二次函数综合题等腰三角形汇总.docx
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二次函数综合题等腰三角形汇总.docx
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二次函数综合题等腰三角形汇总
二次函数综合题——等腰三角形
一.解答题(共30小题)
1.(2014•新余模拟)如图,已知二次函数图象的顶点为(1,﹣3),并经过点C(2,0).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)直线y=3x与该二次函数的图象交于点B(非原点),求点B的坐标和△AOB的面积;
(3)点Q在x轴上运动,求出所有△AOQ是等腰三角形的点Q的坐标.
2.(2014秋•怀宁县校级月考)如图,二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,且△AOB的面积为6.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)如果点P在x轴上,且△ABP是等腰三角形,请直接写出点P的坐标.
3.(2011•淮安)如图.已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴交于点B.
(1)求此二次函数关系式和点B的坐标;
(2)在x轴的正半轴上是否存在点P.使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(2014•曲靖模拟)如图,已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A(﹣1,0)和点C(0,﹣5).
(1)求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标.
(2)在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P(2,﹣2),连接OP,找出x轴上所有点M的坐标,使得△OPM是等腰三角形.
5.(2008秋•密云县期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点(0,3)(3,0)(﹣2,﹣5),
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若这个二次函数的图象与x轴交于点C、D(C点在点D的左侧),且点A是该图象的顶点,请在这个二次函数的对称轴上确定一点B,使△ABC是等腰三角形,求出点B的坐标.
6.(2008•海淀区二模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点(0,3),(3,0),(﹣2,﹣5).求:
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求这个二次函数的最值;
(3)若设这个二次函数图象与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧),且点A是该图象的顶点,请在这个二次函数的对称轴上确定一点B,使△ACB是等腰三角形,求出点B的坐标.
7.(2006•松江区二模)如图,已知二次函数y=x2+bx+c(c≠0)的图象经过点A(﹣2,m)(m<0),与y轴交于点B,AB∥x轴,且3AB=2OB.
(1)求m的值;
(2)求二次函数的解析式;
(3)如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点(点C在左恻).问线段BC上是否存在点P,使△POC为等腰三角形?
如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
8.(2010秋•永新县校级月考)已知二次函数y=(x﹣1)(x﹣4)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点C.
(1)求出A、B、C三点的坐标;
(2)求△ABC的面积;
(3)在y轴上是否存在点P,使P、A、C能组成以AC为腰的等腰三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
9.(2013•德宏州)如图,已知直线y=x与抛物线
交于A、B两点.
(1)求交点A、B的坐标;
(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数
的函数值为y2.若y1>y2,求x的取值范围;
(3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形?
并求出不少于3个满足条件的点P的坐标.
10.(2014•曲阜市模拟)设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为C,显然△ABC为等腰三角形.
(1)当△ABC为等腰直角三角形时,求b2﹣4ac的值;
(2)当△ABC为等边三角形时,求b2﹣4ac的值.
11.(2015•赤峰)已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.
(1)求此二次函数解析式;
(2)连接DC、BC、DB,求证:
△BCD是直角三角形;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形?
若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
12.(2013秋•本溪期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A(4,0),与y轴相交于点B(0,4),动点C是从点A出发,向O点运动,到达0点时停止运动,过点C作EC⊥x轴,交直线AB于点D,交抛物线于点E.
(1)求二次函数的解析式;
(2)连接OE交AB于F点,连接AE,在动点C的运动过程中,若△AOF的面积是△AEF面积的2倍,求点C的坐标?
(3)在动点C的运动过程中,△DEF能否为等腰三角形?
若能,请直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由.
13.(2011•临川区模拟)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3),它的顶点为M,且正比例函数y=kx的图象与二次函数的图象相交于D、E两点.
(1)求该二次函数的解析式和顶点M的坐标;
(2)若点E的坐标是(2,﹣3),且二次函数的值小于正比例函数的值时,试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围;
(3)试探究:
抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC为等腰三角形?
如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
14.(2006•孝感)如图,已知二次函数y=
x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点M,与y轴的交点为A,过点A的直线y=x+c与x轴交于点N,与这个二次函数的图象交于点B.
(1)求点A、B的坐标(用含b、c的式子表示);
(2)当S△BMN=4S△AMN时,求二次函数的解析式;
(3)在
(2)的条件下,设点P为x轴上的一个动点,那么是否存在这样的点P,使得以P、A、M为顶点的三角形为等腰三角形?
若存在,请写出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
15.(2011•东营模拟)如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P为线段BM上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式,并写出m的取值范围;
(3)探索:
线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?
如果存在,求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
16.(2010•徐州)如图,已知二次函数y=
的图象与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC.
