关于针对高考数学试题分析与.docx
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关于针对高考数学试题分析与
HRPlanningSystemIntegrationandUpgradingResearchof
ASuzhouInstitution
2005年高考数学试题分析与
2006届高考复习建议
2005年普通高等学校招生全国统一考试,在2004年高考改革的基础上进一步深入和发展。
全国及部分省市共命制了16套(含文理科)共29种试卷。
这些试卷依据《2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲》或单独命题省市的《2005年高考考试说明》的各项要求,在遵循“数学科考试,要发挥数学作为基础学科的作用,既重视考查中学数学知识掌握程度,又注重考查进入高校继续学习的潜能。
”原则的基础上,进一步加大了改革的力度,凸显了新课程改革的理念,做到了坚持循序渐进,体现适度创新。
我省是继去年以来第二次自主命题,并首次实行网上高考评卷,评卷方式实行了科学的“多评制”,做到了一卷二评、三评甚至四评,最大限度地实现了阅卷公平、公正。
第一部分试卷整体分析
一、全面、综合测试基础知识,重视考查对数学内涵的理解
数学基础知识、基本技能和基本数学思想方法是中学数学教学的主要内容,考查学生对基础知识的掌握程度,是数学考试的重要目标之一。
对知识的考查,不仅是知识的简单重现,更注重理解和运用,特别是注重知识的整体性和综合性,在知识网络的交汇点上设计试题,对所学知识融会贯通,理论联系实际,防止单纯性的死记硬背。
1.对数学基础知识的考查全面又突出重点
试卷全面考查《考试大纲》要求的知识内容,教材中各章的内容都有涉及,如二项式定理、排列组合、复数、球等教学课时较少的内容,在试卷中都有考查。
在全面考查的前提下,重点考查高中数学知识的主干内容,如函数、不等式、数列、直线与平面、圆锥曲线、平面向量、概率、导数。
例1:
(湖南卷文1)设全集U={–2,–1,0,1,2},A={–2,–1,0},B={0,1,2},则(CUA)∩B=(C)
(A){0}(B){–2,–1}(C){1,2}(D){0,1,2}
例2:
(全国1卷理1)设
为全集,S1、S2、S3是
的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的是(A)
(A)
(B)
(C)
(D)
这两题都考查集合概念与运算,是源于课本的基础题目,既可以从集合的基本关系和基本运算入手解答,也可以运用文氏图求解。
例3:
(全国3卷理7)设
且
则(C)
(A)
(B)
(C)
(D)
由于
,所以必须sinx>cosx,这种比较三角函数值大小的问题是三角函数学习过程中常见的问题,运用三角函数定义、三角函数图象或单位圆都可以得出结论。
例4:
(湖北卷理4)函数
的图象大致是(D)
由绝对值和指数、对数运算法则,当x≥1时,y=elnx-x+1=1,当0<x<1时,y=-elnx+x-1=
+x-1,虽然高中阶段没有学习函数y=
+x的图象,但从函数的值域或者单调性等方面都很容易综合图象信息判断正确答案。
纵览各种试卷不难看出,基础知识的考查既全面又突出重点,很多题目源于课本,即使课本中没有的,运用所学知识也容易解决。
重视基础、夯实基础是十分重要的。
2.重视知识的交汇融合,在知识网络的交汇点上设计问题
数学是严密逻辑体系的知识系统,各部分内容有机联系组成一个整体结构。
高考试题注重学科的内在联系和知识的综合,一卷中有多个题在几个知识层面的交汇处命题,综合程度较高。
例5:
(北京卷理13)对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论:
①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);
③
>0;④
.
