指数与指数幂的运算教案.docx
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指数与指数幂的运算教案
2.1.1指数与指数幂的运算(2课时)
第一课时根式
教学目标:
1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念;
2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质;
3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教学重点:
根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质
教学难点:
根式概念和分数指数幂概念的理解
教学方法:
学导式
教学过程:
(I)复习回顾
引例:
填空
(1);a0=1(a;
(2)(m,n∈Z);(m,n∈Z);(n∈Z)
(3);-;
(4);
(II)讲授新课
1.引入:
(1)填空
(1),
(2)复习了整数指数幂的概念和运算性质(其中:
因为可看作,所以可以归入性质;又因为可看作,所以可以归入性质(n∈Z)),这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。
为了学习分数指数幂,先要学习n次根式()的概念。
(2)填空(3),(4)复习了平方根、立方根这两个概念。
如:
22=4,(-2)2=42,-2叫4的平方根
23=82叫8的立方根;(-2)3=-8-2叫-8的立方根
25=322叫32的5次方根…2n=a2叫a的n次方根
分析:
若22=4,则2叫4的平方根;若23=8,2叫做8的立方根;若25=32,则2叫做32的5次方根,类似地,若2n=a,则2叫a的n次方根。
由此,可有:
2.n次方根的定义:
(板书)
一般地,如果,那么x叫做a的n次方根(throot),其中,且。
问题1:
n次方根的定义给出了,x如何用a表示呢?
是否正确?
分析过程:
例1.根据n次方根的概念,分别求出27的3次方根,-32的5次方根,a6的3次方根。
(要求完整地叙述求解过程)
解:
因为33=27,所以3是27的3次方根;因为=-32,所以-2是-32的5次方根;
因为,所以a2是a6的3次方根。
结论1:
当n为奇数时(跟立方根一样),有下列性质:
正数的n次方根是正数,负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。
此时,a的n次方根可表示为。
从而有:
,,
例2.根据n次方根的概念,分别求出16的4次方根,-81的4次方根。
解:
因为,,所以2和-2是16的4次方根;
因为任何实数的4次方都是非负数,不会等于-81,所以-81没有4次方根。
结论2:
当n为偶数时(跟平方根一样),有下列性质:
正数的n次方根有两个且互为相反数,负数没有n次方根。
此时正数a的n次方根可表示为:
其中表示a的正的n次方根,表示a的负的n次方根。
例3.根据n次方根的概念,分别求出0的3次方根,0的4次方根。
解:
因为不论n为奇数,还是偶数,都有0n=0,所以0的3次方根,0的4次方根均为0。
结论3:
0的n次方根是0,记作当a=0时也有意义。
这样,可在实数范围内,得到n次方根的性质:
3n次方根的性质:
(板书)
其中叫根式,n叫根指数,a叫被
开方数。
注意:
根式是n次方根的一种表示形式,并且,由n次方根的定义,可得到根式的运算性质。
4.根式运算性质:
(板书)
①,即一个数先开方,再乘方(同次),结果仍为被开方数。
问题2:
若对一个数先乘方,再开方(同次),结果又是什么?
例4:
求,,,
由所得结果,可有:
(板书)
②
性质的推导如下:
性质①推导过程:
当n为奇数时,
当n为偶数时,
综上所述,可知:
性质②推导过程:
当n为奇数时,由n次方根定义得:
当n为偶数时,由n次方根定义得:
则
综上所述:
注意:
性质②有一定变化,大家应重点掌握。
(III)例题讲解
例1.求下列各式的值:
(4)(a>b)
注意:
根指数n为奇数的题目较易处理,要侧重于根指数n为偶数的运算。
(III)课堂练习:
求下列各式的值
(1)
(2)(3)(4)
(IV)课时小结
通过本节学习,大家要能在理解根式概念的基础上,正确运用根式的运算性质解题。
(V)课后作业
1、书面作业:
a.求下列各式的值
b.书P82习题2.1A组题第1题。
2、预习作业:
a.预习内容:
课本P59—P62。
b.预习提纲:
(1)根式与分数指数幂有何关系?
