奥数题型与解题思路110讲名校密卷.docx
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奥数题型与解题思路110讲名校密卷.docx
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奥数题型与解题思路110讲名校密卷
1、最值问题
【最小值问题】
例1外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。
甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点,原来就各有一位民警值勤。
为了保证安全,上级决定在沿途增加值勤民警,并规定每相邻的两位民警(包括原有的民警)之间的距离都相等。
现知甲乙相距5000米,乙丙相距8000米,丙丁相距4000米,那么至少要增加______位民警。
(《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题)
讲析:
如图5.91,现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警,共有7位民警。
他们将上面的线段分为了2个2500米,2个4000米,2个2000米。
现要在他们各自的中间插入若干名民警,要求每两人之间距离相等,这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。
由于2500、4000、2000的最大公约数是500,所以,整段路最少需要的民警数是(5000+8000+4000)÷500+1=35(名)。
例2在一个正方体表面上,三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上,如图5.92所示,它们爬行的速度相等。
若要求它们同时出发会面,那么,应选择哪点会面最省时?
(湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题)
讲析:
因为三只蚂蚁速度相等,要想从各自的地点出发会面最省时,必须三者同时到达,即各自行的路程相等。
我们可将正方体表面展开,如图5.93,则A、B、C三点在同一平面上。
这样,便将问题转化为在同一平面内找出一点O,使O到这三点的距离相等且最短。
所以,连接A和C,它与正方体的一条棱交于O;再连接OB,不难得出AO=OC=OB。
故,O点即为三只蚂蚁会面之处。
【最大值问题】
例1有三条线段a、b、c,并且a<b<c。
判断:
图5.94的三个梯形中,第几个图形面积最大?
(全国第二届“华杯赛”初赛试题)
讲析:
三个图的面积分别是:
三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积,不变量是(a+b+c)的和一定。
其问题实质上是把这个定值拆成两个数,求这两个数为何值时,乘积最大。
由等周长的长方形面积最大原理可知,(a+b)×c这组数的值最接近。
故图(3)的面积最大。
例2某商店有一天,估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后,能卖出500个。
已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个。
为了使这一天能赚得更多利润,售价应定为每个______元。
(台北市数学竞赛试题)
讲析:
因为按每个100元出售,能卖出500个,每个涨价1元,其销量减少10个,所以,这种商品按单价90元进货,共进了600个。
现把600个商品按每份10个,可分成60份。
因每个涨价1元,销量就减少1份(即10个);相反,每个减价1元,销量就增加1份。
所以,每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的(为60),根据等周长长方形面积最大原理可知,当把60分为两个30时,即每个涨价30元,卖出30份,此时有最大的利润。
因此,每个售价应定为90+30=120(元)时,这一天能获得最大利润。
2、最值规律
【积最大的规律】
(1)多个数的和一定(为一个不变的常数),当这几个数均相等时,它们的积最大。
用字母表示,就是
如果a1+a2+…+an=b(b为一常数),
那么,当a1=a2=…=an时,a1×a2×…×an有最大值。
例如,a1+a2=10,
…………→…………;
1+9=10→1×9=9;
2+8=10→2×8=16;
3+7=10→3×7=21;
4+6=10→4×6=24;
4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75;
5+5=10→5×5=25;
5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75;
…………→…………;
9+1=10→9×1=9;
…………→…………
由上可见,当a1、a2两数的差越小时,它们的积就越大;只有当它们的差为0,即a1=a2时,它们的积就会变得最大。
三个或三个以上的数也是一样的。
由于篇幅所限,在此不一一举例。
由“积最大规律”,可以推出以下的结论:
结论1所有周长相等的n边形,以正n边形(各角相等,各边也相等的n边形)的面积为最大。
例如,当n=4时,周长相等的所有四边形中,以正方形的面积为最大。
例题:
用长为24厘米的铁丝,围成一个长方形,长宽如何分配时,它的面积为最大?
解设长为a厘米,宽为b厘米,依题意得
(a+b)×2=24
即a+b=12
由积最大规律,得a=b=6(厘米)时,面积最大为
6×6=36(平方厘米)。
(注:
正方形是特殊的矩形,即特殊的长方形。
)
结论2在三度(长、宽、高)的和一定的长方体中,以正方体的体积为最大。
例题:
用12米长的铁丝焊接成一个长方体,长、宽、高如何分配,它的体积才会最大?
