弗赖登塔尔的数学教育思想 数学现实原则.docx

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弗赖登塔尔的数学教育思想数学现实原则

弗赖登塔尔的数学教育思想——“数学现实”原则

参考资料

弗赖登塔尔的数学教育思想——“数学现实”原则

荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者．在他担任国际数学教育委员会（ICMI）主席期间，召开了第一届国际数学教育大会（ICME—1），并创办了《Educa—tionalStudiesinMathematics》杂志，现任ICMI主席（巴黎十一大学校长）加亨（Kahane）教授曾评价说“对于数学教育，本世纪的上半叶FelixKlein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶HansFreudenthal做出了巨大的贡献．”

作为一位数学家，弗赖登塔尔30年代就享有盛誉，从50年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点．他的数学教育理论与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切，可以说已经摆脱了“教育学”（或“心理学”）加数学例子这种“传统的”数学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献，也正是我们特别需要借鉴之处．

要的，在我国这一想法还未能被普遍接受，实际上，对于少数数学家来说，抽象的形式体系，严密的逻辑结构，以及涉及内在联系的规律，也许是最为本质、最为完美也是最感兴趣的东西．可是对于大多数人而言，掌握数学与外部世界的密切关系，从而获得适应于当前社会的生存与生活，并进而能够改革社会促使其进一步发展的能力，将是更为重要的．为此，弗赖登塔尔坚持主张：

数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即“现实的数学”．如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断了与外部现实的密切关系，那必然会给数学教育带来极大的损害．70年代“新数学”运动的失败就是个明证．

如何理解“现实”？

不同的社会需要是否就是“现实”？

将“现实”等同于实际的社会生产活动，这是一种片面的理解．根据英国的Cockcmft报告，他们在进行了比较广泛的调查、分析了一些比较实际的资料之后提出，人们所需要的数学可以分为三种水平．

第一种是日常生活的需要，从个人消费、家庭开支到国家建设，处处都要涉及各种数字、图表、测量等问题，这些大多是比较简单的数学知识，但却是每个人都必须知道的．

第二种是不同的技术或者说是各种职业的需要，从工程技术人员、农业技师到各行业的服务人员，在相当广泛的不同领域内，从事各种不同性质工作的人，从各个不同方向，对数学知识提出了种种要求，当然其中也含有某些共同部分．

第三种是为进一步学习并从事高水平研究工作的需要，包括范围很大，差别也很大，未来的科学家、企业家、管理学家等，都需要与各个领域相关的不同分支的数学知识，他们需要共同的基础及类似的数学思想方法，但却涉及到千变万化的具体内容．

数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的人对数学的不同水平的需求．数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，从而为每个人培养适合于他所从事的不同专业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有关的各种数学问题．为此，弗赖登塔尔的一个基本结论是：

每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构．这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”．从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”．大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含Hilbert空间的算，子、拓扑学以及纤维丛等等．

数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围．通过这样的过程，数学教育将随着不断地扩展的现实发展，同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正象数学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律．

一些具体的例子如下：

通过公共汽车上下车人数的变化引入整数的加减法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽车、骑自行车或步行等多种交通工具以及途中出现的各种情况，介绍各种类型的图象表示、解析表示，进一步可介绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商店出售各种不同牌子、不同规格的商品所获得的利润计算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以及根据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规律的正弦函数及其性质；或者从物质的生长率引进指数函数概念，从而导出对数函数等．

由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同阶段又有特定的数学现实，弗赖登塔尔认为，在现实背景材料的使用上有下述三种不同的水平：

第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学运算，只要通过简单的变换或过渡，就可以从实际问题求得相应的数学问题．在这里，具体的现实问题起着核心作用．

第二级是提出了某个现实问题，希望学生能够找出与之有关的数学，加以组织，建立结构，从而解决问题．这里需要运用数学作为工具来组织现实问题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质性的作用．

第三级则是指出某个数学概念或是描述了某个数学过程的特征，由此引进新的数学概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供的现实背景材料已经从通常的具体客观世界中抽象出来．

综上所述，弗赖登塔尔提的“数学现实”原则，和我们通常所说的理论联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴．

首先，弗氏所说的“数学现实”，是客观现实与人的数学认识的统一体，并非先有了一个”理论”，然后去联系一下“实际”，也不是从具体例子引入，然后做几个应用题就算完事．所谓“数学现实”乃是人们用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体，其中既含有客观世界的现实情况，也包括学生个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识．我们习惯于把课本上的知识笼统称为“理论”，而把“实际”狭隘地理解为“生产实际”，其实是不妥当的．

其次，弗氏认为“每个人都有自己的数学现实”，这十分重要，这也许和我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学现实”来进行．学生的“实际”知识有多少?

学生的“数学水平”有多高?

学生的“日常生活常识”有多广?

这些都是教师面对的“现实”，如果我们简单地将“课本上定理”和“应用题”联系起来，那样的教学未免太狭隘．例如，在荷兰教材中，讲函数概念并不从映射出发，用双射、单射把学生弄得晕头转向，而是化许多时间用于制作图表、画函数图象，用距离（s）与时间（t）的关系图表示一个学生走路、等车、乘车、半路回家等等日常生活实际，每个学生都可根据自己上学的情形来画草图，定函数．

再次，弗氏主张客观现实材料和数学知识的现实彼此溶为一体，你中有我，我中有你，密切不可分；我们的传统观念是以理论知识的逻辑展开为唯一线索，有些地方“联系”一下“实际”，这种联系往往是“节外生枝”式的，不被重视，顶多搞成一条“美丽的尾巴”，核心还是“理论”第一，这当然和考试制度有关，但也不能不说和教育思想的陈旧有关．弗氏的“数学现实”原则，主张把客观现实和知识体系溶为一体，教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程，着眼于能力．

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