高等数学不定积分讲义1教学文稿.docx
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高等数学不定积分讲义1教学文稿
第3、4次课4学时
课程安排:
1学期,周学时2,共48学时.
主要内容:
不定积分,定积分,微分方程
本次课题:
不定积分的概念与性质
教学要求:
1.理解不定积分的概念2.理解不定积分的性质;3.熟记基本积分表。
重点:
不定积分的性质和基本积分表
难点:
不定积分的概念
教学手段及教具:
讲授法
讲授内容及时间分配:
1.不定积分的概念(25)
2.不定积分的性质(30)
3.基本积分表(30)
4.习题(90)
课后作业
参考资料
不定积分的概念与性质
1、复习13个基本导数公式.
2、原函数与不定积分的概念.
(1)定义1在区间I上,如果可导函数的导函数为,即对任一x∈I,都有
或=,
那么函数就称为(或)在区间I上的原函数.
(2)原函数存在定理如果函数在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数,使对任一x∈I都有F'(x)=.
注:
1、如果函数在区间I上有原函数,那么就有无限多个原函数.都是的原函数.(其中C是任意常数)
2、的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果Φ(x)和都是的原函数,则
(为某个常数).
简单地说就是,连续函数一定有原函数.
定义2在区间I上,函数的带有任意常数项的原函数称为(或)在区间I上的不定积分.记作,其中记号称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量.
3、例题讲解.
例1因为是的原函数,所以.
因为是的原函数,所以.
例2.求函数的不定积分
解:
当时,(lnx)',().
当时,[ln(x)]',().合并上面两式,得到(x≠0).
例3.求
解由于,所以是的一个原函数,因此.
4、变式练习
5、积分曲线函数的原函数的图形称为的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系
或.
又由于是的原函数,所以或记作.
6、基本积分表(略).
例4..
例5..
7、不定积分的性质.
性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和,即
.
这是因为,=f(x)+g(x).
性质2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即
(是常数,)
例6..
.
例7.
.
8.变式练习
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)
第5次课2学时
课程安排:
1学期,周学时2,共48学时.
主要内容:
不定积分,定积分,微分方程
本次课题:
第一类换元积分法
教学要求:
1.掌握第一类换元积分法
重点:
第一类换元积分法
难点:
凑微分
教学手段及教具:
讲授法
讲授内容及时间分配:
1.第一类换元积分法理论(25)
2.练习(65)
课后作业
参考资料
第一类换元积分法
1、回顾旧知
(1)复习13个常见积分公式
(2)思考:
对吗?
2、第一类换元法.
设有原函数,,且可微,那么,根据复合函数微分法,有
即==.
定理1设具有原函数,可导,则有换元公式
.
3、讲授例题.
例1
=
例2
.
例3=.
例4求
解
4、变式练习.
1) 2)
3)4)
5) 6)
7) 8)
第6次课2学时
课程安排:
1学期,周学时2,共48学时.
主要内容:
不定积分,定积分,微分方程
本次课题:
第一类换元积分法
教学要求:
1.掌握第一类换元积分法
重点:
第一类换元积分法
难点:
凑微分
教学手段及教具:
讲授法
讲授内容及时间分配:
1.练习(90)
课后作业
参考资料
第一类换元积分法
1、复习旧知.
(1)13个常见的积分公式.
(2)第一类换元积分法.
2、例题讲解(较难的积分).
例1.
.
例2..
例3.
=ln|cscx-cotx|+C.
即=ln|cscx-cotx|+C.
例4.=ln|secx+tanx|+C.
即=ln|secx+tanx|+C.
3、变式练习.
1)2)
3) 4)
5) 6)
7)8)
9)10)
4、小结
(1)分项积分:
利用积化和差;分式分项;;
(2)降低幂次:
利用倍角公式,如.
(3)统一函数:
利用三角公式;配元方法.
(4)巧妙换元或配元
第7次课2学时
课程安排:
1学期,周学时2,共48学时.
主要内容:
不定积分,定积分,微分方程
本次课题:
第二类换元积分法
教学要求:
1.理解第二类换元积分法
重点:
第二类换元积分法
难点:
第二类换元积分法
教学手段及教具:
讲授法
讲授内容及时间分配:
1.第二类换元积分法理论(25)
2.练习(65)
课后作业
参考资料
第二类换元积分法
1、复习第一类换元积分法.
2、第二类换元法.
