全等三角形经典题型50题含答案0319015512.docx
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全等三角形经典题型50题含答案0319015512
全等三角形证明经典50题(含答案)
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE 10-2<2AD<10+24 又AD是整数,则AD=5 1 2.已知: D是AB中点,∠ACB=90°,求证: CDAB 2 A 3.已知: BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证: ∠1=∠2 证明: 连接BF和EF。 因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。 所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连B接E。 在三角形BEF中,BF=EF。 所以∠EBF=∠BEF。 又因为∠ABC=∠AED。 所以∠ABE=∠AEB。 所以AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠所A以EF。 三角形ABF和三角形AEF全等。 所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。 4. 已知: ∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证: EF=AC证明: 过E点,作EG//AC,交AD延长线于G则∠DEG=∠∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GD(EAAS EG∴EF=AC 5.已知: AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证: ∠B=2∠C BAC∴∠EAD=∠B又AD∵AE=AB, 证明: 在AC上截取AE=AB,连接ED∵AD平分∠ AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD(SAS)∴∠AED=∠B,DE=DB∵AC=AB+BD AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C 6.已知: AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证: AE=AD+BE 证明: 在AE上取F,使EF=EB,连接CF因为CE⊥AB所以∠CEB=∠CEF=因90为° EB=EF,CE=CE,所以△CEB≌△所C以EF∠B=∠C因FE为∠B+∠D=180∠°C,FE+∠CFA =180°所以∠D=∠CF因A为AC平分∠BAD所以∠DAC=∠FA又C因为AC=AC所以 △ADC≌△AFSCA(S)所以AD=AF所以AE=AF+FE=AD+BE 故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=C,BDC.=BF+所F以C=AB+CD. 又∠FCE=∠DCE,CE=CE, D; 13.已知: AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证: ∠F=∠C AB//ED,AE//BD推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF全等于三角形DCB, 所以: ∠C=∠F 14.已知: AB=CD,∠A=∠D,求证: ∠B=∠C 15. 证明: 设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD BE=CE(等量加等量,或等量减等量)所以: △是等腰三BE角C形所以: 角B=角C. 16.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证: PC-PB 作B关于AD的对称点B‘,因为AD是角BAC的平分线,B'在线段AC上(在AC中间,因为AB较短)因为PC B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB 17.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证: AC-AB=2BE ∠BAC=180-(∠ABC+∠C=18-04∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE交AC于F 因为,∠1=∠2,BE⊥AE 所以,△AB是F等腰三角形 AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠AB-C∠ABE=3∠-C2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2B E 18. 已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求 DC 作AG∥BD交DE延长线于G AGE全等BDE AG=BD=5AGF∽CDF AF=AG=5所以DC=CF=2 18.(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证: AD⊥BC. 延长AD至H交BC于H;BD=DC; 所以: ∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2; ∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB; 所以: AB=AC; 三角形ABD全等于三角形ACD; ∠BAD=∠CADA;D是等腰三角形的顶角平分线所以: AD垂直BC 19.(5分)如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N. 求证: ∠OAB=∠OBA 因为AOM与MOB都为直角三角形、共用 所以MA=MB所以∠MAB=∠MBA 因为∠OAM=∠OBM=90度 OM,且∠MOA=∠MOB 所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA 20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证: AD+BC=AB. 证明: 做BE的延长线,与AP相交于F点, ∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°, 又∵,AE,BE均为∠PA和B∠CBA的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=E9A0B°为,直角三角形在三角形ABF 中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形, AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中,∠EBC=∠DFE, 且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形, ∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21.(6分)如图,△ABC中, AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证: ∠C=2∠B 证明: 在AB上找点E,使AE=AC∵AE=AC,∠EAD=∠CAD, AD=AD∴△ADE≌△ADC。 DE=CD, ∠AED=∠C∵AB=AC+CD, ∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB =2∠B 22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M. (1)求证: MB=MD,ME=MF 2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立? 若成立 请给予证明;若不成立请说明理由. 分析: 通过证明两个直角三角形全等, 即Rt△DEC≌Rt△以B及FA垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论. 解答: 解: (1)连接BE,DF.∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,∴∠DEC=∠BFA=90D°E∥,BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,∵AF=CEA,B=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA,∴DE=BF.∴四边形 BEDF是平行四边形.∴MB=MDM,E=MF; (2)连接BE,DF.∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△∴BFDAE,=BF.∴四边形BEDF是平行四边形.∴MB=MDM,E=MF. 23.(7分)已知: 如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点, 1)求证: △AED≌△EBC. (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明): (1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。 于是知 可编辑 AD=EC,且∠EAD=∠BEC。 A由E=BE,所以△AED≌△EBC。 (2)△AEC、△ACD、△都EC面D积相等。 24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长 线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证: BD=2CE. 