(1)点A的坐标为 ,点C的坐标为 ;
(2)线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?
若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有2个?
17.(2011•呼伦贝尔)如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、C,与y轴相交于点B,A(
),且△AOB∽△BOC.
(1)求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式;
(2)在线段AC上是否存在点M(m,0).使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同),且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
18.(2013•廊坊一模)如图,二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴交于点A、B两点,且A点坐标为(﹣2,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求出这个二次函数的解析式;
(2)直接写出点B的坐标为 ;
(3)在x轴是否存在一点P,使△ACP是等腰三角形?
若存在,求出满足条件的P点坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大?
若存在,请求出Q点坐标及面积的最大值;若不存在,请说明理由.
19.(2012•景宁县模拟)已知二次函数y=﹣x2+4x+5图象交x轴于点A、B,交y轴于点C,点D是该函数图象上一点,且点D的横坐标为4,连BD,点P是AB上一动点(不与点A重合),过P作PQ⊥AB交射线AD于点Q,以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN.设点P的坐标为(t,0).
(1)求点B,C,D的坐标及射线AD的解析式;
(2)在AB上是否存在点P,使△OCM为等腰三角形?
若存在,求正方形PQMN的边长;若不存在,请说明理由;
(3)设正方形PQMN与△ABD重叠部分面积为s,求s与t的函数关系式.
20.(2013•徐州)如图,二次函数y=
x2+bx﹣
的图象与x轴交于点A(﹣3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
(1)请直接写出点D的坐标:
;
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?
若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.
21.(2013•鞍山一模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+8(a≠0)的图象与x轴交与A,B两点,与y轴交与点C,已知点A的坐标为(﹣2,0),sin∠ABC=
,点D是抛物线的顶点,直线DC交x轴于点E.
(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(2)在直线CD上是否存在一点Q,使以B,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P是直线y=2x﹣4上一点,过点P作直线PM垂直于直线CD,垂足为M,若∠MPO=75°,求出点P的坐标.
22.(2013•菏泽)如图,三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数y=﹣
x+3的图象与y轴、x轴的交点,点B在二次函数
的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.
(1)试求b,c的值,并写出该二次函数表达式;
(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:
①当P运动到何处时,有PQ⊥AC?
②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?
此时四边形PDCQ的面积是多少?
23.(2014•北塘区二模)已知二次函数y=mx2﹣5mx+1(m为常数,m>0),设该函数图象与y轴交于点A,图象上一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称.
(1)求点A、B的坐标;
(2)点O为坐标原点,点M为函数图象的对称轴上一动点,求当M运动到何处时△MAO的周长最小;
(3)若该函数图象上存在点P与点A、B构成一个等腰三角形,且△PAB的面积为10,求m的值.
24.(2015•黔东南州)如图,已知二次函数y1=﹣x2+
x+c的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴的交点为B,过A、B的直线为y2=kx+b.
(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标;
(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x的取值范围;
(3)在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?
若存在,求出P的坐标;若不存在,说明理由.
25.(2015•曲靖一模)如图,直线y=﹣
x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,已知二次函数的图象经过点B、C和点A(﹣1,0).
(1)求B、C两点坐标;
(2)求该二次函数的关系式;
(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?
如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(4)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?
求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
26.(2014•怀集县二模)如图,△ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数y=﹣
x+3的图象与y轴、x轴的交点,点B在二次函数y=
x2+bx+c的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.
(1)试求点B、D的坐标,并求出该二次函数的解析式;
(2)P、Q分别是线段AD、CA上的动点,点P从A开始向D运动,同时点Q从C开始向A运动,它们运动的速度都是每秒1个单位,求:
①当P运动到何处时,△APQ是直角三角形?
②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?
此时四边形PDCQ的面积是多少?
27.(2015•铜仁市)如图,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形?
若存在.请求出点P的坐标);
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
28.(2015•丹东)如图,已知二次函数y=ax2+
x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.
(1)请直接写出二次函数y=ax2+
x+c的表达式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出此时点N的坐标;
(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.
29.(2013•无锡)如图,直线x=﹣4与x轴交于点E,一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A,交直线x=﹣4于点B,过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C,直线OC交直线AB于D,且AD:
BD=1:
3.
(1)求点A的坐标;
(2)若△OBC是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.
30.(2014•遵义)如图,二次函数y=
x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.
(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;
(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?
若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标.
二次函数综合题——等腰三角形
参考答案
一.解答题(共30小题)
1. ;2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. ;8. ;9. ;10. ;11. ;12. ;13. ;14. ;15. ;16.(0,4);(8,0);17. ;18.(6,0);19. ;20.(-3,4);21. ;22. ;23. ;24. ;25. ;26. ;27. ;28. ;29. ;30. ;
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