完整word版高数答案下习题册答案第六版下册同济大学数学系编.docx
- 文档编号:6573019
- 上传时间:2023-01-08
- 格式:DOCX
- 页数:65
- 大小:56.80KB
完整word版高数答案下习题册答案第六版下册同济大学数学系编.docx
《完整word版高数答案下习题册答案第六版下册同济大学数学系编.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整word版高数答案下习题册答案第六版下册同济大学数学系编.docx(65页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
完整word版高数答案下习题册答案第六版下册同济大学数学系编
高数答案(下)习题册答案第六版下册同济大学数学系编
第八章多元函数的微分法及其应用
§1多元函数概念
一、设f(x,y)=x2+y2,j(x,y)=x2-y2,求:
f[j(x,y),y2].答案:
f(j(x,y),y2)=(x2-y2)2+y4=x4-2x2y2+2y4
二、求下列函数的定义域:
x2(1-y)221、f(x,y)={(x,y)|y+x¹1};221-x-y
y2、z=arcsin{(x,y)|y£x,x¹0};x
三、求下列极限:
x2siny1、lim(0)2(x,y)®(0,0)2x+y
2、y(1+)3x(e6)(x,y)®(¥,2)xlim
x2y四、证明极限lim不存在.2(x,y)®(0,0)4x+y
证明:
当沿着x轴趋于(0,0)时,极限为零,当沿着y=x趋于(0,0)时,极限为二者不相等,所以极限不存在21,2
1ì,(x,y)¹(0,0)ïxysin22五、证明函数f(x,y)=í在整个xoy面上连续。
x+yï0,(x,y)=(0,0)î
证明:
当(x,y)¹(0,0)时,f(x,y)为初等函数,连续。
当(x,y)=(0,0)时,
1xysi=0=f(0,0),所以函数在(0,0)也连续。
所以函数(x,ylim)®(0,0)22x+y
在整个xoy面上连续。
六、设z=x+y2+f(x+y)且当y=0时z=x2,求f(x)及z的表达式.解:
f(x)=x2-x,z=x2+2y2+2xy-y
§2偏导数
y¶z¶z=xy+z1、设z=xy+xex,验证x+y¶x¶y
¶zy¶z¶z¶z=y+ex-ex,=x+ex,\x+y=xy+xy+xex=xy+z证明:
¶xx¶y¶x¶yyyyy
ìz=x2+y2
1pï2、求空间曲线G:
í在点(,,1)处切线与y轴正向夹角()1y=224ïî2
x23、设f(x,y)=xy+(y-1)arcsin,求fx(x,1)
(1)y
4、设u=x,求
zzy¶u¶u¶u,,¶y¶x¶zzz¶uz¶u1y¶uzy-1=-2xylnx=xlnx=x解:
,¶y¶zy¶xyy
¶2u¶2u¶2u2++=5、设u=x+y+z,证明:
¶x2¶y2¶z2u
6、判断下面的函数在(0,0)处是否连续?
是否可导(偏导)?