当f(x)=lgx时,上述结论中正确结论的序号是②③。
本题把对数的运算(①②)、对数函数的单调性(③)、对数函数图像的凹凸性(④)等知识有机的合成为一道多项填空题,若对函数的性质有较清楚的理解便不会有困难,而靠死记硬背的考生就会有问题。
例6:
(山东卷理11)
下列不等式一定成立的是(A)(A)
(B)
(C)
(D)
本题把参数、对数函数、含绝对值的不等式、平均值不等式等知识融合,这种以含参数的对数为载体,融合不等式知识命制的具有综合性质的试题,若没有对这些知识的真正理解,很难正确解答。
强调基础、强调学科的内在联系,各种试卷中的多数试题都是综合性较强的题目,既有章节内部各部分知识的纵向联系,又有各章知识之间的横向联系,还有与其他学科间的联系,把数学这门基础学科作为一个整体,从学科的整体高度进行综合考查。
3.重视考查对数学内涵的理解,突出对数学本质的考查
数学教育的本质是数学,数学对社会的作用越来越大,数学意识,特别是思维方法是其他学科很难替代的。
历年高考试题一贯突出对数学本质的考查,强调数学基础知识和基本方法的考查,强调重要的数学思想方法的考查。
函数重在考查基本性质、函数方法和数形结合思想;立体几何重在考查对空间图形的处理能力,在空间图形中进行推理、对角与距离的度量、平面图形与空间图形的相互转化;解析几何则重在考查它的最基本的研究方法——坐标法。
例7:
(北京卷理18)如图,直线l1:
y=kx(k>0)与直线l2:
y=–kx之间的阴影区域(不含边界)记为W,其左半部分记为W1,右半部分记为W2.
(
)分别用不等式组表示W1和W2;
(
)若区域W中的动点P(x,y)到l1,l2的距离之积等于d2,求点P的轨迹C的方程;
(
)设不过原点O的直线l与(
)中的曲线C相交于M1,M2两点,且与l1,l2分别交于M3,M4两点.求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合.
本题把线性规划与解析几何融合命题,实际上是一个传统的题目,经过巧妙的加工,成为很有新意的题目。
高中阶段学习最简单的线性规划知识,本题非常巧妙地把它融合进来以表示轨迹所在的区域;求点P的轨迹方程及证明两个三角形的重心重合所用的解析几何最本质,也是最重要的方法坐标法;解答过程中,要进行必要的字母运算,这种运算能力也是今后继续学习所必须具备的。
二、把握数学学科特点,倡导通性通法,考查数学思想
数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼,是适用于中学数学全部内容的通法,是高考考查的核心。
各套试卷中都能体现出注重通性通法,强调数学思想方法的特点。
数学思想方法包括:
数形结合的思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想、化归与转化的思想;和逻辑学中的方法:
分析法、综合法、反证法、归纳法;以及具体数学方法:
配方法、换元法、待定系数法、同一法等。
例8:
(上海卷理16)设定义域为为R的函数
,则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解的充要条件是(C)
(A)b<0且c>0;(B)b>0且c<0;
(C)b<0且c=0;(D)b≥0且c=0。
本题虽然是个小题,却很好的考查了函数与方程的思想,转化与化归的思想,以及数形结合的方法,题目把方程与函数巧妙结合,运算量不大,但必须对方程根的本质及对函数图象和变换有清楚认识才能得到正确的解答。
例9:
(江苏卷理22)已知
,函数
。
(Ⅰ)当
时,求使
成立的x的集合;
(Ⅱ)求函数
在区间[1,2]上的最小值。
题目入口容易、深入难。
解决(Ⅱ)时,首先要分析函数的属性:
f(x)=x2|x-a|≥0.因此当x=0,x=a时,f(x)有最小值0。
再讨论a与所给区间(1,2)的关系,利用分类讨论思想及导数研究函数单调性的方法逐步深入。
例10(全国1卷理22)(Ⅰ)设函数f(x)=log2x+(1-x)log2(1-x)(0<x<1),求f(x)的最小值;
(Ⅱ)设正数
满足
,证明
解决本题需要综合运用导数等知识及数学归纳法,在推理的严密与灵活性等方面都有较高要求,问题(Ⅰ),可以通过求导,讨论函数单调性求得结果,问题(Ⅱ)中,在数学归纳法的第二步,由归纳假设推证n=k+1时命题也成立的过程,需要引进参数,把n=k+1时的命题条件转化为n=k时的命题条件。
这个转化,没有对数学思想方法较好的把握是不能完成的。
数学不仅仅是一种重要的工具或方法,更重要的是一种思维模式,表现为数学思想。
2005年的高考各类试卷都不刻意追求知识的覆盖率,但对数学思想和方法的考查始终贯穿于整个试卷中。
三、深化数学理性思维的考查,突出能力立意
2005年试题,考查理性思维的特点之一,是从数和形的角度观察事物,提出有数学特点问题(如存在性、唯一性、不变性、充要性等)。
重视了对逻辑思维能力、计算能力、空间想象能力、分析问题解决问题能力等核心数学问题能力的考查。
例11:
(湖北卷理7)若
(C)
A.
