学年度 最新 江苏省南京市届高三数学考前综合训练题及答案.docx
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学年度最新江苏省南京市届高三数学考前综合训练题及答案
南京市2015届高三数学考前综合训练题
一、填空题
1.数列{an}为等比数列,其前n项的乘积为Tn,若T2=T8,则T10=.
【答案】1
【提示】法一:
由T2=T8得a3·a4·…·a8=1,则(a3·a8)3=1,a3·a8=1.
从而T10=a1·a2·…·a10=(a1·a10)5=(a3·a8)5=1;
法二:
(特殊化思想),取an=1,则T10=1.
【说明】本题考查等比数列的运算性质.可一般化:
{an}为正项等比数列,其前n项的乘积为Tn,若Tm=Tn,则Tm+n=1;可类比:
{an}为等差数列,其前n项的和为Sn,若Sm=Sn,则Sm+n=0.(其中m,n∈N*,m≠n).
2.已知点P为圆C:
x2+y2-4x-4y+4=0上的动点,点P到某直线l的最大距离为5.若在直线l上任取一点A作圆C的切线AB,切点为B,则AB的最小值是________.
【答案】.
【提示】由P到直线l的最大距离为5,得圆心C到直线l的距离为3,从而直线l与圆C相离.
过A引圆C的切线长AB==≥=.
【说明】点、直线与圆的相关问题常转化为圆心与点、直线问题.
3.已知直线l:
x-2y+m=0上存在点M满足与两点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率kMA与kMB之积为-,则实数m的值是___________.
【答案】[-4,4].
【提示】点M的轨迹为+=1(x≠±2).把直线l:
x=2y-m代入椭圆方程得,
16y2-12my+(3m2-12)=0.根据条件,上面方程有非零解,得△≥0,解得-4≤m≤4.
【说明】求曲线方程的直接法,研究直线与椭圆位置关系中基本方法是方程思想.
4.已知数列{an}为正项等差数列,满足+≤1(其中k∈N*且k≥2),则ak的最小值为_________.
【答案】.
【提示】因为{an}为正项等差数列,则ak=≥·(+)
=·(5++)≥·(5+2)=(当且仅当+=1,且=,
即a1=3,a2k-1=6时取“=”号).
【说明】本题将等差数列的运算性质(等差中项)与基本不等式进行综合.
5.以C为钝角的△ABC中,BC=3,·=12,当角A最大时,△ABC面积为__________.
【答案】3
【提示】过A作AD⊥BC,垂足为D,
则·=||||cosB=BDBC=3BD=12,
所以BD=4,又BC=3,所以CD=1.
设AD=y(y>0),则tan∠BAC==≤,
且仅当y=,即y=2时取“=”,由正切函数的单调性知此时∠BAC也最大.
【说明】学会从向量的数量积处理的三种手法:
定义法、基底法和坐标法中选择,本题用定义法最为简洁,用坐标法也可以得出同上结论,另由两个直角三角形拼接的平面图形,计算角的最值,可转化到直角三角形用两角和与差的正切来解决,体现了化归与转化的思想.
6.计算:
4sin20+tan20=.
【答案】.
【提示】原式=4sin20+===
==.
【说明】切化弦、向特殊角转化、向单一的角转化是三角恒等变换(求值)的一般思路.
7.设α是锐角,且cos(α+)=,则sin(2α+)的值为.
【答案】
【提示】因为α是锐角,所以<α+<,因为cos(α+)=,所以sin(α+)=.
sin2(α+)=2sin(α+)cos(α+)=,cos2(α+)=1-2sin2(α+)=.
sin(2α+)=sin[2(α+)-]=sin2(α+)cos-cos2(α+)sin=×-×=.
【说明】考查同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数,重点突出角之间的互化,设法将所求角转化为已知角,用已知角表示所求角.
8.等比数列{an}中,首项a1=2,公比q=3,an+an+1+…+am=720(m,n∈N*,m>n),则m+n=.
【答案】9.
【提示】因为an=2·3n-1,则an+an+1+…+am==3n-1·(3m-n+1-1)=720=32×24×5,
则,解得n=3,m=6,则m+n=9.
【说明】本题考查等比数列中的基本运算,涉及到简单的数论知识(整数的分解).
9.已知函数f(x)=,若任意实数b,总存在实数x0,使得f(x0)=b,则实数a的取值范围
是.
【答案】-5≤a≤4.
【提示】“任意实数b,总存在实数x0,使得f(x0)=b”等价于函数f(x)的值域为R.
在平面直角坐标系xOy中,分别作出函数y=x+4及y=x2-2x的图像,
观察图像可知-5≤a≤4.
【说明】本题要注意条件的等价转化.一般情况下涉及到分段函数的问题都要有意识的作出图像,运用数形结合的方法解决问题,学会从特殊值验证,再到一般结论的发展.
10.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,
则实数a的取值范围是.
【答案】(-∞,-2)
【提示】解法一:
若a=0,解得x=±,不合题意.
若a>0,则f(-1)=-a-2<0,f(0)=1>0,所以f(x)存在负的零点,不合题意.
若a<0,则f′(x)=3ax(x-),可得f()=1-为极小值,则满足1->0,
解得a>2或a<-2.此时,取得a<-2.
综上,a的取值范围是(-∞,-2).
解法二:
f(x)=0,即ax3=3x2-1,分离参数a=-,同样可得a<-2.
【说明】考查零点概念、零点存在性定理;函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想,学会利用导数来研究函数的图象和性质.