说明理由222
1ì22xsin,x+y¹0ï22f(x,y)=íx+y
22ï0,x+y¹0î
10-0limf(x,y)=0=f(0,0)连续;fx(0,0)=limfy(0,0)=limsi2不存在,=0x®0y®0x®0y-0xy®0
7、设函数f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在,求limx®0f(a+x,b)-f(a-x,b)x
(2fx(a,b))§3全微分
1、单选题
(1)二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的
__________
(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件
(C)充分必要条件
(2)对于二元函数f(x,y),下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
(A)偏导数不连续,则全微分必不存在
(C)全微分存在,则偏导数必连续(D)全微分存在,而偏导数不一定存在
2、求下列函数的全微分:
yyy11)z=exdz=ex(-2dx+dy)xx
222)z=sin(xy)解:
dz=cos(xy)(y2dx+2xydy)
yz-11y3)u=x解:
du=xdx+xzlnxdy-2xzlnxdzzzzyzyyy
3、设z=ycos(x-2y),求dz(0,)4p
解:
dz=-ysin(x-2y)dx+(cos(x-2y)+2ysin(x-2y))dy\dz|(0,p
4)=p
4dx-p
2dy
4、设f(x,y,z)=
z1(-2dx-4dy+5dz)求:
df(1,2,1)2225x+y
1ì22(x+y)sinï5、讨论函数f(x,y)=íx2+y2
ï0,î,(x,y)¹(0,0)(x,y)=(0,0)在(0,0)点处
的连续性、偏导数、可微性1(x2+y2)sin=0=f(0,0)所以f(x,y)在(0,0)点处连续。
解:
(x,ylim)®(0,0)22x+y
fx(0,0)=f(Dx,0)-f(0,0)f(0,Dy)-f(0,0)=0,fy(0,0)=lim=0(x,y)®(0,0)(x,y)®(0,0)DxDy
f(Dx,Dy)-0®0,所以可微。
22(Dx)+(Dy)lim
§4多元复合函数的求导法则
dzvt1、设z=u,u=sint,v=e,求dt
dzet-1tet×e+lnsint×(sint)×et解:
=cost.(sint)dt
¶z¶z2x-3y,,求,2、设z=(x+y)¶x¶y
¶z2x-3y-1=(2x-3y)x(+y)-3x(+y2x-)3ylnx+(y),¶y
¶z¶zyn+2y=nz3、设z=xf
(2),f可微,证明x¶x¶yx
¶2z¶2z¶2z224、设z=f(x-y,2xy),其中f具有二阶连续偏导数,求,,22¶x¶y¶y¶x
¶z解:
=2xf1¢+2yf2¢,¶x
2¶z¶z=2x(f11¢¢(-2y)+f12¢¢2x)+2f2¢+2y(f21¢¢(-2y)+f22¢¢2x)=-2yf1¢+2xf2¢,¶x¶y¶y
=2f1¢-4xyf11¢¢+4(x-y)f12¢¢+4xyf22¢¢
2
2
2¶z¶2z22¢¢¢¢¢¢¢,=-2f1¢+4y2f11¢¢-8xyf12¢¢+4x2f22¢¢=2f+4xf+8xyf+4yf111122222
¶y¶x
¶2zyx
5、设z=f(xy,)+g(),其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数,求
¶x¶yxy
¶zy1解:
=f1¢y-2f2¢+g¢,
¶xxy¶2z11y11x
=f1¢+y(f11¢¢x+f12¢¢)-2f2¢-2(f12¢¢x+f22¢¢)-2g¢-3g¢¢
¶x¶yxxxxyy
du
6、设u=F(x,y,z),z=f(x,y),y=j(x),求
dx
du¢
=F1¢+F2¢j¢(x)+F3¢(fx+fy¢j¢(x))。
解:
dx
ìu=x-2y¶2z¶2z¶2z¶2z
-2=0化为=0,7、设z=z(u,v),且变换í可把方程62+