解设长方体的长为a米,宽为b米,高为c米,依题意得
(a+b+c)×4=12
即a+b+c=3
由积最大规律,得a=b=c=1(米)时,长方体体积为最大。
最大体积为
1×1×1=1(立方米)。
(2)将给定的自然数N,分拆成若干个(不定)的自然数的和,只有当这些自然数全是2或3,并且2至多为两个时,这些自然数的积最大。
例如,将自然数8拆成若干个自然数的和,要使这些自然数的乘积为最大。
怎么办呢?
我们可将各种拆法详述如下:
分拆成8个数,则只能是8个“1”,其积为1。
分拆成7个数,则只能是6个“1”,1个“2”,其积为2。
分拆成6个数,可得两组数:
(1,1,1,1,1,3);(1,1,1,1,2,2)。
它们的积分别是3和4。
分拆成5个数,可得三组数:
(1,1,1,1,4);(1,1,1,2,3);(1,1,2,2,2)。
它们的积分别为4,6,8。
分拆成4个数,可得5组数:
(1,1,1,5);(1,1,2,4);(1,1,3,3);(1,2,2,3);(2,2,2,2)。
它们的积分别为5,8,9,12,16。
分拆成3个数,可得5组数:
(1,1,6);(1,2,5);(1,3,4);(2,2,4);(2,3,3)。
它们的积分别为6,10,12,16,18。
分拆成2个数,可得4组数:
(1,7);(2,6);(3,5);(4,4)。
它们的积分别为7,12,15,16。
分拆成一个数,就是这个8。
从上面可以看出,积最大的是
18=3×3×2。
可见,它符合上面所述规律。
用同样的方法,将6、7、14、25分拆成若干个自然数的和,可发现
6=3+3时,其积3×3=9为最大;
7=3+2+2时,其积3×2×2=12为最大;
14=3+3+3+3+2时,其积3×3×3×3×2=162为最大;
由这些例子可知,上面所述的规律是正确的。
【和最小的规律】几个数的积一定,当这几个数相等时,它们的和相等。
用字母表达,就是如果a1×a2×…×an=c(c为常数),
那么,当a1=a2=…=an时,a1+a2+…+an有最小值。
例如,a1×a2=9,
…………→…………
1×9=9→1+9=10;
3×3=9→3+3=6;
…………→…………
由上述各式可见,当两数差越小时,它们的和也就越小;当两数差为0时,它们的和为最小。
例题:
用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形,如何下料,材料最省?
解设长方形长为a分米,宽为b分米,依题意得a×b=16。
要使材料最省,则长方形周长应最小,即a+b要最小。
根据“和最小规律”,取
a=b=4(分米)
时,即用16分米长的铁丝围成一个正方形,所用的材料为最省。
推论由“和最小规律”可以推出:
在所有面积相等的封闭图形中,以圆的周长为最小。
例如,面积均为4平方分米的正方形和圆,正方形的周长为8分米;而
的周长小于正方形的周长。
【面积变化规律】在周长一定的正多边形中,边数越多,面积越大。
为0.433×6=2.598(平方分米)。
方形的面积。
推论由这一面积变化规律,可以推出下面的结论:
在周长一定的所有封闭图形中,以圆的面积为最大。
例如,周长为4分米的正方形面积为1平方分米;而周长为4分米的圆,
于和它周长相等的正方形面积。
【体积变化规律】在表面积一定的正多面体(各面为正n边形,各面角和各二面角相等的多面体)中,面数越多,体积越大。
例如,表面积为8平方厘米的正四面体S—ABC(如图1.30),它每一个面均为正三角形,每个三角形面积为2平方厘米,它的体积约是1.1697立方厘米。
而表面积为8平方厘米
长约为1.1546厘米,体积约为1.539立方厘米。
显然,正方体体积大于正四面体体积。
推论由这一体积变化规律,可推出如下结论:
在表面积相等的所有封闭体中,以球的体积为最大。
例如,表面积为8平方厘米的正四面体,体积约为1.1697立方米;表面积为8平方厘米的正六面体(正方体),体积约为1.539立方厘米;而表面积是8平方厘米的球,体积却约有2.128立方厘米。
可见上面的结论是正确的。
【排序不等式】对于两个有序数组:
a1≤a2≤…≤an及b1≤b2≤…≤bn,
则a1b1+a2b2+……+anb抇n(同序)
T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n(乱序)≥a1b
n+a2bn-1+……+a>nb1(倒序)(其中b抇1、b抇2、……、b抇n
为b1、b2、……、bn的任意一种排列(顺序、倒序排列在外),当且仅当a1=a2=…=an,或b1=b2=…=bn时,式中等号成立。
)由这一不等式可知,同序积之和为最大,倒序积之和为最小。
例题:
设有10个人各拿一只水桶,同时到一个水龙头下接水。
水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶,分别需要1、2、3、……、9、10分钟。
问:
如何安排这10个人的排队顺序,可使每个人所费时间的总和尽可能少?
