概率论与数理统计复习资料要点总结.docx
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概率论与数理统计复习资料要点总结
概率论与数理统计复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习提要
第一章随机事件与概率
1、事件的关系
2、运算规则
(1)
(2)(3)(4)
3、概率满足的三条公理及性质:
(1)
(2)(3)对互不相容的事件,有(可以取)(4)(5)(6),若,则,(7)(8)
4、古典概型:
基本事件有限且等可能
5、几何概率
6、条件概率
(1)定义:
若,则
(2)乘法公式:
若为完备事件组,,则有(3)全概率公式:
(4)Bayes公式:
7、事件的独立性:
独立(注意独立性的应用)
第二章随机变量与概率分布
1、离散随机变量:
取有限或可列个值,满足
(1),
(2)=1(3)对任意,
2、连续随机变量:
具有概率密度函数,满足
(1);
(2);(3)对任意,
3、几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布,二项式分布,Poisson分布几何分布均匀分布,指数分布正态分布
4、分布函数,具有以下性质
(1);
(2)单调非降;(3)右连续;(4),特别;(5)对离散随机变量,;(6)对连续随机变量,为连续函数,且在连续点上,
5、正态分布的概率计算以记标准正态分布的分布函数,则有
(1);
(2);(3)若,则;(4)以记标准正态分布的上侧分位数,则
6、随机变量的函数
(1)离散时,求的值,将相同的概率相加;
(2)连续,在的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则,若不单调,先求分布函数,再求导。
第四章随机变量的数字特征
1、期望
(1)
离散时,;
(2)
连续时,;(3)
二维时,(4);(5);(6);(7)独立时,
2、方差
(1)方差,标准差;
(2);(3);(4)独立时,
3、协方差
(1);
(2);(3);(4)时,称不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价;(5)
4、相关系数;有,
5、阶原点矩,阶中心矩
第五章大数定律与中心极限定理
1、Chebyshev不等式或
2、大数定律
3、中心极限定理
(1)设随机变量独立同分布,则,或或,
(2)设是次独立重复试验中发生的次数,,则对任意,有或理解为若,则
第六章样本及抽样分布
1、总体、样本
(1)简单随机样本:
即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法);
(2)样本数字特征:
样本均值(,);样本方差()样本标准差样本阶原点矩,样本阶中心矩
2、统计量:
样本的函数且不包含任何未知数
3、三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)
(1)分布,其中独立同分布于标准正态分布,若且独立,则;
(2)分布,其中且独立;(3)分布,其中且独立,有下面的性质
4、正态总体的抽样分布
(1);
(2);(3)且与独立;(4);(5),(6)
第七章参数估计
1、矩估计:
(1)根据参数个数求总体的矩;
(2)令总体的矩等于样本的矩;(3)解方程求出矩估计
2、极大似然估计:
(1)写出极大似然函数;
(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数;(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估计(如无解回到
(1)直接求最大值,一般为min或max)
3、估计量的评选原则
(1)无偏性:
若,则为无偏;
(2)
有效性:
两个无偏估计中方差小的有效;
4、参数的区间估计(正态)参数条件估计函数置信区间已知未知未知复习资料
1、填空题(15分)题型一:
概率分布的考察【相关公式】
(P379)分布参数分布律或概率密度数学期望(E)方差(D)(0—1)分布二项分布负二项分布几何分布超几何分布泊松分布均匀分布【相关例题】
1、设,,,则求a,b的值。
2、已知,则求n,p的值。
题型二:
正态总体均值与方差的区间估计【相关公式】
(P163)【相关例题】
1、(样本容量已知)
2、(样本容量未知)题型三:
方差的性质【相关公式】
(P103)【相关例题】
1、题型四:
【相关公式】
(P140、P138)【相关例题】
1、
2、题型五:
互不相容问题【相关公式】
(P4)【相关例题】
1、
2、选择题(15分)题型一:
方差的性质【相关公式】
(见上,略)【相关例题】
(见上,略)题型二:
考察统计量定义(不能含有未知量)题型三:
考察概率密度函数的性质(见下,略)题型四:
和、乘、除以及条件概率密度(见下,略)题型五:
对区间估计的理解(P161)题型六:
正态分布和的分布【相关公式】
(P105)【相关例题】
题型七:
概率密度函数的应用【相关例题】
设已知
3、解答题(70分)题型一:
古典概型:
全概率公式和贝叶斯公式的应用。
【相关公式】
v全概率公式:
v贝叶斯公式:
【相关例题】
★
1、P19例5某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的,根据以往的记录有以下的数据:
元件制造厂次品率提供原件的份额10、020、1520、010、8030、030、05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区分标志。
问:
(1)在仓库中随机取一只元件,求它的次品率;
(2)在仓库中随机抽取一只元件,为分析此次品出自何厂,需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少,试求这些概率。
(见下)
2、袋中装有m枚正品硬币,n枚次品硬币(次品硬币两面均有国徽),在袋中任意取一枚,将他掷r次,已知每次都得到国徽,问这枚硬币是正品的概率是多少?