(2)整数指数幂运算性质推广后有何变化?
第二课时分数指数幂
教学目标:
(一)教学知识点
1.分数指数幂的概念.
2.有理指数幂的运算性质.
(二)能力训练要求
1.理解分数指数幂的概念.
2.掌握有理指数幂的运算性质.
3.会对根式、分数指数幂进行互化.
(三)德育渗透目标
培养学生用联系观点看问题.
教学重点:
1.分数指数幂的概念.
2.分数指数幂的运算性质.
教学难点:
对分数指数幂概念的理解.
1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程,注意发现并归纳其变形特点,进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后,进一步将其推广到实数范围内,但无须进行严格的推证,由此让学生体会发现规律,并由特殊推广到一般的研究方法.
教学过程:
(Ⅰ).复习回顾
[师]上一节课,我们一起复习了整数指数幂的运算性质,并学习了根式的运算性质.
整数指数幂运算性质
(1)am·an=am+n(m,n∈Z)根式运算性质
(2)(am)n=am·n(m,n∈Z)
(3)(a·b)n=an·bn(n∈Z)
[师]对于整数指数幂运算性质
(2),当a>0,m,n是分数时也成立.
(说明:
对于这一点,课本采用了假设性质
(2)对a>0,m,n是分数也成立这种方法,我认为不妨先推广了性质
(2),为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备.)
[师]对于根式的运算性质,大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性.
接下来,我们来看几个例子.
①
②
③
④
例子:
当a>0时
[师]上述推导过程主要利用了根式的运算性质,例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质
(2).因此,我们可以得出正分数指数幂的意义.
(Ⅱ).讲授新课
1.正数的正分数指数幂的意义
(a>0,m,n∈N*,且n>1)
[师]大家要注意两点,一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外,我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
(1)(a>0,m,n∈N*,且n>1)
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.
2.规定(板书)
[师]规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a>0时,整数指数幂的运算性质,对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
(1)ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q)
(2)(ar)s=ar·s(a>0,r,s∈Q)
(3)(a·b)r=ar·br(a>0,b>0,r∈Q)
3.有理指数幂的运算性质(板书)
[师]说明:
若a>0,P是一个无理数,则aP表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用,有关概念和证明在本书从略.
这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来,大家通过例题来熟悉一下本节的内容.
例2求值:
.
4.例题讲解
分析:
此题主要运用有理指数幂的运算性质.
解:
例3用分数指数幂的形式表示下列各式:
(式中a>0)
解:
[师]为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质,我们来做一下练习题.
Ⅲ.课堂练习
课本P51练习
1.用根式的形式表示下列各式(a>0)
解:
(1)
(2)(a+b>0)
(3)(4)(m>n)
(5)(p>0)(6)
2.用分数指数幂表示下列各式:
解:
(1)
(2)
(3)
(4)=(m-n)2
(5)
(6)
3.求下列各式的值:
(1);
(2);(3);(4)
(5);(6)
解:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
要求:
学生板演练习,做完后老师讲评.
(Ⅳ).课时小结
[师]通过本节学习,要求大家理解分数指数幂的意义,掌握分数指数幂与根式的互化,熟练运用有理指数幂的运算性质.
(Ⅴ).课后作业
2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
(一)1.课本P53练习题
解:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3.求下列各式的值:
(1);
(2);(3);(4)
解:
(1)
(2)
(3)
(4)
4.用计算器求值(保留4位有效数字)
(1);
(2);(3);(4);(5);(6)25·
解:
(1)=1.710
(2)=46.88(3)=0.1170
(4)=28.90(5)=2.881(6)=0.08735
板书设计
分数指数幂
1.正分数指数幂意义3.有理指数幂性质
(a>0,m,n∈N*,n>1)
(1)ar·as=ar+s
(2)(ar)s=ars
(a>0,r,s∈Q)
(3)(a·b)r=ar·ar
(a>0,b>0,r∈Q)
2.规定4.例题
(1)[例1]
(a>0,m,n∈N*,n>1),[例2]
(2)0的正分数指数幂等于0,5.学生练习
(3)0的负分数指数幂无意义.
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