4年级15图形计数难版.docx
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4年级15图形计数难版
几何中的计数问题包括:
数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。
在几何图形的计数问题中,各种图形的基本概念及其相关性质是计数过程中寻找规律的基础。
掌握图形的规律和方法多种多样,常用的有按顺序数和分类数两种。
分类方法如:
按点分类,按边分类,按块分类等等还要注意分类的合理性,只有当所分的类型包含所有情况并且相互不重叠,这样才有可能做到不重复、不遗漏。
【例1】★数一数图1中有多少条线段?
【解析】第一种可以按端点进行分类,如图1中,线段最左边的端点是A,即以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF共五条;以B为左端点的线段有BC、BD、BE、BF共四条;以C为左端点的线段有CD、CE、CF,共三条;以D为左端点的线段有DE、DF共二条;以E为左端点的线段有EF,一条。
这些线段的和就是图形中线段的条数。
第二种可以按含基本线段多少的顺序去数。
在此题中最长的线段AF上有四个分点,将AF分成了5条小线段,这每条小线段就是基本线段。
首先有5条基本线段,其次是包含有两条基本线段的有4条,然后是包含有三条基本线段的有3条,包含有四条基本线段的有2条,包含有五条基本线段的有1条。
则线段AF上的线段条数可求。
5+4+3+2+1=15(条)
【例2】★数一数,右图中共有多少个角?
【解析】我们规定:
把相邻两条射线构成的角叫做基本角,我们可以这样分类数:
由1个基本角构成的角有:
∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF共5个.
由2个基本角构成的角有:
∠AOC、∠BOD、∠COE、∠DOF共4个.
由3个基本角构成的角有:
∠AOD、∠BOE、∠COF共3个.
由4个基本角构成的角有:
∠AOE、∠BOF共2个.
由5个基本角构成的角有:
∠AOF共1个.
角总数5+4+3+2+1=15(个).
【小试牛刀】数出图2中总共有多少个角?
【解析】10个
【例3】★数一数,右图中共有多少个三角形?
你有什么好方法?
【解析】
1个三角形组成的:
△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF共5个;
2个三角形组成的:
△AOC、△BOD、△COE、△DOF共4个;
3个三角形组成的:
△AOD、△BOE、△COF共3个;
4个三角形组成的:
△AOE、△BOF共2个;
5个三角形组成的:
△AOF共1个;
共有5+4+3+2+1=15(个).
【例4】★★数一数:
下面三个图中长方形分别有多少个?
【解析】先数一数AB边上有多少条线段,每一条线段可以分别作为长方形的长,再数一数AD上有多少条线段,每一条线段可以分别作为长方形的宽,每一条长与一条宽搭配,就确定了一个长方形,这样就容易得出一共有多少个长方形了.
先来看图
(1),AB边上包含着的10条线段中的每一条(想一想为什么),都可与线段AD对应,惟一确定一个长方形,所以图
(1)中共有10×1=lO个长方形.
再来看图
(2),与图
(1)不同的是在AD上增加了一个分点,这样就有3条线段时,这3条线段分别与AB边上不同的线段构成长方形,所以图
(2)中共有10×3=30个长方形.
最后看图(3),与上面的思路相同,由于AD边上有3+2+1=6条线段,所以图(3)中共有10×6=60个长方形.即:
(1)(4+3+2+1)×1=10(个);
(2)(4+3+2+1)×(2+1)=30(个);(3)(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个).
【小试牛刀】数一数图4中长方形的个数。
【解析】图中AB边上有线段:
4+3+2+l=10(条)
BC边上有线段:
5+4+3+2+1=15(条)
所以共有长方形:
10×15=150(个)
答:
图4中长方形的个数为150个。
【例5】★★数一数:
右图中有几个正方形?
【解析】边长为1的正方形有12个,边长为2的正方形有6个,边长为3的正方形有2个,共20个.即4×3+3×2+2×1=20
【小试牛刀】数一数图5中有多少个正方形(其中每一个小方格都是边长为1个长度单位的正方形)?
【解析】由于正方形是长与宽相等的矩形,数正方形与数长方形相类似。
由于长=宽,那么只需考虑一边的长,按一边的长进行分类,由于图中BC边长大于AB边,因此从AB边开始分类,AB边长为8个单位长度,那么图5中有八类正方形。
①边长为1的正方形个数:
14×8=112(个)
②边长为2的正方形个数:
13×7=91(个)
③边长为3的正方形个数:
12×6=72(个)
④边长为4的正方形个数:
11×5=55(个)
⑤边长为5的正方形个数:
10×4=40(个)
⑥边长为6的正方形个数:
9×3=27(个)
⑦边长为7的正方形个数:
8×2=16(个)
⑧边长为8的正方形个数:
7×1=7(个)
那么图5中正方形个数和可求。
正方形总数为:
14×8+13×7+12×6+11×5+10×4+9×3+8×2+7×1
=112+91+72+55+40+27+16+7
=420(个)
【例6】★★数一数,右图中三角形共有几个?
【解析】27个.
