAB=∠CAA1, AB=AA1,∴∆CAB≅∆CAA1,∴CB=CA1, O 为A1B的中点,∴A1B⊥CO.………………2分 四边形ABB1A1为正方形,∴A1B⊥AB1 又CO,AB1⊂平面AB1C,COAB1=O, A1B⊂ ∴A1B⊥平面AB1C,………………4分平面ABB1A1, ∴平面AB1C⊥平面ABB1A1.………………6分 (2) CA=AA1=4,∠CAA1=60︒,∴CA1=4, 2 在Rt∆COA1中,又OA1=2, 2 ∴CO=2 ,又AO=2 ,AC=4, 2 ∴OA2+OC2=AC2,∴CO⊥AO,………………8分 平面AB1C⊥平面ABB1A1,平面AB1C 平面ABB1A1=AB1, ∴CO⊥平面ABB1A1,∴CO为三棱锥C-AA1B1的高,………………10分 ∴V=1S ⋅CO=1⨯1⨯4⨯4⨯2 =162 C-AA1B1 3∆AA1B1 2 323 CA1=A1B1=B1C=4,∴S ∆CAB= 1⨯4⨯4⨯sin60︒=4, 3 11 2 162 43 46 11 3VC-AAB S 3 ∴点A到平面A1B1C的距离d=== ∆CA1B1 .………………12分 19.解: (1)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2), P(x0,0) 在线段AB的垂直平分线线上,∴PA=PB,………………2分 2222 ∴(x1-x0) + y1 =(x2-x0) + y2 ………① A(x1,y1 2 ),B(x2,y2)在抛物线C上, 1 ∴y2 =4x1,y2 =4x2, 代入①得(x-x)2+4x =(x -x)2+4x,化简得x =x1+x2+2,………………4分 10120202 x1≥0 ,x2≥0,x1≠x2, ∴x1+x2>0,∴x0>2.………………6分 (2)由已知可得直线AB斜率存在且不为0,故可设直线AB的方程为 y=k(x-
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