这个总费时至少是多少分钟?
解设每人水桶注满时间的一个有序数组为:
1,2,3,……,9,10。
打水时,等候的人数为第二个有序数组,等候时间最长的人数排前,这样组成
1,2,3,……,9,10。
根据排序不等式,最小积的和为倒序,即
1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1
=(1×10+2×9+3×8+4×7+5×6)×2
=(10+18+24+28+30)×2
=220(分钟)
其排队顺序应为:
根据注满一桶水所需时间的多少,按从少到多的排法。
3、最优方案与最佳策略
【最优方案】
例1某工厂每天要生产甲、乙两种产品,按工艺规定,每件甲产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时;每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时。
已知A、B、C、D四台设备,每天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时。
生产一件甲产品该厂得利润200元,生产一件乙产品得利润300元。
问:
每天如何安排生产,才能得到最大利润?
(中国台北第一届小学数学竞赛试题)
讲析:
设每天生产甲产品a件,乙产品b件。
由于设备A的转动时间每天最多为12小时,则有:
(2a+2b)不超过12。
又(a+2b)不超过8,
4a不超过16,
4b不超过12。
由以上四个条件知,
当b取1时,a可取1、2、3、4;
当b取2时,a可取1、2、3、4;
当b取3时,a可取1、2。
这样,就是在以上情况下,求利润200a+300b的最大值。
可列表如下:
所以,每天安排生产4件甲产品,2件乙产品时,能得到最大利润1400元。
例2甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂。
它们生产同一规格的成衣,每个厂的人员和设备都能进行上衣和裤子生产。
由于各厂的特点不同,甲厂每月
联合生产,尽量发挥各自的特长多生产成衣。
那么现在比过去每月能多生产成衣______套。
(1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
的时间生产上衣。
所以,甲厂长于生产裤子,乙厂长于生产上衣。
如果甲厂全月生产裤子,则可生产
如果乙厂全月生产上衣,则可生产
把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成2100套成衣,这时甲厂生产150条裤子的时间可用来生产成套的成衣
故现在比过去每月可以多生产60套。
【最佳策略】
例1A、B二人从A开始,轮流在1、2、3、……、1990这1990个数中划去一个数,直到最后剩下两个数互质,那么B胜,否则A胜。
问:
谁能必胜?
制胜的策略是什么?
(《中华电力杯》少年数学竞赛试题)
讲析:
将这1990个数按每两个数分为一组;(1、2),(3、4),(5、6),…,(1989、1990)。
当A任意在括号中划去一个时,B就在同一个括号中划去另一个数。
这样B就一定能获胜。
例2桌上放有1992根火柴。
甲乙两人轮流从中任取,每次取得根数为1根或2根,规定取得最后一根火柴者胜。
问:
谁可获胜?
(1992年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题)
讲析:
因为两人轮流各取一次后,可以做到只取3根。
谁要抢到第1992根,谁就必须抢到第1989根,进而抢到第1986、1983、1980、…、6、3根。
谁抢到第3根呢?
自然是后取的人。
即后取的可以获胜。
后者获胜的策略是,当先取的人每取一次火柴梗时,他紧接着取一次,每次取的根数与先取的加起来的和等于3。
例3有分别装球73个和118个的两个箱子,两人轮流在任一箱中任意取球,规定取得最后一球者为胜。
问:
若要先取者为获胜,应如何取?