B.
C.
D.
题目很小,无须过多计算,但对分析问题的能力要求很高,体现了高考试题“多想少算”的特点。
例12:
(北京卷理19)设数列{an}的首项a1=a≠
,且an+1=
记bn=a2n-1–
,n==l,2,3,….
(I)求a2,a3;
(
)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(
)求
.
数列问题是高考复习的重点之一,但是把递推关系分段表示来考查却是很少见到,因而可以说它是一道反对题海战术的好题,只须抓住n是偶数还是奇数的核心问题,依据递推关系,寻求bn的通项公式,可以完整地解答本题。
本题的特点是:
运算虽然不大,思维水平要求高;必须深刻理解数列概念及各项的关系,才能正确解答:
对“数”这个数学中最基本的元素的认识要深刻,有“数”感;头脑清楚,逻辑思维水平高,不会觉得此题难,数学学习比较死的考生不会解答;虽然考查数列的递推关系,但适度,只作为载体,没过多的扩展。
四、科学处理数学创新,突出数学核心能力
新课程提出了培养学生创新能力的要求,近年来的高考数学试题在坚持稳中求进、2005年的命题在考查创新能力和应用意识方面进一步进行了大胆的摸索,设计了研究型、探索型的新题型,利用立意创新、结构创新、背景创新的题来突出考查考生的创新能力,对高层次的理性思维、创新意识进行了综合考查,有很好的选拔功能。
123
132
213
231
312
321
例13:
(上海卷理12)用n个不同的实数a1,a2,…,an可得到n!
个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!
行的数阵。
对第
行ai1,ai2,…,ain,记bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+(-1)nnain,i=1,2,3,…,n!
。
例如:
用1,2,3可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,b1+b2+…+b6=-12+212-312=-24。
那么,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,b1+b2+…+b120=__________。
算出数阵中行数5!
=120,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,每一列各数字之和都是5!