3、设根据以往记录的数据分析,某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种:
损坏2%(这一事件记为A1),损坏10%(这一事件记为A2),损坏90%(这一事件记为A3),且知P(A1)=0、8,P(A2)=0、15,P(A3)=0、05、现在从已经运输的物品中随机取3件,发现这三件都是好的(这一事件记为B),(见下)
4、将A、B、C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为ɑ,而输出其他字母的概率都是(1-ɑ)/
2、今将字母串AAAA、BBBB、CCCC之一输入信道,输入AAAA、BBBB、CCCC的概率分别为p
1、p
2、p3(p1+p2+p3=1),已知输出为ABCA。
问输入AAAA的概率是多少?
(设信道传输各字母的工作是相互独立的。
)题型二:
1、求概率密度、分布函数;
2、正态分布
1、求概率密度【相关公式】
已知分布函数求概率密度在连续点求导;已知概率密度f(x)求分布函数抓住公式:
,且对于任意实数,有:
。
【相关例题】
(1)设随机变量X的分布函数为:
FX(X)=12(见下)
(2),是确定常数A。
(3)设随机变量X具有概率密度f(x)=,求X的分布函数。
0,其他解:
0,x<0
2、正态分布(高斯分布)
【相关公式】
(1)公式其中:
(2)若(3)相关概率运算公式:
【相关例题】
1、(P5827)某地区18岁女青年的血压(收缩压:
以mmHg计)服从N~(110,122),在该地任选一名18岁女青年,测量她的血压X,求:
(1)
(2)确定最小的
2、由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数的正态分布,规定长度在范围内为合格品,求一螺栓为不合格的概率。
(见下)题型三:
二维随机变量的题型【相关公式】
【相关例题】
1、(P843)设随机变量(X,Y)的概率密度为:
yx0442y=4-x(见下)
2、(P8618)设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在区间(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为:
1,0 3、(P8725)设随机变量X,Y相互独立,且具有相同的分布,它们的概率密度均为0,其他求Z=X+Y的概率密度。 4、(P8726)设随机变量X,Y相互独立,它们的概率密度为0,其他求Z=Y/X的概率密度。 题型四: 最大似然估计的求解【相关公式】 【相关例题】 1、设概率密度为: 2、(P1748)的总体的样本,θ未知,求θ的最大似然估计。 题型五: 正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式】 【相关例题】 1、(P2183)某批矿砂的5个样品中的镍含量,经测定(%) 3、25 3、27 3、24 3、26 3、24设测定值总体服从正态分布,但参数均未知,问在α=0、01下能否接受假设,这批矿砂的镍含量的均值为 3、25、 2、(P22012)某种导线,要求电阻的标准差不得超过0、005Ω,尽在一批导线中取样品9根,测得s=0、007Ω,设总体为正态分布,参数值均未知,问在显著水平α=0、05下能否认为这批导线的标准差显著偏大? 模拟试题一 一、填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) =0、92,P(B) =0、93,P(B|) =0、85,则P(A|) =P(A∪B) = 2、设事件A与B独立,A与B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等,则A发生的概率为: ; 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率; 4、已知随机变量X的密度函数为: 则常数A=,分布函数F(x)=,概率; 5、设随机变量X~B(2,p)、Y~B(1,p),若,则p=,若X与Y独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设且X与Y相互独立,则D(2X-3Y)=,COV(2X-3Y,X)=; 7、设是总体的简单随机样本,则当时,; 8、设总体为未知参数,为其样本,为样本均值,则的矩估计量为: 。 9、设样本来自正态总体,计算得样本观察值,求参数a的置信度为95%的置信区间: ; 二、计算题(35分) 1、(12分)设连续型随机变量X的密度函数为: 求: 1);2)的密度函数;3); 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1)求边缘密度函数;2)问X与Y是否独立? 是否相关? 3)计算Z=X+Y的密度函数; 3、(11分)设总体X的概率密度函数为: X1,X2,…,Xn是取自总体X的简单随机样本。 1)求参数的极大似然估计量;2)验证估计量是否是参数的无偏估计量。 三、应用题(20分) 1、(10分)设某人从外地赶来参加紧急会议,他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10,1/5,1/10和2/5。 