v=x+ay¶x¶y¶u¶v¶y¶xî
其中z具有二阶连续偏导数,求常数a的值(a=3)
¶2z¶2z¶2z¶2u¶z¶z¶z¶z¶z¶z
=2++2证明:
=-2+a=+
2¶u¶v¶y¶u¶v¶x¶u¶v¶x¶u¶v
2
¶2z¶2z¶2z¶2z¶2u2¶u=42-4a+a=-22+(a-2)+a2
2¶u¶v¶x¶y¶u¶v¶y¶u¶v2¶u¶v2
¶2z2¶u+(6+a-a)2=0a=3得:
(10+5a)
¶u¶v¶v
¶2z¶2z
8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数,f(1,1)=1,f1/(1,1)=a,f2/(1,1)=b又,j(x)=f{x,f[x,f(x,x)]}求j
(1).和j/
(1)
(1),
(a+ab+ab2+b3)
§5隐函数的求导公式
dy
1、设ylny=x+y,求
dx
dy1=解:
令F(x,y)=ylny-x-y,Fx=-1,Fy=lny,\dxlny
z222
2、设z=z(x,y)由方程x+y+z=yf()确定,其中f可微,证明
y
¶z¶z
(x2-y2-z2)+2xy=2xz
¶x¶y
¶2zxy+z
3、设z=z(x,y)由方程=e所确定,其中f可微,求
¶x¶yz
¶2zz¶zz¶zz=-=,=-,3¶x¶y¶xx(1+z)¶y1+zx(1+z)
ìx2+y2+z2=1dyxdzdydz4、设í,求,(,=-=0)22dxydxdxdxîz=x+y
¶z¶z5、设z=z(x,y)由方程F(xy,y+z,xz)=0所确定,F可微,求,¶x¶y
FyFxF1¢y+zF3¢¶zF1¢x+F2¢¶z解:
令F(x,y,z)=F(xy,y+z,xz),则=-=-,=-=-¶xFz¶yF¢¢¢¢F2+xF3F2+xF3z
6、设z=f(x,y)由方程z+x+y-ez+x+y=0所确定,求dz(dz=-dx-dy)
7、设z=z(x,y)由方程3xy+xcos(yz)-z3=y所确定,求¶z¶z,,¶y¶x
()¶z3xy.yln3+cosyz¶zx.3xyln3-xzsin(yz)-1==,¶x¶y3z2+xysinyz()3z2+xysin(yz)
§6微分法在几何中的应用
1、求螺旋线x=2cost,y=2sint,z=3t在对应于t=p
4处的切线及法平面方程
解:
切线方程为==z-3p3
法平面方程-2(x-2)+2(y-2)+3(z-3p)=04
ìx2+y2+z2=502、求曲线í在(3,4,5)处的切线及法平面方程222îz=x+y
x-3y-4z-5解:
切线方程为,法平面方程:
4x-3y=0==4-30
2223、求曲面2x+3y+z=9在(1,-1,2)处的切平面及法线方程
解:
切平面方程为2(x-1)-3(y+1)+2(z-2)=0
x-1y+1z-2及法线方程==2-32
4、设f(u,v)可微,证明由方程f(ax-bz,ay-bz)=0所确定的曲面在任一点处的切平面与一定
向量平行
证明:
令F(x,y,z)=f(ax-bz,ay-bz),则
Fx=f1a,Fy=f2a,Fz=-bf1-bf2,\=(f1a,f2a,-bf1-bf2)
\×(b,b,a)=0,所以在(x0,y0,z0)处的切平面与定向量(b,b,a)平行。
5、证明曲面x
和为a2¢¢¢¢¢¢¢¢23+y23+z23上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方=a(a>0)23
2-32-32-3
证明:
令F(x,y,z)=x+y+z-a,则Fx=x,Fy=y,Fz=z,
333
在任一点(x0,y0,z0)处的切平面方程为x0在在三个坐标轴上的截距分别为x0证明曲面z
1
3
23
13
23232323
111
-
13
(x-x0)+y0(y-y0)+z0(z-z0)=0
13
23
-
13
-
13
a,y0a,z0a,在三个坐标轴上的截距的平方和为a2
23
y
=xf()上任意一点M(x0,y0,z0),(x0¹0)处的切平面都通过原点
x
