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高等数学讲义
第一章函数、极限、连续
§1.1函数
一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)
1.
口诀
(1):
奇偶函数常遇到;对称性质不可忘。
2.在(a,b)内,若,则单调增加
若,则单调减少
口诀
(2):
单调增加与减少;先算导数正与负
例1求
解是奇函数,∵是奇函数,
∵
因此是奇函数。
于是。
例2设,则下列结论正确的是
(A)若为奇函数,则为偶函数。
(B)若为偶函数,则为奇函数。
(C)若为周期函数,则为周期函数。
(D)若为单调函数,则为单调函数。
解(B)不成立,反例
(C)不成立,反例
(D)不成立,反例
(A)成立。
证明为奇函数,
所以,为偶函数。
例3设,是恒大于零的可导函数,且,则当时,下列结论成立的是
(A)(B)
(C)(D)
解∵,∴单调减少
于是x
二、有关复合函数
1.已知,求
2.已知和,求
例1、已知和
求
解:
例2、已知,且,求
解:
令,则,因此
于是,
§1.2极限
一、有关无穷小量
1.有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量);
2.等价无穷小代换;
3.无穷小的阶的比较。
例1求
解原式
例2设当x→0时(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小,而xsinxn是比高阶的无穷小,则正整数n等于
(A)1(B)2
(C)3(D)4
解:
由题意可知,4>n+1>2,
∴n+1=3,n=2选(B)
例3设,则当x→0时,是的()
(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小
(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小
解
选(C)
二、有关两个准则
准则1单调有界数列极限一定存在。
准则2夹逼定理。
例1设,证明存在,并求其值。
解∵
我,(几何平均值≤算术平均值)
用数学归纳法可知n>1时,,∴有界。
又当n>1时,,
,
,则单调增加。
根据准则1,存在
把两边取极限,得(舍去)得,
∴。
口诀(3):
递推数列求极限;单调有界要先证;
两边极限一起上;方程之中把值找。
例2求。
解令,
则0 由夹逼定理可知,于是原极限为0。 三、有关两个重要公式 公式1、 公式2、 例1求。 解当x=0时,原式=1 当x≠0时,原式 = = 例2设在内可导,且,,求c的值。 解: 则拉格朗日中值定理,有 其中ξ介于(x-1)与x之间,那么 于是,e2c=e,2c=1,则 口诀(4): 函数之差化导数;拉氏定理显神通。 四、用洛必达法则求极限 洛必达法则主要处理七种待定型极限: “”型,“”型,“0·∞”型,“∞-∞”型, “1∞”型,“00”型和“∞0”型 口诀(5): 待定极限七类型,分层处理洛必达。 第一层次: 直接用洛必达法则 “”型用洛必达法则Ⅰ “”型用洛必达法则Ⅱ 第二层次: 间接用洛必达法则 “0·∞”型例变为“”型 “∞-∞”型例变为“”型 第三层次: 间接再间接用洛必达法则 “1∞”型,“00”型,“∞0”型均为形式 而称为冪指函数,比较复杂。 口诀(6): 冪指函数最复杂;指数、对数一起上。 而上面三种类型化为, 这时一定是“0·∞”型 再用第二层次的方法处理即可 例 = 例1求。 解原式= = = = = = = 例2设函数连续,且,求 解原式=(分母令) =(用积分中值定理) =(ξ在0和x之间) =. 口诀(7): 变限积分是函数;遇到之后先求导。 公式: (当连续时) 例3高a>0,b>0常数,求 解先考虑它是“”型。 令 令型 = 因此, 于是,。 口诀(8)离散数列“洛必达”;先要转化连续型。 五、求分段函数的极限 例求。 解 ∴ 口诀(9): 分段函数分段点;左右运算要先行。 六用导数定义求极限 例设曲线与在原点相切,求 解由题设可知, 于是 七用定积分定义求极限 公式: (连续) 例1求。 分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑 而, 由此可见,无法再用夹逼定理,因此我们改用定积分定义来考虑。 解 = 例2求。 解∵ 而 由夹逼定理可知, 口诀(10): 数列极限逢绝境;转化积分见光明。 八、求极限的反问题 例1设,求a和b. 解由题设可知,∴1+a+b=0 再对极限用洛必达法则 例2、设在(0,+∞)内可导,>0, 且满足,求 解: 先用冪指函数处理方法 再用导数定义 取, 于是 这样 所以 再由,可知C=1,则 §1.3连续 一、连续与间断 例1设,在内有定义,为连续,且,有间断点,则下列函数中必有间断点为 (A)(B) (C)(D) 解: (A),(B),(C)不成立可用反例,,(D)成立可用反证法: 假若不然没有间断点,那么为两个连续函数乘积,一定连续故矛盾,所以一定有间断点 例2求的间断点,并判别其类型。 解,考虑 ∴ 可见为间断点,是可去间断点,其它皆为第二类间断点。 二、闭区间上连续函数的性质(重点为介值定理及其推论) 例1设在上连续,且,,证明存在,使得 证令,则在上连续,, 根据介值定理推论,存在使,即证。 例2设在上连续,且,求证: 存在,使。 证∵在上连续,故有最大值M和最小值m,于是 根据介值定理,存在使 ∴. 口诀(11): 函数为零欲论证;介值定理定乾坤。
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