概率统计简明教程的课后习题答案.docx

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概率统计简明教程的课后习题答案

1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件：

（1）抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件

；

（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件一分钟内呼叫次数不超过次}；

（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件寿命在到小时之间}。

解

（1）

，

.

（2）记为一分钟内接到的呼叫次数，则

，

.

（3）记为抽到的灯泡的寿命（单位：

小时），则

，

.

2.袋中有个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设{取得球的号码是偶数}，{取得球的号码是奇数}，{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.

解

（1）

是必然事件；

（2）是不可能事件；

（3）{取得球的号码是2，4}；

（4）{取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；

（5）{取得球的号码为奇数，且不小于5}{取得球的号码为5，7，9}；

（6）

{取得球的号码是不小于5的偶数}{取得球的号码为6，8，10}；

（7）

{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}

3.在区间上任取一数，记

，

，求下列事件的表达式：

（1）；

（2）；（3）；（4）.

解

（1）

;

（2）

;

（3）因为

，所以

；

（4）

4.用事件的运算关系式表示下列事件：

（1）出现，都不出现（记为）；

（2）都出现，不出现（记为）；

（3）所有三个事件都出现（记为）；

（4）三个事件中至少有一个出现（记为）；

（5）三个事件都不出现（记为）；

（6）不多于一个事件出现（记为）；

（7）不多于两个事件出现（记为）；

（8）三个事件中至少有两个出现（记为）。

解

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）.

5.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设表示事件“第次抽到废品”，，试用表示下列事件：

（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；

（2）只有第一次抽到废品；

（3）三次都抽到废品；

（4）至少有一次抽到合格品；

（2）只有两次抽到废品。

解

（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）.

6.接连进行三次射击，设={第次射击命中}，，{三次射击恰好命中二次}，{三次射击至少命中二次}；试用表示和。

解

习题二解答

1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

解这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为，则有利于的样本点数.于是

2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。

求

（1）第一次、第二次都取到红球的概率；

（2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率；

（3）二次取得的球为红、白各一的概率；

（4）第二次取到红球的概率。

解本题是有放回抽取模式，样本点总数.记

（1）

（2）（3）（4）题求概率的事件分别为.

（ⅰ）有利于的样本点数，故

（ⅱ）有利于的样本点数，故

（ⅲ）有利于的样本点数，故

（ⅳ）有利于的样本点数，故.

3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：

（1）最小号码是3的概率；

（2）最大号码是3的概率。

解本题是无放回模式，样本点总数.

（ⅰ）最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为，所求概率为.

（ⅱ）最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为，所求概率为.

4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：

（1）2只都合格；

（2）1只合格，1只不合格；

（3）至少有1只合格。

解分别记题

（1）、

（2）、（3）涉及的事件为，则

注意到，且与互斥，因而由概率的可加性知

5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：

（1）点数之和为7；

（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数。

解分别记题

（1）、

（2）、（3）的事件为,样本点总数

（ⅰ）含样本点,（1,6）,（6,1）,（3,4）,（4,3）

（ⅱ）含样本点（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（3,1）,（1,4）,（4,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）

（ⅲ）含样本点（1,1）,（1,3）,（3,1）,（1,5）,（5,1）;（2,2）,（2,4）,（4,2）,（2,6）,（6,2）,（3,3）,（3,5）,（5,3）;（4,4）,（4,6）,（6,4）;（5,5）;（6,6）,一共18个样本点。

6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。

解记求概率的事件为，样本点总数为，而有利的样本点数为，所以.

7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：

（1）事件：

“其中恰有一位精通英语”；

（2）事件：

“其中恰有二位精通英语”；

（3）事件：

“其中有人精通英语”。

解样本点总数为

（1）；

（2）；

（3）因，且与互斥，因而

.

8．设一质点一定落在平面内由轴、轴及直线所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线的左边的概率。

解记求概率的事件为，则

为图中阴影部分，而，

最后由几何概型的概率计算公式可得

1

1

1/3

图2.3

.

9．（见前面问答题2.3）

10．已知，，，求

（1）,；

（2）；（3）；（4）；（5）.

解

（1），；

（2）；

（3）；

（4）,;

（5）

11．设是两个事件，已知，，，试求及

解注意到，因而.于是，；.

习题三解答

1．已知随机事件的概率，随机事件的概率，条件概率，试求及.

解

2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。

解.

3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19

（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？

（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

解记{基金}，{股票}，则

（1）

（2）.

4．给定，，，验证下面四个等式：

，

解

5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。

求他最后可能迟到的概率。

解{迟到}，{坐火车}，{坐船}，{坐汽车}，{乘飞机}，则，且按题意

，，，.