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数,且对任意实数t,总有F(tx,ty,tz)=tkF(x,y,z)k为自然数,试证:
曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点证明:
F(tx,ty,tz)=tkF(x,y,z)两边对t求导,并令t=1xFx+yFy+zFz=kF(x,y,z)
设是曲面上任意一点,则过这点的切平面为:
Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0此平面过原点(0,0,0)
§7方向导数与梯度
1、设函数
f(x,y)=x2-xy+y2,1)求该函数在点(1,3)处的梯度。
2)在点(1,3)处沿着方向l的方向导数,并求方向导数达到最大和最小的方向
(1f,3)=-+5j解:
梯度为grad
到
最小值的方向为-=(1,-5)。
2、求函数u
¶f
¶l
(1,3)
=-cosq+5sinq,方向导数达到最大值的方向为=(-1,5),方向导数达
=xy2+yz2+zx2在(1,2,-1)处沿方向角为a=600b=900g=1500的方
¶u¶l
=1+
向导数,并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
3,该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向(1,2,-1)
2
¶u
gradu(1,2,-1)=2+5j-3,此时最大值为38(1,2,-1)=
¶l
解:
:
方向导数为3、求函数u
=xy2z3在(1,1,-1)处沿曲线x=t,y=t2,z=t3在(1,1,1)处的切线正方
向(对应于t增大的方向)的方向导数。
¶u¶u¶u=y2z3,=2xyz3,=3xy2z2,=(1,2,3),\该函数在点(1,1,-1)处的方¶x¶y¶z
¶u4
向导数为,(1,1,-1)=
¶l222
4、求函数u=ln(y+z+x)在(1,1,-1)处的梯度。
¶u2x¶u2y¶u2z=2,=,=解:
:
,22222222¶xx+y+z¶yx+y+z¶zx+y+z
解:
:
gradu(1,1,-1)=222+j-333
§8多元函数的极值及求法
1、求函数f(x,y)=3x2+3y2-2x-2y+2的极值。
11答案:
(,)极小值点33
2.求函数f(x,y)=x2+y2-2lnx-18lny的极值
答案:
极小值f(1,3)=10-18ln3
3.函数f(x,y)=2x2+ax+xy2+2y在点(1,1)处取得极值,求常数a(-5)
4、求函数z=x2+y2+1在条件x+y-3=0下的条件极值
解:
F(x,y,l)=x2+y2+1+l(x+y-3)
ìFx=02211,极小值为Þ(,)íF=0332îy
5、欲造一个无盖的长方体容器,已知底部造价为3元/平方,侧面造价均为1元/
平方,现想用36元造一个容积最大的容器,求它的尺寸。
(长和宽2米,高3米)
6、在球面x2+y2+z2=5r2(x>0,y>0,z>0)上求一点,使函数
f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz达到极大值,并求此时的极大值。
利用此极大值证
a+b+c5明"a,b,c有abc3£27()5
2222证明:
令L=lnx+lny+3lnz+l(x+y+z-5r)¶L¶L¶L=0,=0,=0,x2+y2+z2=5r2解得驻点x=y=r,z=r。
所以函数令¶x¶y¶z
f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz在x=y=r,z=3r处达到极大值。
极大值为ln(3r5)。
x2+y2+z2
5即xyz£3rÞxy(z)£27(r)=27(),令5
a+b+c5x2=a,y2=b,z2=c,得abc3£27()。
535222325
x2y2
++z2=1被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的7、求椭球面32
长度
x2y2解:
F=x+y+z+l1(++z2-1)+l2(x+y+z)32222
2l1xìF=2x++l2=0ïx3ïF=2y+ly+l=0y12ï-3l2-l2-l2ïíFy=2z+2l1z+l2=0x=,y=,z=2(3+l)2+l2(1+l)111ï22ïx
ïï3+y+z2=1
îx+y2+z=0
l1=-(x2+y2+z2)=-d2l-11±6长半轴11+6,短半轴-1=6
第八章自测题
一、选择题:
(每题2分,共14分)
ìxy2
1、设有二元函数f(x,y)=ïíx2+y4,(x,y)¹(0,0),则[]
ïî0,(x,y)=(0,0),
A、(x,ylim)®(0,0)f(x,y)存在;
(x,ylim)®(0,0)f(x,y)不存在;
C、(x,ylim)®(0,0)f(x,y)存在,且f(x,y)在(0,0)处不连续;
D、(x,ylim)®(0,0)f(x,y)存在,且f(x,y)在(0,0)处连续。
2、函数f(x,y)在P0(x0,y0)各一阶偏导数存在且连续是f(x,y)在P0(x0,y0)连续的[
A、必要条件;
C、充要条件;D、既非必要也非充分条件。
ìxy
3、函数f(x,y)=ïíx-y,x¹y,在(0,0)点处[]
ïî0,x=y
A、极限值为1;B、极限值为-1;
C、连续;、无极限。
4、z=f(x,y)在P0(x0,y0)处fx(x,y),fy(x,y)存在是函数在该点可微分的[]
(A)必要条件;(B)充分条件;
(C)充要条件;(D)既非必要亦非充分条件。
5、点O(0,0)是函数z=xy2的[]
(A)极小值点;(B)驻点但非极值点;
(C)极大值点;(D)最大值点。
6、曲面ez-z+xy=3在点P(2,1,0)处的切平面方程是[]
(A)2x+y-4=0;(B)2x+y-z=4;
(C)x+2y-4=0;(D)2x+y-5=0]
7、已知函数u=f(t,x,y),x=j(s,t),y=f(s,t)均有一阶连续偏导数,那么
(A)fxjt+fyft;(B)ft+fxjt+fyft;
(C)f×jt+f×ft;(D)ft+f×jt+f×ft
二、填空题:
(每题3分,共18分)¶u=[]¶t
x2siny1、lim=(0)(x,y)®(0,0)x2+y2
¶3f=(exyz2、设f(x,y,z)=e,则(1+3xyz+x2y2z2))¶x¶y¶z
ìsin(xy),xy¹0,ï3、设f(x,y)=íy2则fx(0,1)=(0)
ïxy=0,î0,
x4、设z=(x+2y),则在点(1,0)处的全微分.dz=(dx+2dy)xyz
2ìïy=x5、曲线í在点P0(1,1,1)处的切线方程为2ïîx=z
x-1y-1z-1()==214
ìx2+y2+z2=3xx-1y-1z-16、曲线í在点(1,1,1)处的切线方程为()==2102x-4y+6z=4î
三、计算题(每题6分)
1、设f(x,y)=xln(x+y),求f(x,y)的一阶偏导数22
2x22xyfx(x,y)=ln(x+y)+2f(x,y)=,。
y222x+yx+y22
xö÷,求此函数在点P0(1,1)处的全微分。
并求该函数在该点处沿着从÷yøè
1¶f2(2,-1)=P0到P方向的方向导数(,)df=dx-dy1(1,1)¶l2¶2zæ2yö3、设z=fçxy,÷,f具有各二阶连续偏导数,求¶x¶yxøè2、设f(x,y)=lnççx+
2¶2z¢1f¢²²y²¶z3解:
=2xf1-22+2xf11+yf12-3f22¶x¶y¶x¶yxx
1ì2222,x+y¹0ïx+ysin224、设f(x,y)=í求fx(x,y)和fy(x,y)。
x+yï0,x2+y2=0îæ
1xsi2f(x,0)-f(0,0)不存在,故f(0,0)不存在,同理,f(0,0)也不存在。
lim=limyxx®0x®0x-0x
当(x,y)¹(0,0)时,有
fx(x,y)=
fy(x,y)=xx2+y2yx2+y212y1si-2co23/2222222(x+y)x+yx+yx+y
z+x+ysi1-2x1co(x2+y2)3/2x2+y25、设z=f(x,y)由方程z+x+y-e=0所确定,求dz(dz=-dx-dy)