(上海市数学竞赛试题)
讲析:
先取者应不断地让后者在取球之前,使两箱的球处于平衡状态,即每次先取者取之后,使两箱球保持相等。
这样,先取者一定获胜。
4、直接思路
“直接思路”是解题中的常规思路。
它一般是通过分析、综合、归纳等方法,直接找到解题的途径。
【顺向综合思路】从已知条件出发,根据数量关系先选择两个已知数量,提出可以解决的问题;然后把所求出的数量作为新的已知条件,与其他的已知条件搭配,再提出可以解决的问题;这样逐步推导,直到求出所要求的解为止。
这就是顺向综合思路,运用这种思路解题的方法叫“综合法”。
例1兄弟俩骑车出外郊游,弟弟先出发,速度为每分钟200米,弟弟出发5分钟后,哥哥带一条狗出发,以每分钟250米的速度追赶弟弟,而狗以每分钟300米的速度向弟弟追去,追上弟弟后,立即返回,见到哥哥后又立即向弟弟追去,直到哥哥追上弟弟,这时狗跑了多少千米?
分析(按顺向综合思路探索):
(1)根据弟弟速度为每分钟200米,出发5分钟的条件,可以求什么?
可以求出弟弟走了多少米,也就是哥哥追赶弟弟的距离。
(2)根据弟弟速度为每分钟200米,哥哥速度为每分钟250米,可以求什么?
可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。
(3)通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为1000米,每分钟可追上的距离为50米,根据这两个条件,可以求什么?
可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。
(4)狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑,看起来很复杂,仔细想一想,狗跑的时间与谁用的时间是一样的?
狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。
(5)已知狗以每分钟300米的速度,在哥哥与弟弟之间来回奔跑,直到哥哥追上弟弟为止,和哥哥追上弟弟所需的时间,可以求什么?
可以求出这时狗总共跑了多少距离?
这个分析思路可以用下图(图2.1)表示。
例2下面图形(图2.2)中有多少条线段?
分析(仍可用综合思路考虑):
我们知道,直线上两点间的一段叫做线段,如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做基本线段,那么就可以这样来计数。
(1)左端点是A的线段有哪些?
有ABACADAEAFAG共6条。
(2)左端点是B的线段有哪些?
有BC、BD、BE、BF、BG共5条。
(3)左端点是C的线段有哪些?
有CD、CE、CF、CG共4条。
(4)左端点是D的线段有哪些?
有DE、DF、DG共3条。
(5)左端点是E的线段有哪些?
有EF、EG共2条。
(6)左端点是F的线段有哪些?
有FG共1条。
然后把这些线段加起来就是所要求的线段。
【逆向分析思路】从题目的问题入手,根据数量关系,找出解这个问题所需要的两个条件,然后把其中的一个(或两个)未知的条件作为要解决的问题,再找出解这一个(或两个)问题所需的条件;这样逐步逆推,直到所找的条件在题里都是已知的为止,这就是逆向分析思路,运用这种思路解题的方法叫分析法。
例1两只船分别从上游的A地和下游的B地同时相向而行,水的流速为每分钟30米,两船在静水中的速度都是每分钟600米,有一天,两船又分别从A、B两地同时相向而行,但这次水流速度为平时的2倍,所以两船相遇的地点比平时相遇点相差60米,求A、B两地间的距离。
分析(用分析思路考虑):
(1)要求A、B两地间的距离,根据题意需要什么条件?
需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。
(2)要求两船的速度和,必要什么条件?
两船分别的速度各是多少。
题中已告之在静水中两船都是每分钟600米,那么不论其水速是否改变,其速度和均为(600+600)米,这是因为顺水船速为:
船速+水速,逆水船速为:
船速-水速,故顺水船速与逆水船速的和为:
船速+水速+船速-水速=2个船速(实为船在静水中的速度)
(3)要求相遇的时间,根据题意要什么条件?
两次相遇的时间因为距离相同,速度和相同,所以应该是相等的,这就是说,尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了30米,仍不会改变相遇时间,只是改变了相遇地点:
偏离原相遇点60米,由此可知两船相遇的时间为60÷30=2(小时)。
此分析思路可以用下图(图2.3)表示:
例2五环图由内径为4,外径为5的五个圆环组成,其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等(如图2.4),已知五个圆环盖住的总面积是122.5,求每个小曲边四边形的面积(圆周率π取3.14)
分析(仍用逆向分析思路探索):
(1)要求每个小曲边四边形的面积,根据题意必须知道什么条件?
曲边四边形的面积,没有公式可求,但若知道8个小曲边四边形的总面积,则只要用8个曲边四边形总面积除以8,就可以得到每个小曲边四边形的面积了。
(2)要求8个小曲边四边形的总面积,根据题意需要什么条件?