11.设函数f(x)=lnx+,(m∈R),若对任意b>a>0,<1恒成立,则m的取值范围是.
【答案】[,+∞).
【提示】对任意的b>a>0,<1恒成立,等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立.
函数h(x)=f(x)-x=lnx+-x在(0,+∞)是单调减函数,
即h′(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,得m≥-x2+x=-(x-)2+(x>0)恒成立,解得:
m≥.所以m的取值范围是[,+∞).
【说明】考查求常见函数的导数,利用导数研究函数的单调性,会用分离常数的方法来研究不等式恒成立问题,不等式、方程、函数三者之间相互转化是高考考查的重点,要培养用函数的观点来研究不等式、方程的意识,体现数形结合思想.
二、解答题
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知tanA=.设向量x=(3a,cosA),y=(2c,cosC),且x∥y.
(1)若b=,求c2-a2的值;
(2)求B的值.
解:
(1)因为x∥y,所以3acosC=2ccosA.用余弦定理代入,化简可得:
b2=5(c2-a2).
因为b=,所以c2-a2=1.
(2)因为3acosC=2ccosA,由正弦定理得:
3sinAcosC=2sinCcosA,即3tanA=2tanC.
因为tanA=,所以tanC=,
从而tanB=-tan(A+C)=-=-1.
因为B∈(0,π),所以B=.
【说明】考查向量的平行,正弦、余弦定理,两角和与差的正切公式.能够根据题目的要求正确实现边角互化.
2.三角形ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,面积为S.
(1)若·≤2S,求A的取值范围;
(2)若tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3,且c=1,求b.
解:
(1)由题意知,·=bccosA,S=bcsinA,
所以bccosA≤bcsinA,即cosA≤sinA,
(或也可根据cosA的正负,转化为关于tanA的不等式).
即sinA-cosA≥0,2sin(A-)≥0.
因为A为三角形内角,则A-∈(-,),所以0≤A-<,从而A∈[,π).
(2)设tanA=m,tanB=2m,tanC=3m,由题意知,m>0.
因为tanC=-tan(A+B)=-,则3m=-,
解得m=1,则tanB=2,tanC=3,从而sinB=,sinC=,
所以==,则AC=.
【说明】本题第
(1)问考查数量积、三角形面积公式、两角和差公式及简单的三角不等式.
第
(2)问的目的是考查斜三角形三内角A,B,C满足的一个恒等式(tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC).
还可联想到一类求值问题(两角和差正切公式的变形),如tan37+tan23+tan37·tan23等问题.
3.某高速公路收费站出口处依次有编号为1、2、3、4、5的五个收费窗口.
(1)若每天随机开放其中的3个收费窗口,则恰有两个相邻窗口开放(如:
1,2,4)的概率是多少?
(2)经统计,在某个开放的收费窗口处排队等侯的车辆数及相应概率如下:
排队车辆数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
①该收费窗口处至多有2辆车排队等侯的概率是多少?
②该收费窗口处至少有3辆车排队等侯的概率是多少?
解:
(1)记事件A为“开放3个收费窗口,恰有两个相邻窗口开放”,用(i,j,k)表示编号分别为i,j,k的三个收费窗口开放.
则本题的基本事件包括:
(1,2,3),(1,2,4)(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),
(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个基本事件;
而事件A包括:
(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),
共6个基本事件.因此P(A)==.
答:
随机开放其中三个收费窗口,恰有两个相邻窗口开放的概率为.
(2)记事件Bi为“该收费窗口处有i辆车排队等侯”,其中i=0,1,2,3,4,5.
则由题意知,上述6个事件为互斥事件.
记事件C为“该收费窗口处至多有2辆车排队等侯”,
事件D为“该收费窗口处至少有3辆车排队等侯”.
则P(C)=P(B0+B1+B2)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=0.1+0.16+0.3=0.56,
P(D)=P(B3+B4+B5)=P(B3)+P(B4)+P(B5)=0.3+0.1+0.04=0.44.
(另解:
由题意知事件C,D为对立事件,则P(D)=P()=1-P(C)=0.44)
答:
该收费窗口处至多2辆车排队等侯的概率为0.56,至少3辆车排队等侯的概率为0.44.
【说明】本题考查古典概型和互斥事件的概率计算,主要要注意规范表述.
4.如图,四边形ABCD中,AB=2,AD=1,三角形BCD为正三角形.
(1)当∠BAD=时,设=x+y,求x,y的值;
(2)设∠BAD=α,则当α为多少时,四边形ABCD的面积S最
大,并求出最大值.
解:
(1)在△ABD中,由于AB=2,AD=1,∠BAD=,
易得BD=,∠ABD=,∠ADB=,∠ABC=,∠ADC=.
下面提供三种解法:
法一:
如图,过点C作CE//AD交AB于点E,在△BCE中,BC=,∠ABC=,∠BEC=,
则CE=2,BE=1,则AE=1,所以=+=+2,即
法二:
以A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立如图直角坐标系.
则D(,),B(2,0),C(2,),则=(2,),=(2,0),从而=(,),
则,解得
法三:
因为·=x2+y·=4x+y,又·=(+)·=2+·=4,
则4x+y=4.
因为·=x·+y2=x+y,
又·=(+)·=2+·=1+1××cos=,则x+y=.
从而,解得
(2)在△ABD中,由余弦定理知,BD=,则S△ABD=sinα,S△BDC=BD2=(5-4cosα),
则S=sinα-cosα+=2sin(α-)+,α∈(0,π),
所以Smax=2+,此时α-=,即α=.
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