由全概率公式有：

6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。

求下列事件的概率：

（1）随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；

（2）合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

解

（1）记{该球是红球}，{取自甲袋}，{取自乙袋}，已知，，所以

（2）

7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。

解

8．发报台分别以概率0.6，0.4发出和，由于通信受到干扰，当发出时，分别以概率0.8和0.2收到和，同样，当发出信号时，分别以0.9和0.1的概率收到和。

求

（1）收到信号的概率；

（2）当收到时，发出的概率。

解记{收到信号}，{发出信号}

（1）

（2）.

9．设某工厂有三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间生产的概率。

解为方便计，记事件为车间生产的产品，事件{次品}，因此

10．设与独立，且

，求下列事件的概率：

，，.

解

11．已知独立，且

，求.

解因，由独立性有

从而导致

再由，有

所以。

最后得到

12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。

解记{命中目标}，{甲命中}，{乙命中}，{丙命中}，则，因而

13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为，求这个装置通达的概率。

假定各个元件通达与否是相互独立的。

2

1

解记{通达}，

4

3

{元件通达}，

6

5

则，所以

图3.1

14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。

解.

15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

解.

16．设在三次独立试验中，事件出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率等于19/27，求事件在每次试验中出现的概率.

解记{在第次试验中出现}，

依假设

所以，，此即.

17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。

解注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。

记{第道工序为次品}，则次品率

18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4.求此密码被译出的概率。

解记{译出密码}，{第人译出}，则

19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？

有4次至6次出现正面的概率是多少？

解

（1）；

（2）.

20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：

（1）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；

（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；

（3）在此时刻所有电梯都在运行的概率。

解

（1）

（2）

（3）

习题四解答

1.下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证是否满足下列二个条件：

其一条件为，其二条件为。

依据上面的说明可得

（1）中的数列为随机变量的分布律；

（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为。

2.试确定常数，使成为某个随机变量X的分布律，并求：

；。

解要使成为某个随机变量的分布律，必须有，由此解得；

（2）

（3）。

3.一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。

从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。

解X可能取的值为-3，1，2，且，即X的分布律为

X

-3

1

2

概率

X的分布函数

0

=

1

4.一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。

解依题意X可能取到的值为3，4，5，事件表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即；事件表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时；同理可得。

X的分布律为

X

3

4

5

概率

X的分布函数为

0

1

5.在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。

解依题意X服从参数的二项分布，因此，其分布律

，

具体计算后可得

X

0

1

2

3

4

5

概率

6.从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。

设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。

在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。

（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；

（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；

（3）每次取出一件产品后总是放回一件正品。

解

（1）设事件表示第次抽到的产品为正品，依题意，相互独立，且而

即X服从参数的几何分布。

（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，

X的分布律为

X

1

2

3

4

概率

（3）X可能取到的值为1，2，3，4，

所求X的分布律为

X

1

2

3

4

概率

由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。

7.设随机变量，已知，求与的值。

解由于，因此。

由此可算得

即解得；

此时，。

8.掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。

解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为，因此X服从的二项分布，即

由此可得X的分布函数

0，

，

，

，

，

1，

9.某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？

解设至少要进件物品，由题意应满足

即

查泊松分布表可求得。

10.有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。

解设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从的二项分布，即，由于较大，较小，因此也可以近似地认为X服从的泊松分布，即，所求概率为

11.某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。

解设事件表示第次试验成功，则，且相互独立。

随机变量X取意味着前次试验未成功，但第次试验成功，因此有

所求的分布律为

X

1

2

…

…

概率

0.75

…

…

12.设随机变量X的密度函数为

，

0，其他，

试求：

（1）常数；

（2）X的分布函数。

解

（1）成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为；其二为，因此有，解得，其中舍去，即取。

（2）分布函数

=

=

13.设随机变量X的密度函数为，求：

（1）系数；

（2）；（3）X的分布函数。

解

（1）系数必须满足，由于为偶函数，所以

解得；

（2）；

（3）

=

=

=

=

14.证明：

函数

（为正的常数）

为某个随机变量X的密度函数。

证由于，且，

因此满足密度函数的二个条件，由此可得为某个随机变量的密度函数。

15.求出与密度函数

对应的分布函数的表达式。

解当时，

当时，

当时，

综合有

16.设随机变量X在上服从均匀分布，求方程有实根的概率。

解X的密度函数为

；

其他.

方程有实根的充分必要条件为，即，因此所求得概率为

。

17.设某药品的有效期X以天计，其概率密度为

;

0，其他.