(1)定理1设=是单调的、可导的函数,并且'≠0.又设f[]'具有原函数F,则有换元公式.
其中=是=的反函数.这是因为.
3、例题讲解.
例1.求(a>0).
解:
设,,那么,
于是.
因为,,所以
.
例2求
解原式.
例3求
解为了消去根号,设,则.所以
.
4、变式练习.
1) 2)
3)4)
5) 6)
7) 8)
第8次课2学时
课程安排:
1学期,周学时2,共48学时.
主要内容:
不定积分,定积分,微分方程
本次课题:
分部积分法1
教学要求:
1.掌握分部积分法
重点:
分部积分法
难点:
分部积分法
教学手段及教具:
讲授法
讲授内容及时间分配:
1.分部积分法理论(25)
2.练习(65)
课后作业
参考资料
分部积分法
1、提出问题:
求解(让学生试着求解).
2、分部积分公式.
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为
(uv)'=u'v+uv',移项得uv'=(uv)'-u'v.
对这个等式两边求不定积分,得,或,
这个公式称为分部积分公式.
思路分析:
严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序,越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。
”的原则进行分部积分的练习。
3、例题讲解.
例1求.
解设那么于是
.
例2求
解令则.
原式.
例3求
解设.则原式.
再令.则.
故原式.
故.
说明:
也可设为为三角函数,但两次所设类型必须一致.
注:
(1).
(2)应较易积分.
(3)熟悉了分部积分的步骤后,可以不明确写出,而是直接用公式来做.
例5求.
解.
例6求.
解
.
4、变式练习.
1) 2)
3)4)
上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”,还专门为大学生创业提供担保,贷款最高上限达到5万元。
5) 6)
1、作者:
蒋志华《市场调查与预测》,中国统计出版社2002年8月§11-2市场调查分析书面报告7) 8)
附件
(二):
培养动手能力□学一门手艺□打发时间□兴趣爱好□
2003年,全年商品消费价格总水平比上年上升1%。
消费品市场销售平稳增长。
全年完成社会消费品零售总额2220.64亿元,比上年增长9.1%。
(四)大学生对手工艺制品消费的要求
市场环境所提供的创业机会是客观的,但还必须具备自身的创业优势,才能使我们的创业项目成为可行。
作为大学生的我们所具有的优势在于:
木质、石质、骨质、琉璃、藏银……一颗颗、一粒粒、一片片,都浓缩了自然之美,展现着千种风情、万种诱惑,与中国结艺的朴实形成了鲜明的对比,代表着欧洲贵族风格的饰品成了他们最大的主题。
可见“体验化消费”广受大学生的欢迎、喜欢,这是我们创业项目是否成功的关键,必须引起足够的注意。
第9次课2学时
我们大学生没有固定的经济来源,但我们也不乏缺少潮流时尚的理念,没有哪个女生是不喜欢琳琅满目的小饰品,珠光宝气、穿金戴银便是时尚的时代早已被推出轨道,简洁、个性化的饰品成为现代时尚女性的钟爱。
因此饰品这一行总是吸引很多投资者的目光。
然而我们女生更注重的是感性消费,我们的消费欲望往往建立在潮流、时尚和产品的新颖性上,所以要想在饰品行业有立足之地,又尚未具备雄厚的资金条件的话,就有必要与传统首饰区别开来,自制饰品就是近一两年来沿海城市最新流行的一种。
课程安排:
1学期,周学时2,共48学时.
主要内容:
不定积分,定积分,微分方程
本次课题:
分部积分法
教学要求:
1.会应用分部积分法求积分
重点:
分部积分法
难点:
分部积分法
教学手段及教具:
讲授法
讲授内容及时间分配:
1.习题(90)
课后作业
参考资料
分部积分法
1、复习分部积分法.
2、例题讲解.
例1求.
解因为
所以.
例2求.
解因为
所以.
例3
.
解题技巧:
选取及的一般方法:
把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂三指”的顺序,前者为后者为.
例4
.
例5求,其中n为正整数.
解;
当n>1时,用分部积分法,有
即,
于是.
以此作为递推公式,并由即可得.
例6求.
解令x=t2,则,dx=2tdt.于
.
.
例7
解设则.
.
所以原式.
注:
(第一换元法与分部积分法的比较)共同点是第一步都是凑微分
.
3、变式练习.
1)2)3)
4)5)6)
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- 高等数学 不定积分 讲义 教学 文稿