÷5×(1+2+3+4+5)=360,于是b1+b2+…+b120=360×(-1+2-3+4-5)=360×(-3)=-1080。
我们可以看到本题给学生创设了一个很好的发现、研究型学习的平台。
例14:
(湖南卷理15)设函数f(x)的图象与直线x=a,x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a,b]上的面积,已知函数y=sinnx在[0,
]上的面积为
(n∈N*),(i)y=sin3x在[0,
]上的面积为 ;(ii)y=sin(3x-π)+1在[
,
]上的面积为 。
题目首先学习求曲线围成封闭图形的面积的法则,依据法则求出y=sin3x在[0,
]上的面积,由正弦函数的对称性求y=sin3x在[0,
]上的面积,进而利用三角函数图像及变换推出y=sin(3x–π)+1在[
,
]上的面积。
这种学习一些新的法则,再依据所掌握的基础知识解决问题的能力是进入高校所必需的,也是高考常考查的新题。
例15:
(北京卷理14)已知n次多项式
如果在一种算法中,计算
(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,计算
的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算
的值共需要次运算。
下面给出一种减少运算次数的算法:
(k=0,1,2,…,n-1).利用该算法,计算
的值共需要6次运算,计算
的值共需要次运算。
本题是一道研究型、探索型的新题型,突出考查考生的创新能力,题目提供了计算多项式运算次数的算法,要求学生通过阅读理解该算法,并能运用它进行推理和解决问题。
首先要读懂题目的叙述,把所给的文字和数学符号翻译成数学关系输入大脑,以便于大脑加工,阅读理解是学习新知识的必要条件,数学的阅读理解能力是高考考查的一种重要能力,阅读中学习一些知识,与已有的规则,重新组织,融合,解决新问题。
这是对高层次的理性思维,创新意识进行综合考查,有很好的选拔功能。
高考试题倡导理性思维,将创新能力的考查融于数学的基本问题之中,建立在核心能力考查的基础之上。
试卷控制了创新题的数量,试题平和朴实,背景公平,突出立意上创新,考查灵活利用基础知识、基本方法,基本技能来创造性地解决基本问题的能力,以此来区别考生的数学素质。
第二部分本省试题特点
1.题型稳中有变,重点考查新增内容
2005年的湖南文、理科试卷一改往年的题型、题量及分值的风格,选择题由过去的12题减少了2题,分值也减少了10分,填空题则由过去的4题增加到5题,分值也增加了4分,解答题仍为6题,分值由过去的74分增加到80分。
试题仍沿用了过去的选择题、填空题、解答题三大模块原型。
考查的内容仍是学科基础知识,继续体现了源于教材又高于教材的思想原则。
保持了“选择题平稳,填空题难度适中,解答题层次分明”的格局。
试题结构考生仍然熟悉,没有偏题、怪题,没有脱离教学实际,在形式上为考生营造了熟悉的考试情境。
试题更加关注高中数学课程改革的进展,结合使用新课程考生的实际情况,汲取新课程中的新思想、新理念,进一步考查了课改新增内容,其中理科有6、9、11、13、18、21题共计46分,占30%,文科有9、12、19、20题共计37分,占26%,与教材所占课时的比例基本吻合,使高考数学科的考查更加反映了数学教育改革的发展方向。
2.试题分层设问,凸现入口宽的特点
试题在设计上独具匠心,多数大题都设立了具有梯度的几个小问,不同程度地从整体上降低了难度,便于不同层次的考生在各水平层次展示自己的能力水平,也使试题具有了很好的区分度。
如理科15、17、18、19、20、21题,文科15、16、18、19、20、21题。
试题还采取“一题两法”的设计方式考查立体几何内容。
新课程的立体几何有(A)、(B)两种不同版本,这两种版本都有学校采用。
理科17题、文科18题是同一立体几何题,但分数不同。
本题采用一题两法的设计,方便考生根据自己的情况,选择自己熟悉的方法。
但通过解题过程的比较可以发现,向量的方法比较规范简捷,这又体现了新课程的数学思想与新课改的改革方向。