如果他乘飞机来,不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别是1/4,1/3,1/2。 现此人迟到,试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大? 2、(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0、5‰,假定有害物质含量X服从正态分布。 现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0、530‰,0、542‰,0、510‰,0、495‰,0、515‰能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定()? 附表: 模拟试题二 一、填空题(45分,每空3分) 1、设则 2、设三事件相互独立,且,若,则。 3、设一批产品有12件,其中2件次品,10件正品,现从这批产品中任取3件,若用表示取出的3件产品中的次品件数,则的分布律为。 4、设连续型随机变量的分布函数为则,的密度函数。 5、设随机变量,则随机变量的密度函数 6、设的分布律分别为3Y)=43、92,COV(2X-3Y,X)= 3、96; 7、当时,; 8、的矩估计量为: 。 9、[ 9、216,10、784]; 五、计算题(35分) 1、解1)2)3) 2、解: 1)2)显然,,所以X与Y不独立。 又因为EY=0,EXY=0,所以,COV(X,Y)=0,因此X与Y不相关。 3) 3、解1)令解出: 2)的无偏估计量。 六、应用题(20分)1解: 设事件A1,A2,A3,A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”,其概率分别等于3/10,1/5,1/10和2/5,事件B表示“迟到”,已知概率分别等于1/4,1/3,1/2,0则,,由概率判断他乘火车的可能性最大。 2、解: (‰),拒绝域为: 计算,所以,拒绝,说明有害物质含量超过了规定。 答案(模拟试题二) 一、填空题(45分,每空3分) 1、 2、 3、0126/119/221/22 4、, 5、 6、01-1011/4001/21/40 7、 8、; 9、;10、 二、计算题(27分) 1、 (1) (2)不独立(3) 2、 (1)计算根据矩估计思想,解出: ; (2)似然函数显然,用取对数、求导、解方程的步骤无法得到的极大似然估计。 用分析的方法。 因为,所以,即所以,当时,使得似然函数达最大。 极大似然估计为。 三、 1、解: (1)设表示“第一次从甲箱中任取3件,其中恰有i件次品”,(i=0,1,2,3)设表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件; (2) 2、解: (‰),拒绝域为: …根据条件,,计算并比较所以,接受,可以认为平均成绩为70分。 3、(8分)证明: 因为相互独立答案(模拟试题三) 一、填空题(每题3分,共42分) 1、0、5;2/7;0、5。 2、; 3、;15/16; 4、,2/9,1/9,17/3。 5、6,0、4。 6、。 7、( 2、6895, 2、7205) 。 二、解: (1) (2)(3)Y的分布函数 三、解: (1), (2)(3)不独立;(4)(5) 四、解: (1)令,即解得。 (2),解得 五、解: 设={某机床为车床},;={某机床为钻床},;={某机床为磨床},;={某机床为刨床},;={需要修理},,,,则。 六、解: 拒绝域为: 计算得,查表得样本值落入拒绝域内,因此拒绝。 附表: 答案(模拟试题四) 一、填空题(每题3分,共42分) 1、0、4;0、8421。 2、0、12。 3、,。 4、,,。 5、3,5,0、6286。 6、 2、333。 7、,3/5。 二、 1、解(18分) (1) (2)不独立(3) 2、解 (1)求的分布律; (2)的联合分布律: 0101(3)当时,X与Z独立。 三、应用题(24分) 1、解: 设表示一周5个工作日机器发生故障的天数,则~,分布律为: 设(万元)表示一周5个工作日的利润,根据题意,的分布律则(万元)。 2、解: 设分别表示输入,,的事件,表示输出为的随机事件。 由贝叶斯公式得: 07试题 一、填空题(本大题共6小题,每小题3分,总计18分) 1、设为随机事件,,,则 2、10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 3、设随机变量在区间上服从均匀分布,则的概率密度函数为 4、设随机变量的期望,方差,则期望 5、设随机变量服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得、 6、设是来自正态总体~的样本,则当时,~、 二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共6个小题,每小题3分,总计18分) 1、设为对立事件,,则下列概率值为1的是() (A) ;(B) ;(C) ;(D) 2、设随机变量~,概率密度为,分布函数,则下列正确的是() (A) ;(B) ;(C) ;(D) 