8个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分,因此只要把五个圆环的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了。
(3)要求五个圆环的总面积,根据题意需要什么条件?
求出一个圆环的面积,然后乘以5,就是五个圆环的总面积。
(4)要求每个圆环的面积,需要什么条件?
已知圆环的内径(4)和外径(5),然后按圆环面积公式求就是了。
圆环面积公式为:
S圆环=π(R2-r2)
=π(R+r)(R-r)
其思路可用下图(图2.5)表示:
【一步倒推思路】顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系,不可分割的。
在解题时,两种思路常常协同运用,一般根据问题先逆推第一步,再根据应用题的条件顺推,使双方在中间接通,我们把这种思路叫“一步倒推思路”。
这种思路简明实用。
例1一只桶装满10千克水,另外有可装3千克和7千克水的两只空桶,利用这三只桶,怎样才能把10千克水分为5千克的两份?
分析(用一步倒推思路考虑):
(1)逆推第一步:
把10千克水平分为5千克的两份,根据题意,关键是要找到什么条件?
因为有一只可装3千克水的桶,只要在另一只桶里剩2千克水,利用3+2=5,就可以把水分成5千克一桶,所以关键是要先倒出一个2千克水。
(2)按条件顺推。
第一次:
10千克水倒入7千克桶,10千克水桶剩3千克水,7千克水倒入3千克桶,7千克水桶剩4千克水,3千克水桶里有水3千克;第二次:
3千克桶的水倒入10千克水桶,这时10千克水桶里有水6千克,把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里,这时7千克水桶里剩水1千克,3千克水桶里有水3千克;第三次:
3千克桶里的水倒入10千克桶里,这时10千克桶里有水9千克,7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里,这时7千克桶里无水,3千克桶里有水1千克;第四次:
10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里,10千克水桶里剩下2千克水,7千克桶里的水倒入3千克桶里(原有1千克水),只倒出2千克水,7千克桶里剩水5千克,3千克桶里有水3千克,然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里,因为原有2千克水,这时也正好是5千克水了。
其思路可用下图(图2.6和图2.7)表示:
问题:
例2今有长度分别为1、2、3……9厘米的线段各一条,可用多少种不同的方法,从中选用若干条线段组成正方形?
分析(仍可用一步倒推思路来考虑):
(1)逆推第一步。
要求能用多少种不同方法,从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么?
根据题意,必须知道两个条件。
一是确定正方形边长的长度范围,二是每一种边长有几种组成方法。
(2)从条件顺推。
①因为九条线段的长度各不相同,所以用这些线段组成的正方形至少要7条,最多用了9条,这样就可以求出正方形边长的长度范围为(1+2+……
②当边长为7厘米时,各边分别由1+6、2+5、3+4及7组成,只有一种组成方法。
③当边长为8厘米时,各边分别由1+7、2+6、3+5及8组成,也只有一种组成方法。
④当边长为9厘米时,各边分别由1+8、2+7、3+6及9;1+8、2+7、4+5及9;2+7、3+6、4+5及9;1+8、3+6、4+5及9;1+8、2+7、3+6及4+5共5种组成方法。
⑤当边长为10厘米时,各边分别由1+9、2+8、3+7及4+6组成,也只有一种组成方法。
⑤当边长为11厘米时,各边分别由2+9、3+8、4+7及5+6组成,也只有一种组成方法。
⑥将上述各种组成法相加,就是所求问题了。
此题的思路图如下(图2.8):
问题:
【还原思路】从叙述事情的最后结果出发利用已知条件,一步步倒着推理,直到解决问题,这种解题思路叫还原思路。
解这类问题,从最后结果往回算,原来加的用减、原来减的用加,原来乘的用除,原来除的用乘。
运用还原思路解题的方法叫“还原法”。
例1一个数加上2,减去3,乘以4,除以5等于12,你猜这个数是多少?
分析(用还原思路考虑):
从运算结果12逐步逆推,这个数没除以5时应等于多少?
没乘以4时应等于多少?
不减去3时应等于多少?
不加上2时又是多少?
这里分别利用了加与减,乘与除之间的逆运算关系,一步步倒推还原,直找到答案。
其思路图如下(图2.9):
条件:
例2李白街上走,提壶去打酒;遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒。
试问酒
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