本题对空间想象能力的考查与计算紧密结合,而且有多种途径可以解决问题,给考生以发挥的空间。
3.区分文理要求,平衡文理考生差异
根据考生群体的变化,试题合理地控制了文科试卷的难度。
文理科学生在思维整体方面各有优势,文科生形象思维整体水平与理科生抽象思维各有差异,逻辑思维整体水平各有特色。
试题关注了对文理考生的思维考查要求。
一般地,对文科生的逻辑思维及推理、运算要求低一些,因而体现在文理不同的试题比较多。
作为整套试卷,证明题略显偏多,如理科卷中有17
(1)、19
(1)、20(Ⅱ)、21(Ⅱ),这些题都是好题,但放在一份试卷上,增加了试卷的难度。
第三部分评卷情况反馈
理科填空题,平均11.99分,其中第15题有两空,相对较难,另外新增内容有第11题和第13题,占该题总分的40%,考生出现的差错主要表现在,数字书写不规范,“3”、“8”、“5”分不清,对函数y=Asin(ωx+θ)的图象作法掌握不好:
另外对“中心对称”理解不透也是失分的主要原因。
理科第16题,平均分5.75分,零分率约为10%,满分率约为25%。
本题作为解答题的第一题,起点不高,然而,从整体上说,学生做得不理想,考生主要错误有:
1、公式记忆不清,如cos2θ=2sin2θ-1,sin(π-C)=-sin(A+B)等。
2、找不到隐含条件,A+B+C=π或者找到了也不能正确使用。
3、A、B、C三个变量不能明确消去一个量,算来算去,总还是有三个量,得不出结果。
4、同名三角函数值相等,误认为其对应角也相等,或者不注意A、B、C为三角形内角,即为区间角,如由sinB=sin(
-2θ)得B=
-2θ。
理科17题,平均分7.44分,考生出现的主要典型错误有以下几个方面:
1、书写证明过程时,因严谨性不够而失分,如证OC是直线AC在平面O1CBO内的射影,很多学生讲述不清甚至用“面面垂直”推出“线线垂直”。
2、立体几何B教材中己引入了空间向量,就是用代数方法替代几何论证,但是较多的学生在“向量”或“数字”运算方面出现错误。
3、书写数字格式不规范,如向量“
”写成AB,|
|也是AB。
4、二面角的两个半平面的法向量的夹角与其二面角的大小关系不清楚,不能用法向量的方向来确定两法向量的夹角与二面角的大小关系。
5、用传统的几何方法做的学生,对二面角的平面角的概念掌握不好,不能正确作出其二面角的平面角,如过O作OE⊥AC,连结O1E,就误认为∠O1EO为其平面角。
6、平面几何知识不过关,在证OC⊥BO1时,失分也较多。
理科18题,该题平均得分8.43分。
是解答题中得分较高的一题,考生中存在的主要问题有:
1、不能正确理解题意,应用基础知识解决实际问题的能力较差,不能从实际问题中抽象出数学模型。
2、随机变量ξ的取值发生错误,如景点之差的绝对值,把绝对值丢掉,ξ取值出现了-1,-3,其次是多取ξ的值,误认为ξ=2,0等。
3、ξ取值的概率出错误,使分布列的概率和不为1。
4、有较多学生通过对称轴或求导,得出ξ≤
后,考虑到ξ=1或3,故认为,P(A)=
或者分成当ξ=1时P(A)=1,当ξ=3时,P(A)=0两种情况。
理科19题,平均得分2.81,零分率约为34.43%,满分率约为2%,考生存在的主要问题:
1.解方程组有困难或者没有利用隐含条件c2=a2-b2。
2、椭圆中a、b、c的关系不清与双曲线中a、b、c关系混淆,写成c2=a2+b2。
3、向量的坐标运算中,弄错起点和终点。
4、运算中没有消参求简的思想。
5、不能准确把握M点的性质,把M点的坐标同时代入直线方程和椭圆方程求解。
6、不能正确确定△PF1F2是哪两条边相等,导致无法进行下去。
7、不能把点关于直线对称的性质及点到直线的距离公式结合在一起来解决此问题。
理科20题,该题平均得分3.03分,零分率约为34%,满分率约为0.34%,考生存在的主要问题:
1、概念性错误,如:
将正比例系数写到分母上。
2、理解性错误,①对题中xn+1与xn之间等量关系,理解错误。
②对不等式中的参数的范围找不准。
3、非智力因素错误,如粗心写错上下标等。
4、能力性错误,很多学生得0分,主要是本题不敢动笔,其原因是能力缺乏。