证明: 延长BA、CE,两线相交于点F∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90在△BEF和△BEC中∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴EF=EC∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90又°∵∠ADB=∠CDE 25、(10分)如图: DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。 求证: △AED≌△BFC。 26、(10分)如图: AE、BC交于点 BE∥CF,BE=CF。 求证: AM是△ABC的中线。 M,F点在AM上, C E 证明: ∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM∴AM是△ABC的中线. 27、(10分)如图: 在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。 求证: BD⊥AC。 三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角 们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC 28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。 求证: BF=CF 角形ABF=三角形CDE所以AF=DE 证: ∵A平B行CD(已知)∴∠B=∠C(两直线平行内,错角相等)∵M在BC的中点(已知)∴EM=FM(中点定义)在△BME和△CMF中BE=CF(已知)∠B=∠C(已证)EM=FM 已证)∴△B全M等E与△CMFS(AS)∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等)∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°(等式的性质)∴E,M,F在同一直线上31.已知: 点A、F、E、C在同一条直线上, BE=DF.求证: △ABE≌△CDF. 证明: ∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF ∵BE=DF∴ ⊿ABE≌⊿ CDSAFS() 32.已知: 如图所示, AB=AD, BC=DC,E、F分别是DC、 BC的中点,求证: AE=AF。 连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等 △ADE≌△ABF 得AE=AF 33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠ 1=∠2,∠3=∠4,求证 ∠5=∠6. 因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.又因为AC是公共边,所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等 于三角形BEC所以∠5=∠6 34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证: △ABC≌△DEF. 因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB 平行DE,BC平行EF所以角A+角EDF,角BCA=角F (两直线平行,内错角相等)然后SSA(角角边)三角形 全等 35.已知: 如图, AB=AC,BD AC,CEAB,垂足分别为D、 E,BD、CE相交于点F, 求证: BE=CD. 证明: 因为AB=AC,所以∠EBC=∠DCB BD⊥AC,CE⊥AB所以∠BEC=∠CDB A (公共边)则有三角形EBC全等于三角形DCB所以 BE=CD 36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线, DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。 求证: DE=DF. AAS证△ADE≌△ADF 37.已知: 如图,ACBC于C,DEAC于E,AD =AE.若AB=5,求AD的长? 角C=角E=90度 角B=角EAD=90度-角BAC AB于A,BC BC=AE △ABC≌△DAE AD=AB=538.如图: AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。 求证: MB=MC证明∵AB=AC ∴△AB是C等腰三角形∴∠B=∠C 又∵ME=MF,△BEM和△CEM是直角三角形 ∴△BEM全等于△CEM∴MB=MC 39.如图,给出五个等量关系: ①ADBC②ACBD③CEDE④DC ⑤DABCBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明. 已知: 求证: 证明: 已知1,2求证4因为AD=BCAC=BD,在四边形ADBC中,连AB所以△AD全B等于△BCA所以角D=角C 以4,5为条件,1为结论。 即: 在四边形ABCD中,∠D=∠C,∠A=∠B,求A证D: =BC因 为∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠,C∠A=∠B,所以2(∠A+∠D)=360,°∠A+∠D=180°,所以AB//DC 40.在△ABC中,ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D, BEMN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: ①ADC≌CEB; ②DEADBE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时, 若不成立,说明理由 ∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ACD=R∠t△CBAED.C和在Rt△CE中B, ∴DE=DC+CE=BE+AD; ⊥BF 2) (2)延长FB与EC的延长线交于点 G因为角ECA=角F(已证)所以角G=角CAF因为 ; (2)AM⊥AN。 角CAF=90度所以EC垂直BF N A 证明: (1) ∵BE⊥AC ,CF⊥AB∴ ∠ ABM+∠BAC=90°, 4 43 F F ∠ACN+∠ BAC=90°∴ ∠ABM=∠ ACN∵BM=AC, E 1 M 2 CN=AB∴△ABM≌△ NAC∴AM=AN B C (2) ∵△ABM≌△ NAC∴ ∠BAM=∠ N∵∠N+∠ BAN=90°∴ ∠ BAM+∠BAN=90°即 42.如图: BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。 求证: 1)AM=AN ∠MAN=90°∴AM⊥AN 43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证: BC∥EF 连接BF、CE, 证明△AB全F等于△DECS(AS), 然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC平行于EF 相等吗? 请说明理由 在AB上取点N,使得AN=AC∠CAE=∠EAN,AE为公共边, 所以三角形CAE全等三角形EAN 所以∠ANE=∠AC又EAC平行BD 所以∠ACE+∠BDE=18而0∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠BEEBN为公共边, 所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD 45 、(10分)如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE.求证: BE∥CF. 证明: ∵A是D中线∴BD=CD∵DF=DE, ∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF∴∠ 46 AFB=90在°R,t△DEC 、(10分)已知: 如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E, F是垂足,DEBF. 求证: AB∥CD. 证明: ∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠ 和Rt△BFA中,DE=BF,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴∠C=∠A,∴AB∥CD. 47、(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证: AB=CD 过D作AE平行线与AC交于F,连接FB由已知条件 AB>AF∵AB=CAEF=DE∴CE>DE 49、 (10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证: AE=DE. 先证明△ABC≌△BDC的出角ABC=角DCB 在证明△ABE≌△DCE 得出AE=DE 50.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C 作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证: ∠ADC =∠BDE. 证明: 作CG平分∠AC交BAD于G∵∠ACB=90°∴∠ACG=∠DCG=45°∵∠ACB=90° AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG∵CF⊥AD∴∠ACF+∠DCF=90° ∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵AC=C∠BACG=∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE ∵∠DCG=∠BCD=BD∴△CDG≌△BDE∴∠ADC=∠BDE
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