3、设是随机变量的概率密度,则一定成立的是() (A) 定义域为;(B) 非负;(C) 的值域为;(D) 连续 4、设,,则() (A) ;(B) ;(C) ;(D) 5、设随机变量的方差,,相关系数,则方差() (A) 40;(B) 34;(C) 17、6;(D) 25、6 6、设是正态总体~的样本,其中已知,未知,则下列不是统计量的是() (A) ;(B) ;(C) ;(D) 三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,共计60分) 1、甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: 0、2,0、3,0、4, (1) 求恰有2位同学不及格的概率; (2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率、 2、已知连续型随机变量的分布函数为,求: (1) 常数的值; (2) 随机变量的密度函数;(3) 3、设随机变量与相互独立,概率密度分别为: ,求随机变量的概率密度 4、设二维随机变量的密度函数: (1)求常数的值; (2)求边缘概率密度;(3)和是否独立? 5、设二维随机变量的概率密度函数: 求 (1)数学期望与; (2)与的协方差6、设总体概率密度为,未知,为来自总体的一个样本、求参数的矩估计量和极大似然估计量、 四、证明题(本大题共1小题,每小题4分,共4分) 1、设任意三个事件,试证明: 06试题 一、填空题(本大题共5小题,每小题4分,总计20分) 1、设为随机事件,,,,则 2、设10把钥匙中有2把能打开门,现任意取两把,能打开门的概率是 3、设~~,且与相互独立,则 4、设随机变量上服从均匀分布,则关于未知量的方程有实根的概率为_________ 5、设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得、 二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共5个小题,每小题4分,总计20分) 1、设事件相互独立,且,,,则有(A) ;(B) ;(C) ;(D) 2、设~,那么概率(A) 随增加而变大;(B) 随增加而减小;(C) 随增加而不变;(D) 随增加而减小 3、设,,则(A) ;(B) ;(C) ;(D) 4、设相互独立,服从上的均匀分布,的概率密度函数为,则____(A) ;(B) ;(C) ;(D) 5、设总体,是取自总体的一个样本,为样本均值,则不是总体期望的无偏估计量的是(A) ;(B) ;(C) ;(D) 三、计算题(本大题共5小题,每小题10分,共计50分) 1、某产品整箱出售,每一箱中20件产品,若各箱中次品数为0件,1件,2件的概率分别为80%,10%,10%,现在从中任取一箱,顾客随意抽查4件,如果无次品,则买下该箱产品,如果有次品,则退货,求: (1) 顾客买下该箱产品的概率; (2) 在顾客买下的一箱产品中,确实无次品的概率、 2、已知随机变量的密度为,且,求: (1) 常数的值; (2) 随机变量的分布函数 3、设二维随机变量有密度函数: (1)求边缘概率密度; (2)求条件密度;(3)求概率、4、设随机变量独立同分布,都服从参数为的泊松分布,设,,求随机变量与的相关系数5、设总体~为二项分布,未知,为来自总体的一个样本、求参数的矩估计量和极大似然估计量。 四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分) 1、设事件相互独立,证明事件与事件也相互独立 2、设总体为,期望,方差,是取自总体的一个样本,样本均值,样本方差,证明: 是参数的无偏估计量06答案 一、填空题(本大题共5小题,每小题4分,总计20分) 1、2/3 2、17/45 3、35 4、5/6 5、4/5 二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共5个小题,每小题4分,总计20分) 1、(B) 2、(D) 3、(C) 4、(D) 5、(D) 三、计算题(本大题共5小题,每小题10分,共计50分) 1、解: 设表示“顾客买下该箱产品”,分别表示“箱中次品数为0件,1件,2件”则80%,10%10%,,1,,,(3分) 由全概率公式得: 448/475,(7分) 由贝叶斯公式得: 95/112(10分) 2、解: (1) 由,解得(4分) (2) 当时,,当时,,当时,,所以(10分) 3、解: (1)(4分) (2) 当时,=当时,(8分) (3) (10分) 4、解: ,,,,(8分) =3/5(10分) 5、解: 由,得的矩估计量(4分) 似然函数为,由,得极大似然估计量(10分) 四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分) 1、证明: 由于事件相互独立,所以,,,,(2分)所以即,所以事件与也相互独立(5分) 2、证明: ,,是取自总体的一个样本,所以,,所以,即是参数的无偏估计量(5分) 07答案 一、填空题(
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