有的做题速度较慢到后面已没有时间做了,有些学生心理素质差,看到这道应用题能想都不敢想就放弃了,本题的第Ⅲ问几乎90%的同学都放弃了。
理科21题,平均得分2.66分,零分率接近30%,满分率约为0.001%,考生中存在的主要问题:
1、不注意定义域致错,如:
“存在单调递减区间”不能正确转化为h´(x)<0在R+有解,而错误地转化为h´(x)<0有解。
2、运算能力弱,如能做到
的这些同学,99%无法完成后继的运算,从而导致此题满分率极低。
3、基本功差,近15%的学生出现如a-(b+c)=a-b+c之类的错误。
4、思维能力出现问题:
如“证两切线不平行”,不能想到用反证法。
5、解题速度慢或综合能力差以致于第2问没有动笔,即便动了笔也拿不到分或仅拿到2-3分。
文科填空题,平均分8.64分,考生出现差错主要表现在:
(12)题数字书写不清,立体几何中的线面平行、垂直的条件掌握不好,使所填序号多填或少填,对“对称问题”不理解,致使(14)题失分也较多。
文科16题,平均得分3.14分,满分率约为12%,考生出现差错的主要表现:
1、将数列{log2(an-1)}与{an}混为一谈,出现“1og2(a1-1)=3,log2(a3-1)=9,导致公差d=3”。
2、将通项公式与递推关系式混为一谈,误将an=2an-1-1作为最后结论。
3、由不完全归纳得出的结论不加证明。
4、未能将
化为
,影响后面的求和。
5、将和式中的项数搞错。
6、书写不规范,例如将(
)n写成
、log2(an-1)写成log2an-1等等。
7、用分析法写证明,但表达逻辑错误。
文科17题,该题平均分2.78分,零分率约为35.57%,满分率约为6.78%,考生出现差错主要表现同理科16题。
文科18题,该题平均分4.63分,考生出现差错主要表现同理科17题。
文科19题,平均分为4.29分,零分率约为34.52%,满分率约为7.87%,考生出现差错的主要表现在:
1、求导公式记忆不清出错。
2、对“用t表示a、b、c”不理解,四个字母总在交替运算得不出结果。
3、“在点P处有相切线”不理解,得不出f´(t)=g´(t)。
4、即使求出了第一问,但因导数方法讨论函数单调性时,不会对t进行讨论而导致错误。
5、函数在某区间上的单调性与其导函数在此区间上的正负关系不清楚,导致错误。
文科20题,平均分1.32分,零分率约为67%,满分率约为2%,考生出现错误主要表现在:
1、读不懂题而没有答题的占有60%以上。
2、4个部门选3个景区可能出现的结果为34而误算为43。
3、对古典概率的概念不清,如P=81或算出P>1的一些数。
4、平均分组问题理解不透,如“4个部门分为3组,其中2个部门作一组,另两个部门各为一组的分法,错误地认为有
种。
文科2l题,平均分0.82,零分率约为60%,满分率约为0.04%,该题的第1、3题同理科19题,第2问主要出错表现为:
1、a、b、c关系不清,误写为c2=a2+b2。
2、△MF1F2的周长为6,不能转化为2a+2c=6。
第四部分高考复习建议
综观2005年高考试题,可以看到,数学科的考试承袭了历年来高考命题的总体原则:
“考查基础知识的同时,注重考查能力”;确立以能力立意命题的指导思想,增加应用性和能力型的试题,加强素质的考查,融知识、能力、素质于一体,全面检测考生的数学素养;发挥数学作为基础学科的作用,既考查中学数学的知识和方法,又考查进入高校继续学习的潜能。
高考试题体现反对死记硬背,反对题海战术,反对猜题压题;坚持三基为本,坚持能力为钢的原则,据此,2006年高考复习要注意以下几点:
一、学好考试大纲,明确范围及考查要求,注意新增知识与传统基础知识并重
吃透《考试大纲》,明确重点,对高考“考什么”(知识内容要求,能力要求),“怎样考”(命题者的思路,历年高考命题的规律和特点),应了如指掌。
只有这样,才能对高考数学科的要求把握准确,复习到位。
应正确处理好课改新增知识与传统基础知识的关系,落实新课
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