【小试牛刀】数一数图6中三角形的个数(图中每一个小三角形是边长为1的正三角形)。
【解析】第一种方法:
从图6中易将三角形分为两类,一类是顶角朝上的,一类是顶角朝下的三角形。
先来考虑顶角朝上的三角形,再将它们分成5种,①在△
中有1个三角形;②在
中有2+l=3个三角形;③在
中有3+2+1=6(个)三角形;④在
中有4+3+2+l=10(个)三角形;⑤在△ABC中有5+4+3+2+l=15(个)三角形。
再来考虑顶角朝下的三角形。
①在
中有4个三角形;②在
中有3+2=5(个)三角形;③在
有2+l=3(个);④在
中有1个三角形。
综合以上的各种情况,图中三角形的个数可求。
第二种方法:
类似于正方形的分类方法。
将三角形分成五类。
①边长为1的三角形有:
25个;②边长为2的三角形有10+3=13(个),其中10个顶角朝上,3个顶角朝下;③边长为3的三角形有6个,都是顶角朝上的;④边长为4的三角形有3个,都是顶角朝上的;⑤边长为5的三角形有1个,是△ABC。
那么图中三角形个数为此五类三角形的和。
解答过程:
①按第一种方法划分三角形的总数为:
l+3+6+10+15+4+5+3+1=48(个)
②按第二种方法划分三角形的总数为:
25+13+6+3+l=48(个)
【例7】★★★数一数:
右图中有几个正方形?
【解析】形如ABED的正方形有12个;形如AHIC的正方形有5个;形如EPOQ的正方形有12个;形如BDOF的正方形有5个;形如BGKJ的正方形有12个;
【例8】★★★如图,其中同时包括两个☆的长方形有个.
【解析】先找出同时包括两个☆的最小长方形,然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方形.根据乘法原理2×2×2×3=24(种)不同的长方形.
【小试牛刀】在下图中,不包含☆的长方形有________个.
【例9】★★★如图AB,CD,EF,MN互相平行,则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?
【解析】图中共有三角形(1+2+3+4)×4=40个.梯形(1+2+3+4)×(2+4)=60;所以梯形比三角形多60-40=20个.
【例10】★★如下图,平面上有12个点,可任意取其中四个点围成一个正方形,这样的正方形有多少个?
【解析】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形,从图中可以看出:
(1)最小的正方形有6个;
(2)由4个小正方形组合而成的正方形有2个;
(3)中间还可围成2个正方形。
所以共有6+2+2=10个。
【例11】★★(选做题)如图所示,用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网,其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成,那么一共需用多少根火柴棍?
【解析】横放需1996×4根,竖放需1997×3根
共需1996×4+1997×3=13975根.
1.数一数图7中共有多少条线段?
共有多少个三角形?
【解析】先找出图中线段的基本图形,即一条线段上有几个分点。
这样的线段有:
AB、AD、AE、AF、AC、GH、KL、MN、BC点共8条线段,而且每条线段上有三个分点,说明在这样的每条线段上有4+3+2+l=10(条)线段,那么图形中总共有线段:
10×8=80(条)。
三角形求法,同上,先找出基本三角形4个,每个基本三角形中有三角形为4+3+2+1=10(个),故,图中共有三角形:
10×4=40(个)。
答:
在图形中共有80条线段,40个三角形。
2.数一数图8中有多少个三角形?
【解析】由于五边形ABCDE是一个正五边形,是对称的图形,在这个图形中有很多大小形状都相等的三角形,因此分类时按三角形大小进行分类。
①与
大小相等的三角形有5个;②与
大小相等的三角形有5个;③与
大小相等的三角形有10个;④与△ACD大小相等的三角形有5个;⑤与
大小相等的三角形有5个;⑥与△ACD大小相等的三角形有5个。
图中三角形的个数:
5×5+10=35(个)。
3.数一数图9中有多少个正方形包含阴影方格?
(图中每一个小格是边长为1的正方形。
)
【解析】由于图中的阴影方格是长为2,宽为1的长方形。
那么包含它的正方形的边长至少是2。
那么包含阴影方格的:
①边长为2的正方形有2个;②边长为3的正方形有4个;③边长为4的正方形有1个。
总共有:
2+4+l=7(个)。
答:
总共有7个正方形包含阴影方格。
4.数一数图10中有多少个三角形?
【解析】如图1,将此图形按大三角形进行分类△ADE、△ADC、△ABC、△EDC、△BDC在DE、DC、BC边上各有四个分点,则在△ADE、△ADC、△ABC中各有5+4+3+2+1=15(个)三角形。
在△EDC与△BDC中各有5个三角形。
因此共有:
15×3+5×2=55(个)
5.数一数图11中共有多少个长方形?
【解析】如图2,在大矩形ABCD和小矩形
中各有长方形:
(4+3+2+l)×(2+l)=30(个),在图形的中间部分矩形EHJG中含有的未被数到的长方形:
①含有1个基本长方形的有4个,
②含有2个基本长方形的有2个,
③含有3个基本长方形的有4个,
④含有6个基本长方形的有2个,
总共有:
30×2+4+2+4+2=72(个)。
答:
图2中共有72个长方形。
6.数一数图12中正方形的个数。
图中每个小格都是边长为1的正方形。
【解析】图形中①边长为1的正方形有6×6=36(个)
②边长为2的正方形有5×5=25(个)
③边长为3的正方形有4×4=16(个)
④边长为4的正方形有3×3=9(个)
⑤边长为5的正方形有2×2=4(个)
⑥边长为6的正方形有l×l=1(个)
图形中正方形总数:
36+25+16+9+4+l=91(个)
答:
图中共有91个正方形。
7.数一数图13中有多少个三角形?
【解析】如图3,以BC为分界,在△ABC和△BCD中各有三角形:
5+4+3+2+l=15(个);以AD为分界,AD的左侧有3个三角形,AD的右侧有2个三角形。
总共有:
15×2+3+2=35(个)。
答:
图3中总共有35个三角形。
8.下面图形中有多少个正方形?
【解析】图中的正方形的个数可以分类数,如由一个小正方形组成的有6×3=18个,2×2的正方形有5×2=10个,3×3的正方形有4×1=4个。
因此图中共有18+10+4=32个正方形。
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- 年级 15 图形 计数