求：

（1）X的分布函数；

（2）至少有200天有效期的概率。

解

（1）=

=

（2）。

18.设随机变量X的分布函数为

求X的密度函数，并计算和。

解由分布函数与密度函数的关系，可得在的一切连续点处有，因此

所求概率；

。

19.设随机变量X的分布函数为，求

（1）常数；

（2）；（3）随机变量X的密度函数。

解：

（1）要使成为随机变量X的分布函数，必须满足，即

计算后得

解得

另外，可验证当时，也满足分布函数其余的几条性质。

（2）

（3）X的密度函数

。

20.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：

min）服从的指数分布，其密度函数为，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。

（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；

（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。

解

（1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从的指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为

；

（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从的二项分布，所求概率为

21.设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）。

解查正态分布表可得

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

（5）

。

22.设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。

解当时，，借助于该性质，再查标准正态分布函数表可求得

（1）；

（2）

；

（3）；

（4）

；

（5）

；

（6）

。

23.某厂生产的滚珠直径服从正态分布，合格品的规格规定为，求该厂滚珠的合格率。

解所求得概率为

24.某人上班所需的时间（单位：

min）已知上班时间为8：

30，他每天7：

50出门，求：

（1）某天迟到的概率；

（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。

解

（1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为

；

（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为

。

习题五解答

1.二维随机变量只能取下列数组中的值：

，且取这些组值的概率依次为，求这二维随机变量的分布律。

解由题意可得的联合分布律为

X\Y

0

1

-1

0

0

0

0

2

0

0

2.一口袋中有四个球，它们依次标有数字。

从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。

设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。

以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求的分布律及。

解X可能的取值为，Y可能的取值为，相应的，其概率为

或写成

X\Y

1

2

3

1

0

2

3

0

。

3.箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：

X=0，若第一次取出正品；Y=0，若第二次取出正品；

1，若第一次取出次品；1，若第二次取出次品。

分别就下面两种情况求出二维随机变量的联合分布律：

（1）放回抽样；

（2）不放回抽样。

解

（1）在放回抽样时，X可能取的值为，Y可能取的值也为，且

或写成

X\Y

0

1

0

1

（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为

或写成

X\Y

0

1

0

1

4.对于第1题中的二维随机变量的分布，写出关于X及关于Y的边缘分布律。

解把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为

X

-1

0

2

概率

按列相加得Y的边缘分布律为

Y

0

1

概率

5.对于第3题中的二维随机变量的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X及关于Y的边缘分布律。

解在有放回情况下X的边缘分布律为

X

0

1

概率

Y的边缘分布律为

Y

0

1

概率

在无放回情况下X的边缘分布律为

X

0

1

概率

Y的边缘分布律为

Y

0

1

概率

6.求在D上服从均匀分布的随机变量的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直线围成的三角形区域。

解区域D见图5.2。

易算得D的面积为，所以的密度函数

y

1

-101x

的分布函数

当或时，；

图5.2

当时,；

当时，；

当时，；

当时，

综合有

7.对于第6题中的二维随机变量的分布，写出关于X及关于Y的边缘密度函数。

解X的边缘密度函数为

==

Y的边缘密度函数为

==

8.在第3题的两种情况下，X与Y是否独立，为什么？

解在有放回情况下，由于，而，即；容易验证

，由独立性定义知X与Y相互独立。

在无放回情况下，由于，而，易见，所以X与Y不相互独立。

9.在第6题中，X与Y是否独立，为什么？

解，而，易见，所以X与Y不相互独立。

10.设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律：

X

-2

-1

0

0.5

Y

-0.5

1

3

概率

概率

写出表示的分布律的表格。

解由于X与Y相互独立，因此

例如

其余的联合概率可同样算得，具体结果为

X\Y

-0.5

1

3

-2

-1

0

0.5

11.设X与Y是相互独立的随机变量，X服从上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求的联合密度函数及。

解.由均匀分布的定义知

由指数分布的定义知

因为X与Y独立，易得的联合密度函数

y

0.2x

图5.3

概率，

其中区域见图5.3，经计算有

。

12.设二维随机变量的联合密度函数为

求：

（1）系数；

（2）；（3）证明X与Y相互独立。

解

（1）必须满足，即，经计算得；

（2）；

（3）关于X的边缘密度函数

=

同理可求得Y的边缘密度函数为

易见，因此X与Y相互独立。

13.已知二维随机变量的联合密度函数为

（1）求常数；

（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？

解

（1）满足，即解得；

（2）X的边缘密度函数

=

Y的边缘密度函数为

=

（3），而，易见，因此X与Y不相互独立。

14.设随机变量X与Y的联合分布律为

X\Y

0

1

0

1

2

且，

（1）求常数的值；（