¶2z6、设z=f[j(x)-y,y(y)+x],f具有连续的二阶偏导数,j,y可导,求¶x¶y
¶2z¶z¢¢+f12¢¢y¢(y)]+[-f21¢¢+f22¢¢y¢(y)]=j¢(x)[-f11=f1¢j¢(x)+f2¢¶x¶y¶x
¢¢+[j¢(x)y¢(y)-1]f12¢¢+y¢(y)f22¢¢=-j¢(x)f11
22ì¶u¶uïx+y-uu=0,7、设í确定函数u=u(x,y),u=u(x,y),求。
222ï¶x¶yîxy-u+u=0
¶u4xu+u2¶u4xu-uy2
=,=¶x2(u2+u2)¶x2(u2+u2)¶u2yu+xyu¶u2yu-xyu=2,=22¶y¶yu+uu+u2
¶2u¶2u¶2u1222f(x+y+z),式中f二阶可导,求2+2+28、设u=222¶x¶y¶zx+y+z
解:
记r=x2+y2+z2,则
f(r)u==f(r)×r-1r
¶uf¢(r)r-f(r)¶uf¢(r)r-f(r)¶uf¢(r)r-f(r),=x,=y=z333¶xr¶yr¶zr
¶2ur2f¢¢(r)-3[f¢(r)r-f(r)]2f¢(r)r-f(r)=×x+253¶xrr
类似地,有
¶2ur2f¢¢(r)-3[f¢(r)r-f(r)]2f¢(r)r-f(r)=×y+253¶yrr
¶2ur2f¢¢(r)-3[f¢(r)r-f(r)]2f¢(r)r-f(r)=×z+253¶zrr
¶2u¶2u¶2ur2f¢¢(r)-3[f¢(r)r-f(r)]23[f¢(r)r-f(r)]+2+2=×r+253¶x¶y¶zrr
f¢¢(r)=r
四、(10分)试分解正数a为三个正数之和,而使它们的倒数和为最小。
111设三个正数为x,y,z,则x+y+z=a,记F=++,令xyz
j=
则由111+++l(x+y+z-a)xyz
1ìj=-+l=02ïxxïïj=-1+l=0aïy2y解出。
x=y=z=í3ï1ïjz=-2+l=0zïïîx+y+z=a
五、证明题:
(10分)
试证:
曲面z=x+f(y-z)上任一点处的切平面都平行于一条直线,式中f连续可导。
证明:
曲面在任一点M(x,y,z)处的切平面的法向量为
定直线L的方向向量若为s={1,1,1},则
n×s=0,即n^sn={-1,-f¢,1+f¢}
则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。
第九章重积分
§1二重积分的概念与性质
1、由二重积分的几何意义求二重积分的值I=òòx2+y2dxdy其中D为:
x2+y2£4D
(I=òòx2+y2dxdy=p.4.2-.p.4.2=
D1316p)3
2、设D为圆域x2+y2£a2,a>0,若积分òòDp=a-x-ydxdy12,求a的值。
222
解:
òòD3a-x-ydxdy=2.3p.aa=8222141
3、设D由圆(x-2)2+(y-1)2=2围成,求òò3dxdy
D
解:
由于D的面积为2p,故òò3dxdy=6p
D
4、设D:
{(x,y)|3£x£5,0£y£1},
I1=òòln(x+y)dxdy,I2=òò[ln(x+y)]2dxdy,比较I1,与I2的大小关系
DD
解:
在D上,ln(x+y)£[ln(x+y)]2,故I1£I2
5、设f(t)连续,则由平面z=0,柱面x2+y2=1,和曲面z=[f(xy)]2所围的
立体的体积,可用二重积分表示为V=
D:
x+y£1
[f(xy)]òò22
2
dxdy
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值
òòsin2xsin2ydxdyD:
0£x£p,0£y£p
D
(0£òòsin2xsin2ydxdy£p2)
D
7、设f(x,y)为有界闭区域D:
x2+y2£a2上的连续函数,求lim解:
利用积分中值定理及连续性有lim
1a®0pa2
1a®0pa2
D8
òòf(x,y)dxdy
D
a®0
òòf(x,y)dxdy=limf(x,h)=
f(0,0)
§
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整 word 版高数 答案 习题 第六 下册 同济大学 数学系